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现代物理中的数学方法结课论文 学院： 理 学 院 专业：材料物理与化学姓名：学号：一类模型的反应扩散方程的稳定性分析曹海明天津大学理学院物理系摘要:本文讨论了一类具Beddington-DeAngelis响应函数的非线性偏微分方程的定性性质：常微分方程组平衡解的稳定性，反应扩散方程组正平衡解的稳定性。研究了带有齐次Neumann边界条件的抛物型方程正常数平衡解的稳定性。运用Lyapunov函数法证明了正常数平衡解的全局渐近稳定性。关键词：反应扩散方程 稳定性 Lyapunov函数1.引言自上个世纪以来，各种生物学模型之间的相互作用历来是研究工作的一个重点，特别是捕食与被捕食模型受到了许多学者的广泛关注。它们的为描述捕食与被捕食者之间的相互作用，通过构建反应扩散方程解决生物数学模型中的问题，已经成为运用数学手段解决生态学问题广泛采用的形式。经过多年的理论研究，在文献4中，Skalski和Gilliam于2001年公布的利用多个不同响应函数系统观测的统计资料指出，使用猎物-依赖型响应函数的模型可以与实际观测资料更好的符合，这也说明具有猎物-依赖型响应函数微分方程与具有食物依赖型响应函数的微方程不同。近年来，随着生物数学的发展与问题研究的深入，许多数学以及生态学研究者讨论了带有Beddington-DeAngelis响应函数的捕食模型1,2 ,3,5,6,7。特别是如下形式的反应扩散方程组（1-1）的正常数平衡解的稳定性问题已被广泛研究。在某些情况下Beddington-DeAngelis型响应函数更切合实际，并且效果更加令人满意。反应扩散方程是偏微分方程(PDE)中的一个重要分支，利用反应扩散方程组研究生物领域的非线性现象，是偏微分方程的一个重要研究方向。特别的，对抛物型方程正常数平衡解的稳定性的研究对解释生态学问题具有重要的现实意义。本文运用Lyapunov函数法证明了正常数平衡解的全局渐近稳定性。2.正文2.1所用模型及方程的建立由于自然界中各种生态关系错综复杂，生态种群学作为生态学的一个重要分支，仅考虑种群密度与时间的关系是不合理的，因此单纯的常微分方程组模型不能够准确反应生态过程与物种空间分布的关系。考虑到物种空间分布不均匀，以及物种有从种群密度大的位置向种群密度小的位置迁移的趋势,我们讨论如下的 PDE 捕食-被捕食模型：（2-1）其中是有界光滑区域n是上的单位外法向量，上面齐次的 Neumann边界条件表示系统是封闭的，即物种通过边界既没有流出也没有流入。非负初值在上满足 。不失一般性，我们假设在上。对于具有齐次的Neumann边界的捕食模型，确立正常数平衡解的稳定性是研究初边值问题(2-1)的首要任务。容易看出问题(2-1) 的微分方程组存在正常数平衡点当且仅当 (2-2)同时当条件（2-2）成立时，唯一存在且 （2-3）我们总假设条件（2-2）成立。2.2证明正平衡解的全局稳定性-Lyapunov 函数法 定理 2.1 当时，反应扩散方程组(2-1) 的正常数平衡解全局渐近稳定。证明：通过构造Lyapunov 函数证明。首先我们利用引理 3.1 给出u和v的估计，显然由于初值均大于零，我们可以得到，根据方程组(2-1) 中v 的方程，我们有故有令直接计算可得记为（2-4）由于满足因此记为（2-5）将（2-5）带入（2-4）中，于是有 （2-6）等号成立当且仅当同时成立。由上证明可得全局渐进稳定。2.3结论本文主要介绍了 一类具有 Beddington-DeAngelis 响应函数的微分方程的定性分析：常微分方程组平衡解的稳定性，反应扩散方程组正平衡解的稳定性。针对相应的反应扩散方程模型，我们研究了带有齐次 Neumann 边界条件的抛物型方程组初值问题正常数平衡解的稳定性。运用Lyapunov 函数法证明了正常数平衡解的全局渐近稳定性。参考文献：1 Mandal P S, Banerje M. Stochastic persistence and stationary distribution in a HollingTanner type preypredator model J. Physical A, 2012, 391: 12161233. 2 Chen W Y ，Wang M X. Qualitative analysis of predator-prey models with Beddington-DeAngelis functional response and diffusionJ. Mathematical and Computer Modelling,2005 ，42 : 31-44. 3 Cantrell R S, Cosner C. On the Dynamics of PredatorPrey Models with the BeddingtonDeAngelis Functional Response J. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2001, 257:206222.4 Skalski G T, Gilliam J E. Functional responses with predator interference: viable alternatives to the Holling type model J.Ecology, 2001, 82:3083- 3092. 5 陈滨, 王明新. 带有扩散和BeddingtonDeAngelis 响应函数的捕食模型的 正平衡态J. 数学年刊A辑, 2007, 28:495-506. 6 Liu M , Wang K. Global stability of stage-structured predatorprey models with BeddingtonDeAngelis functional responseJ. Commune Nonlinear Sci Numer Simulat, 2011, 16: 37923797. 7 Cantrell R S ，C