（江苏专用）高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.1 直线的方程 文.doc

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.1 直线的方程 文1.直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的范围是0，180).第九章平面解析几何2.斜率公式(1)若直线l的倾斜角90，则斜率ktan .(2)p1(x1，y1)，p2(x2，y2)在直线l上，且x1x2，则l的斜率k.3.直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式yy1k(xx1)不含直线xx1斜截式ykxb不含垂直于x轴的直线两点式不含直线xx1 (x1x2)和直线yy1 (y1y2)截距式1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式axbyc0(a，b不全为0)平面直角坐标系内的直线都适用【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.()(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.()(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.()(4)直线的斜率为tan ，则其倾斜角为.()(5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.()(6)经过定点a(0，b)的直线都可以用方程ykxb表示.()(7)不经过原点的直线都可以用1表示.()(8)经过任意两个不同的点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示.()1.直线xya0的倾斜角为 .答案60解析化直线方程为yxa，ktan .0180，60.2.如果ac0，且bc0，在y轴上的截距0，故直线经过一、二、四象限，不经过第三象限.3.过点p(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 .答案3x2y0或xy50解析当截距为0时，直线方程为3x2y0；当截距不为0时，设直线方程为1，则1，解得a5，所以直线方程为xy50.综上，直线方程为3x2y0或xy50.4.(教材改编)若过点a(m,4)与点b(1，m)的直线与直线x2y40平行，则m的值为 .答案3解析，m3.5.直线l经过a(2,1)，b(1，m2)(mr)两点，则直线l的倾斜角的取值范围为 .答案解析直线l的斜率k1m21.若l的倾斜角为，则tan 1.又0，)，.题型一直线的倾斜角与斜率例1(1)直线2xcos y30的倾斜角的取值范围是 .(2)直线l过点p(1,0)，且与以a(2,1)，b(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为 .答案(1)(2)(，1，)解析(1)直线2xcos y30的斜率k2cos ，因为，所以cos ，因此k2cos 1， .设直线的倾斜角为，则有tan 1， .又0，)，所以，即倾斜角的取值范围是.(2)如图，kap1，kbp，k(， 1，).引申探究1.若将题(2)中p(1,0)改为p(1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围.解p(1,0)，a(2,1)，b(0，)，kap，kbp.如图可知，直线l斜率的取值范围为.2.将题(2)中的b点坐标改为b(2，1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的范围.解如图：直线pa的倾斜角为45，直线pb的倾斜角为135，由图象知l的倾斜角的范围为0，45135，180).思维升华直线倾斜角的范围是0，)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论.由正切函数图象可以看出，当时，斜率k0，)；当时，斜率不存在；当时，斜率k(，0).(1)直线xcos y20的倾斜角的范围是 .(2)已知实数x，y满足2xy8，当2x3时，则的最大值为 ；最小值为 .答案(1)(2)2解析(1)由xcos y20得直线斜率kcos .1cos 1，k.设直线的倾斜角为，则tan .结合正切函数在上的图象可知，0或.(2)本题可先作出函数y82x(2x3)的图象，把看成过点(x，y)和原点的直线的斜率进行求解.如图，设点p(x，y)，因为x，y满足2xy8，且2x3，所以点p(x，y)在线段ab上移动，并且a，b两点的坐标分别是(2,4)，(3,2).因为的几何意义是直线op的斜率，且koa2，kob，所以的最大值为2，最小值为.题型二求直线的方程例2根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(4,0)，倾斜角的正弦值为；(2)直线过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.解(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式.设倾斜角为，则sin (00，b0)，点p(3,2)代入得12，得ab24，从而saobab12，当且仅当时等号成立，这时k，从而所求直线方程为2x3y120.所以abo的面积的最小值为12，此时直线l的方程为2x3y120.方法二依题意知，直线l的斜率k存在且k0.则直线l的方程为y2k(x3) (k0)，且有a，b(0,23k)，sabo(23k)(1212)12.当且仅当9k，即k时，等号成立.即abo的面积的最小值为12.故所求直线的方程为2x3y120.命题点2由直线方程解决参数问题例4已知直线l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当0a2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值.解由题意知直线l1，l2恒过定点p(2,2)，直线l1的纵截距为2a，直线l2的横截距为a22，所以四边形的面积s2(2a)2(a22)a2a42，当a时，面积最小.思维升华与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.(2)求直线方程.弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程.(3)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.(1)(2014四川)设mr，过定点a的动直线xmy0和过定点b的动直线mxym30交于点p(x，y)，则papb的最大值是 .(2)(2015安徽)在平面直角坐标系xoy中，若直线y2a与函数y|xa|1的图象只有一个交点，则a的值为 .答案(1)5(2)解析(1)直线xmy0与mxym30分别过定点a，b，a(0,0)，b(1,3).当点p与点a(或b)重合时，papb为零；当点p与点a，b均不重合时，p为直线xmy0与mxym30的交点，且易知此两直线垂直，apb为直角三角形，ap2bp2ab210，papb5，当且仅当papb时，上式等号成立.(2)|xa|0恒成立，要使y2a与y|xa|1只有一个交点，必有2a1，解得a.10.求直线方程忽视零截距致误典例(14分)设直线l的方程为(a1)xy2a0 (ar).(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.易错分析本题易错点求直线方程时，漏掉直线过原点的情况.规范解答解(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，a2，方程即为3xy0.3分当直线不经过原点时，截距存在且均不为0.a2，即a11.a0，方程即为xy20.6分综上，l的方程为3xy0或xy20.7分(2)将l的方程化为y(a1)xa2，或11分a1.13分综上可知a的取值范围是a1.14分温馨提醒(1)在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解.(2)常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形，注意分类讨论思想的运用.方法与技巧直线的倾斜角和斜率的关系：(1)任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率.(2)直线的倾斜角和斜率k之间的对应法则：009090900不存在k0失误与防范与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点：(1)明确直线方程各种形式的适用条件点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x、y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线.(2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零.(3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论.a组专项基础训练(时间：40分钟)1.若a(m，m3)，b(2，m1)，c(1,4)，直线ac的斜率等于直线bc的斜率的三倍，则实数m的值为 .答案1或2解析由kac3kbc，得3，解得m1或m2，经验证均符合题意.2.直线x(a21)y10的倾斜角的取值范围是 .答案解析直线的斜率k，1k0，则倾斜角的范围是.3.如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为 .答案k1k3k2解析直线l1的倾斜角1是钝角，故k10，直线l2与l3的倾斜角2与3均为锐角，且23，所以0k3k2，因此k1k3k2.4.斜率为2的直线经过(3,5)，(a,7)，(1，b)三点，则ab .答案1解析根据题意，得解得故ab1.5.已知直线pq的斜率为，将直线绕点p顺时针旋转60所得的直线的斜率为 .答案解析直线pq的斜率为，则直线pq的倾斜角为120，所求直线的倾斜角为60，tan 60.6.若直线l的斜率为k，倾斜角为，而，则k的取值范围是 .答案，0)解析当时，tan 1，k1.当时，tan 0，且a(a,0)、b(0，b)、c(2，2)三点共线，则ab的最小值为 .答案16解析根据a(a,0)、b(0，b)确定直线的方程为1，又c(2，2)在该直线上，故1，所以2(ab)ab.又ab0，故a0，b0，b0)过点(1,1)，则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为 .答案4解析直线axbyab (a0，b0)过点(1,1)，abab，即1，ab(ab)2224，当且仅当ab2时上式等号成立.直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4.12.已知a(3,0)，b(0,4)，直线ab上一动点p(x，y)，则xy的最大值是 .答案3解析直线ab的方程为1，动点p(x，y)在直线ab上，则x3y，xy3yy2(y24y)(y2)243.即当p点坐标为时，xy取最大值3.13.设点a(1,0)，b(1,0)，直线2xyb0与线段ab相交，则b的取值范围是 .答案2,2解析b为直线y2xb在y轴上的截距，如图，当直线y2xb过点a(1,0)和点b(1,0)时，b分别取得最小值和最大值.b的取值范围是2,2.14.如图，射线oa、ob分别与x轴正半轴成45和30角，过点p(1,0)作直线ab分别交oa、ob于a、b两点，当ab的中点c恰好落在直线yx上时，求直线ab的方程.解由题意可得koatan 451，kobtan(18030)，所以直线loa：yx，lob：yx.设a(m，m)，b(n，n)，所以ab的中点c，由点c在yx上，且a、p、b三点共线得解得m，所以a(，).又p(1,0)，所以kabkap，所以lab：y(x1)，即直线ab的方程为(3)x2y30.15.已知直线l：kxy12k0(kr).(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于a，交y轴正半