高三文科专项训练—函数与导数解答训练题.docx

解答训练题：函数与导数一、考情分析：二、典例剖析：例1、已知函数f(x)x2xsin xcos x.(1)若曲线yf(x)在点(a，f(a)处与直线yb相切，求a与b的值；(2)若曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点，求b的取值范围解析：由f(x)x2xsin xcos x，得f(x)x(2cos x)(1)因为曲线yf(x)在点(a，f(a)处与直线yb相切，所以f(a)a(2cos a)0，bf(a)解得a0，bf(0)1.(2)令f(x)0，得x0.f(x)与f(x)的变化情况如下：x(，0)0(0，)f(x)0f(x)1所以函数f(x)在区间(，0)上单调递减，在区间(0，)上单调递增，f(0)1是f(x)的最小值当b1时，曲线yf(x)与直线yb最多只有一个交点；当b1时，f(2b)f(2b)4b22b14b2b1b，f(0)1b，所以存在x1(2b，0)，x2(0，2b)，使得f(x1)f(x2)b.由于函数f(x)在区间(，0)和(0，)上均单调，所以当b1时曲线yf(x)与直线yb有且仅有两个不同交点综上可知，如果曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，)例2.已知函数f(x)(k为常数，e2.718 28是自然对数的底数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)设g(x)(x2x)f(x)，其中f(x)为f(x)的导函数证明：对任意x0，g(x)1e2.【解析】(1)f(x)，由已知，f(1)0，k1.(2)由(1)知，f(x).设h(x)ln x1，则h(x)0，即h(x)在(0，)上是减函数，由h(1)0知，当0x0，从而f(x)0，当x1时，h(x)0，从而f(x)0.综上可知，f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，)(3)由(2)可知，当x1时，g(x)(x2x)f(x)01e2，故只需证明g(x)1e2在0x1时成立当0x0，g(x).设F(x)1xln xx，x(0，1)，则F(x)(ln x2)，当x(0，e2)时，F(x)0，当x(e2，1)时，F(x)0，所以当xe2时，F(x)取得最大值F(e2)1e2.所以F(x)1e2.设G(x)，则G(x).当x(0，1)时，G(x)0，G(x)在(0，1)上单调递减G(1)G(x)G(0)，即G(x)1.g(x)0，g(x)1e2.例3.已知函数f(x)ln xax在x2处的切线l与直线x2y30平行(1)求实数a的值；(2)若关于x的方程f(x)m2xx2在上恰有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；(3)记函数g(x)f(x)x2bx，设x1，x2(x10)，则h(x)2x3，令h(x)0，得x1，x21，列表得：x1(1，2)2h(x)00h(x)极大值极小值m2ln 2当x1时，h(x)的极小值为h(1)m2，又hmln 2，h(2)m2ln 2，方程f(x)m2xx2在上恰有两个不相等的实数根，即解得：ln 2m2；(3)解法(一)g(x)ln xx2(b1)x，g(x)x(b1)，x1x2b1，x1x21，g(x1)g(x2)ln(xx)(b1)(x1x2)ln(b1)(x1x2)lnln.0x1x2，设t，则0t1，令G(t)ln t，0t1，则G(t)0，G(t)在(0，1)上单调递减；b，(b1)2，(b1)2(x1x2)22t2，t2，4t217t40，0t.当t时，G(t)minG2ln 2，k2ln 2，kmax2ln 2.解法(二)g(x)ln xx2(b1)x，g(x)x(b1)，x1x2b1，x1x21，x2， b，解得：0x1.g(x1)g(x2)ln(xx)(b1)(x1x2)2ln x1.设F(x)2ln x，则F(x)x0)(1)将OMN(O为坐标原点)的面积S表示成t的函数S(t)；(2)若在t处，S(t)取得最小值，求此时a的值及S(t)的最小值【解析】(1)y2ax，切线斜率是2at，切线方程为y(1at2)2at(xt)令y0，得x，M，令x0，得y1at2，N(0，1at2)，OMN的面积S(t).(2)S(t)，由a0，t0，S(t)0，得3at210，即t.当3at210，即t时，S(t)0；当3at210，即0t时，S(t)0，求函数F(x)af(x)在a，2a上的最小值4.已知函数f(x)(xR)，其中aR.(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)当a0时，求函数f(x)的单调区间与极值5.设函数f(x)e2xaln x.(1)讨论f(x)的导函数f(x)零点的个数；(2)证明：当a0时，f(x)2aaln.6设函数fx3ax23a2x1.(1)求函数f的单调区间、极大值和极小值(2)若x时，恒有f3a，求实数a的取值范围7已知函数f(x)ln xax2(2a1)x，其中a为常数，且a0.(1)当a2时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x1处取得极值，且在的最大值为1，求a的值8.已知函数f(x)aln x2(a0)(1)若曲线yf(x)在点P(1，f(1)处的切线与直线yx2垂直，求函数yf(x)的单调区间；(2)若x(0，)都有f(x)2(a1)成立，试求a的取值范围；(3)记g(x)f(x)xb(bR)当a1时，函数g(x)在区间e1，e上有两个零点，求实数b的取值范围9.已知函数f(x)x2ex，e为自然对数的底数(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：x1，x2(，0，f(x1)f(x2)；(3)当n2时，求证：(n1)(en1)4(e1)nen1.10.已知函数f(x)ln xax1在x处的切线斜率为1.(1)求实数a的值及函数f(x)的单调区间；(2)设g(x)k(m0)，对任意x1(0，)，存在x2，使得f(x1)g(x2)成立，求实数k的取值范围11.设函数f(x)(xa)ln x，g(x).已知曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与直线2xy0平行(1)求a的值；(2)是否存在自然数k，使得方程f(x)g(x)在(k，k1)内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由(3)设函数m(x)minf(x)，g(x)(minp，q表示p，q中的较小值)，求m(x)的最大值12某公司为一家制冷设备厂，设计生产某种型号的长方形薄板，其周长为4 m这种薄板须沿其对角线折叠后使用如图所示，ABCD(ABAD)为长方形薄板，沿AC折叠后AB交DC于点P.当ADP的面积最大时最节能，凹多边形ACBPD的面积最大时制冷效果最好(1)设ABx m，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；(2)若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？(3)若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？13已知函数f(x)ln xx2ax.(1)若函数f(x)在其定义域上是增函数，求实数a的取值范围；(2)当a3时，求出f(x)的极值；(3)在(1)的条件下，若f(x)在(0，1内恒成立，试确定a的取值范围14已知函数f(x)exsin x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当x时，f(x)kx，求实数k的取值范围15已知x1是f2xln x的一个极值点(1)求函数f的单调减区间；(2)设函数gf，若函数g在区间内单调递增，求a的取值范围16已知函数f在点的切线方程为xy30.(1)求函数f的解析式；(2)设gln x，当x时，求证：gf.(3)已知0a.17.已知f(x)xln x，g(x)x2ax3.(1)求函数f(x)在t，t2(t0)上的最小值；(2)对一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明：对一切x(0，)，都有ln x成立18.已知函数f(x)axln x，aR.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使不等式f(x)ax2对任意x(1，)恒成立，若存在，求实数a的取值范围，若不存在，请说明理由考点集训答案：1、设函数f(x)ax3bx2cxd是奇函数，它的图象记为曲线C，P(1，f(1)是曲线C上的一点，以P为切点与曲线C相切的直线方程是l：y2x2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)过P与曲线C相切的直线除了l外，还存在其他直线吗？若有，请再求出一条来；若没有，请说明理由(3)是否存在这样的实数t，使过点Q(1，t)可以作三条直线与曲线C相切？若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由【解析】(1)f(x)ax3bx2cxd，由f(x)是奇函数知f(x)f(x)对一切实数x恒成立，从而bd0，所以f(x)ax3cx，f(x)3ax2c.点P在l上，则有f(1)0，即ac0.又f(1)3ac2，解得a1，c1，所以f(x)x3x，f(x)3x21.(2)存在其他切线m过点P.设切点T(x0，xx0)且x01，则kPTf(x0)，即3x1，即2xx010，解得x01(舍去)或x0，切点为，可得切线方程为x4y10.(3)同(2)，设切点为T(x0，xx0)，则有kQTf(x0)，即3x1，t2x3x1.设g(s)2s33s21t，三条直线与曲线C相切，则函数g(s)2s33s21t必有三个不同的零点，也即g(s)的极大值为正，极小值为负由g(s)6s26s6s(s1)知，g(s)在(，0)，(1，)上递增，在(0，1)上递减，则即0t0，g(e4)3ee42e3e3e0，因为yg(x)在上是连续不断的曲线，g(e4)g0，求函数F(x)af(x)在a，2a上的最小值【解析】(1)f(x)定义域为，f(x)，fe，又kf2e2，函数yf(x)在x处的切线方程为：ye2e2，即y2e2x3e.(2)令f(x)0得xe，当x(0，e)时，f(x)0，f(x)在(0，e)上为增函数，当x(e，)时，f(x)0，由(2)知：F(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减F(x)在上的最小值fmin(x)minF(a)，F(2a)，F(a)F(2a)ln，当0a2时，F(a)F(2a)0，fmin(x)F(a)ln a；当20，fmin(x)F(2a)ln 2a.4.已知函数f(x)(xR)，其中aR.(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)当a0时，求函数f(x)的单调区间与极值【解析】(1)当a1时，f(x)，f(2)，又f(x)，f(2)，所以，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(x2)，即6x25y320.(2)f(x)，由于a0，以下分两种情况讨论当a0，令f(x)0得到x1，x2a，当x变化时，f(x)和f(x)的变化情况如下表xa(a，)f(x)00f(x)极小值极大值所以f(x)在区间，(a，)内为减函数，在区间内为增函数，f(x)在x1处取得极小值fa2，在x2a处取得极大值f(a)1；当a0时，f(x)的减区间为，(a，)，增区间为，极小值fa2，极大值f(a)1；当a0时，f(x)2aaln.【解析】(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)2e2x(x0)当a0时，f(x)0，f(x)没有零点当a0时，因为e2x单调递增，单调递增，所以f(x)在(0，)上单调递增又f(a)0，当b满足0b且b时，f(b)0时，f(x)存在唯一零点(2)证明：由(1)可设f(x)在(0，)上的唯一零点为x0.当x(0，x0)时，f(x)0.故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，所以当xx0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0)由于2e2x00，所以f(x0)2ax0aln2aaln.故当a0时，f(x)2aaln.6设函数fx3ax23a2x1.(1)求函数f的单调区间、极大值和极小值(2)若x时，恒有f3a，求实数a的取值范围【解析】(1)fx22ax3a2，令fx22ax3a20，得xa或x3a，则当x变化时，f与f的变化情况如下表：xa(a，3a)3a(3a，)f00f递增a31递减9a31递增可知：当x时，函数f为增函数，当x时，函数f也为增函数，当x时，函数f为减函数，当xa时，f的极大值为a31；当x3a时，f的极小值为9a31.(2)因为fx22ax3a2的对称轴为xa，且其图象的开口向上，所以f在区间上是增函数则在区间上恒有f3a等价于f的最小值大于3a成立所以f2a3a24a213a.解得a0，则a的取值范围是.7已知函数f(x)ln xax2(2a1)x，其中a为常数，且a0.(1)当a2时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x1处取得极值，且在的最大值为1，求a的值【解析】(1)f(x)ln x2x25x，f(x)4x5，令f(x)0，得x或1，则x1(1，)f(x)00f(x)增极大值减极小值增所以f(x)在，(1，)上单调递增，在上单调递减(2)f(x)，令f(x)0，x11，x2，因为f(x)在x1处取得极值，所以x2x11，0，x20；()当1时，f(x)在上单调递增，上单调递减，(1，e)上单调递增，所以最大值1可能在x或xe处取得，而flna(2a1)ln10，f(e)ln eae2(2a1)e1，a，()当1e时，f(x)在区间(0，1)上单调递增；上单调递减，上单调递增，所以最大值1可能在x1或xe处取得，而f(1)ln 1a0，所以f(e)ln eae2(2a1)e1，解得a，与1e矛盾；()当e时，f(x)在区间(0，1)上单调递增，在(1，e)上单调递减，所以最大值1可能在x1处取得，而f(1)ln 1a0)(1)若曲线yf(x)在点P(1，f(1)处的切线与直线yx2垂直，求函数yf(x)的单调区间；(2)若x(0，)都有f(x)2(a1)成立，试求a的取值范围；(3)记g(x)f(x)xb(bR)当a1时，函数g(x)在区间e1，e上有两个零点，求实数b的取值范围【解析】(1)直线yx2的斜率为1.函数f(x)的定义域为(0，)，因为f(x)，所以f(1)1，所以a1.所以f(x)ln x2.f(x).由f(x)0解得x2；由f(x)0解得0x0解得x；由f(x)0解得0x2(a1)成立，所以f2(a1)即可则aln22(a1)由alna解得0a0解得x1；由g(x)0解得0x1.所以函数g(x)在区间(0，1)为减函数，在区间(1，)为增函数又因为函数g(x)在区间e1，e上有两个零点，所以解得1be1.所以b的取值范围是.9.已知函数f(x)x2ex，e为自然对数的底数(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：x1，x2(，0，f(x1)f(x2)；(3)当n2时，求证：(n1)(en1)0，f(0)0，所以当x(，0时，f(x)最小值f(0)0，所以f(x)最大值f(x)最小值，所以x1，x2(，0，都有f(x1)f(x2)f(x)最大值f(x)最小值；(3)当n2时，n2，由(2)知：f(n)f(2)即，从而，将以上各式相加，得：，即：14，即：4，化简得：，即(n1)(en1)0，解得x(0，1)；由f(x)0，f(x)为增函数，当x(1，)时，f(x)0，f(x)为减函数，即f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，)(2)由(1)知对任意x1(0，)，f(x1)f(1)0，即f(x)的最大值为0，由题意知，任意x1(0，)，存在x2，使得f(x1)g(x2)成立，只需f(x)maxg(x)max，f(x)maxf(1)0.又g(x)，令h(x)xcos xsin x，则h(x)xsin x，当x时，h(x)0，h(x)h0时，g(x)0，g(x)在上为减函数，g(x)maxkk，k0，即k；当m0，g(x)在上为增函数，g(x)maxkk，k0，即k.11.设函数f(x)(xa)ln x，g(x).已知曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与直线2xy0平行(1)求a的值；(2)是否存在自然数k，使得方程f(x)g(x)在(k，k1)内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由(3)设函数m(x)minf(x)，g(x)(minp，q表示p，q中的较小值)，求m(x)的最大值【解析】(1)由题意知，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为2，所以f(1)2.又f(x)ln x1，所以a1.(2)k1时，方程f(x)g(x)在(1，2)内存在唯一的根理由如下：设h(x)f(x)g(x)(x1)ln x，当x(0，1时，h(x)110，所以存在x0(1，2)，使得h(x0)0.因为h(x)ln x1，所以当x(1，2)时，h(x)10，当x(2，)时，h(x)0，所以当x(1，)时，h(x)单调递增所以k1时，方程f(x)g(x)在(k，k1)内存在唯一的根(3)由(2)知，方程f(x)g(x)在(1，2)内存在唯一的根x0，且x(0，x0)时，f(x)g(x)，所以m(x)当x(0，x0)时，若x(0，1，m(x)0；若x(1，x0)，由m(x)ln x10，可知00，m(x)单调递增，x(2，)时，m(x)0，m(x)单调递减，可知m(x)m(2)，且m(x0)0)因为函数f(x)在(0，)内是增函数，所以f(x)2xa0在(0，)内恒成立，所以a2x在(0，)内恒成立，因为当x0时，2x2，当且仅当2x，即x时，等号成立所以实数a的取值范围为(，2(2)当a3时，f(x)2x3(x0)所以当x时，f(x)为增函数；当x时，f(x)为减函数；当x(1，)时，f(x)为增函数；所以f(x)在x处取得极大值fln ln 2，f(x)在x1处取得极小值f(1)132.(3)设g(x)ln xx2axln xx2(3a)x，则g(x)(3a).由(1)可知a(，2，且x(0，1，故g(x)0.所以g(x)在(0，1内为增函数因为g(x)maxg(1)2a0，即a2，所以a的取值范围是2，214已知函数f(x)exsin x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当x时，f(x)kx，求实数k的取值范围【解析】(1)f(x)exsin xexcos xex(sin xcos x)，令ysin xcos xsin，当x，f(x)0，f(x)单调递增，x，f(x)0，f(x)单调递减，函数f的单调递增区间为，kZ，函数f的单调递减区间为，kZ.(2)令g(x)f(x)kxexsin xkx，即g(x)0恒成立，而g(x)ex(sin xcos x)k，令h(x)ex(sin xcos x)h(x)ex(sin xcos x)ex(cos xsin x)2excos x，x，h(x)0h(x)在上单调递增，1h(x)e，当k1时，g(x)0，g(x)在上单调递增，g(x)g(0)0，符合题意；当ke时，g(x)0g(x)在上单调递减，g(x)g(0)0，与题意不合；当1ke时，g(x)为一个单调递增的函数，而g(0)1k0，由零点存在性定理，必存在一个零点x0，使得g(x0)0，当x0，x0)时，g(x)0，从而g(x)在x0，x0)上单调递减，从而g(x)g(0)0，与题意不合，综上所述：k的取值范围为(，115已知x1是f2xln x的一个极值点(1)求函数f的单调减区间；(2)设函数gf，若函数g在区间内单调递增，求a的取值范围【解析】(1)因为x1是f(x)2xln x的一个极值点，所以f(1)0，b3，经检验，适合题意，所以b3，定义域为(0，)，由f(x)20，即0，得x1，所以函数的单调递减区间为(0，1(2)gf2xln x，g2，因为函数在上单调递增，所以g0恒成立，即20恒成立，所以a2x2x，即a，而在上3，所以a3.16已知函数f在点的切线方程为xy30.(1)求函数f的解析式；(2)设gln x，当x时，求证：gf.(3)已知0a.【解析】(1)将x1代入切线方程得y2，f(1)2，化简得ba4.f(x)f(1)1，解得：a2，b2.f(x).(2)由已知得ln x在1，)上恒成立，化简(x21)ln x2x2，即x2ln xln x2x20在1，)上恒成立设h(x)x2ln xln x2x2，h(x)2xln xx2, x1