高一暑假数学作业答案.docx

崇德 挚爱 笃学 思辨北京市玉渊潭中学高一数学暑假作业高一数学组第一次1.1正弦定理和余弦定理11.1正弦定理(一)一、基础过关1在ABC中，下列等式中总能成立的是(D)AasinAbsinBBbsinCcsinACabsinCbcsinBDasinCcsinA2在ABC中，若A30，B60，b，则a等于(B)A3 B1 C2 D.3在ABC中，sin2Asin2Bsin2C，则ABC为(A)A直角三角形B等腰直角三角形C等边三角形D等腰三角形4在ABC中，若a2bsinA，则B为(C)A.B.C.或D.或5在ABC中，已知abc345，则_.6在ABC中，若b5，B，sinA，则a_.7已知在ABC中，c10，A45，C30，求a、b和B. 解：，a10.B180(AC)180(4530)105.又，b20sin75205()8在ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，求证：a2sin2Bb2sin2A2absinC. 证明因为左边4R2sin2Asin2B4R2sin2Bsin2A8R2sin2AsinBcosB8R2sin2BsinAcosA8R2sinAsinB(sinAcosBcosAsinB)8R2sinAsinBsin(AB)8R2sinAsinBsinC2(2RsinA)(2RsinB)sinC2absin C右边，等式成立二、能力提升9在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a，b2，sinBcosB，则角A的大小为 (D)A.B.C.D.10在ABC中，sinA，a10，则边长c的取值范围是 (D)A.B(10，)C(0,10) D.11在ABC中，若tanA，C150，BC1，则AB_.12在ABC中，已知a、b、c分别为内角A、B、C的对边，若b2a，BA60，求A的值 b2asin B2sin A，又BA60，sin(A60)2sin A，即sinAcos60cosAsin602sinA，化简得：sin Acos A，tan A，A30.三、探究与拓展13在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果ca，B30，求角C的大小解ca，sinCsinAsin(18030C)sin(30C)，即sinCcosCtanC.又C(0，180)，C120.第二次 1.1.1正弦定理(二)一、基础过关1在ABC中，若，则ABC是(B)A直角三角形B等边三角形C钝角三角形D等腰直角三角形2在ABC中，A60，a，b，则B等于(C)A45或135 B60C45 D1353下列判断中正确的是(D)A当a4，b5，A30时，三角形有一解B当a5，b4，A60时，三角形有两解C当a，b，B120时，三角形有一解D当a，b，A60时，三角形有一解4在ABC中，a2，A30，C45，则ABC的面积SABC等于(A)A.1 B.1C.2 D.25已知ABC中，AB，AC1，且B30，则ABC的面积等于(D)A.B.C.或D.或6若ABC的面积为，BC2，C60，则边AB的长度为_2_7在ABC中，若，则ABC的形状是_等边三角形_8在ABC中，已知2asin B3b，且cos Bcos C，试判断ABC的形状 解2asin B3b，2(2Rsin A)sin B3(2Rsin B)，sin A，A60或120.cos Bcos C，BC.当A60时，BC60，ABC是等边三角形；当A120时，BC30，ABC是顶角为120的等腰三角形二、能力提升9ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin Bbcos2Aa，则等于 (D)A2B2C.D.10在ABC中，A60，a6，b12，SABC18，则_12_，c_6_.11在ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a2，C，cos ，求ABC的面积S.解cos B2cos21，故B为锐角，sin B.所以sin Asin(BC)sin.由正弦定理得c，所以SABCacsin B2.12在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且c10，又知，求a、b及ABC内切圆的半径 解由正弦定理知，.即sin Acos Asin Bcos B，sin 2Asin 2B.又ab，2A2B，即AB.ABC是直角三角形，且C90，由，得a6，b8.故内切圆的半径为r2.三、探究与拓展13已知ABC的面积为1，tan B，tan C2求ABC的各边长以及ABC外接圆的面积解tan B0，B为锐角sin B，cos B.tan C2，C为钝角sin C，cos C.sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C.SABCabsin C2R2sin Asin Bsin C2R21.R2，R.R2，即外接圆的面积为.a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C.第三次 1.1.2余弦定理(一)一、基础过关1已知a、b、c为ABC的三边长，若满足(abc)(abc)ab，则C的大小为(C)A60B90C120D1502在ABC中，已知sinAsinBsinC357，则这个三角形的最小外角为 (B)A30B60C90D1203在ABC中，已知b2ac且c2a，则cosB等于 (B)A.B.C.D.4若ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(ab)2c24，且C60，则ab的值为 (A)A.B84 C1D.5已知ABC的三边长分别是2m3，m22m，m23m3(m0)，则最大内角的度数_120_6在ABC中，已知a2，b4，C60，则A_30_.7在ABC中，BCa，ACb，且a，b是方程x22x20的两根，2cos(AB)1.(1)求角C的度数；(2)求AB的长；(3)求ABC的面积解(1)cosCcos(AB)cos(AB)，又C(0，180)，C120.(2)a，b是方程x22x20的两根，AB2a2b22abcos120(ab)2ab10，AB.(3)SABCabsinC.8设a1，a，a1为钝角三角形的三边，求a的取值范围解a10，a1，最大边为a1.三角形为钝角三角形，a2(a1)20.又aa1a1，a2.二、能力提升9在ABC中，sin2Asin2Bsin2CsinBsinC，则A的取值范围是 (C)A.B. C.D.10如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是 (A)A锐角三角形B直角三角形 C钝角三角形D由增加的长度确定11如图，CD16，AC5，BDC30，BCA120，则AB=_.12在ABC中，已知ab4，ac2b，且最大角为120，求三边长解由，得.abc，A120，a2b2c22bccos120，即(b4)2b2(b4)22b(b4)，即b210b0，解得b0(舍去)或b10.当b10时，a14，c6.三、探究与拓展13ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cosA.(1)求；(2)若cb1，求a的值解(1)由cosA，得sinA.又bcsinA30，bc156.bccos A156144.(2)a2b2c22bccos A(cb)22bc(1cos A) 1215625，a5.第四次 1.1.2余弦定理(二)一、基础过关1在ABC中，若b2a2c2ac，则B等于(C)A60B45或135C120D302若三条线段的长分别为5,6,7，则用这三条线段(B)A能组成直角三角形B能组成锐角三角形C能组成钝角三角形D不能组成三角形3在ABC中，sinAsinBsinC323，则cosC的值为 (A)A.BC.D4在ABC中，已知b3，c3，A30，则角C等于(B)A30B120C60D1505在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a2bcosC，则此三角形一定是(C)A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰三角形或直角三角形6在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2c2b2ac，则角B的值为_7已知ABC的内角B60，且AB1，BC4，则边BC上的中线AD的长为_8ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，asinAcsinCasinCbsinB.(1)求B；(2)若A75，b2，求a，c.解(1)由正弦定理得a2c2acb2，由余弦定理得b2a2c22accosB，故cosB.又B为三角形的内角，因此B45.(2)sinAsin(3045)sin30cos45cos30sin45.故a1，c2.二、能力提升9在钝角ABC中，a1，b2，则最大边c的取值范围是(C)A1c3B2c3C.c3D2c310在ABC中，AB3，AC2，BC，则_.11在ABC中，B45，AC，cosC.(1)求边BC的长；(2)记AB的中点为D，求中线CD的长解(1)由cosC，得sinC.sinAsin(18045C)(cosCsinC).由正弦定理知BCsinA3.(2)ABsinC2，BDAB1.由余弦定理知CD12在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C.(1)求sinC的值；(2)当a2,2sinAsinC时，求b及c的长解(1)cos2C12sin2C，0C，sinC.(2)当a2,2sinAsinC时，由正弦定理，得c4.由cos2C2cos2C1及0C0)，解得b或2，或三、探究与拓展13某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人能否做出这样的三角形？若能，是什么形状；若不能，请说明理由解此人能做出这样的三角形理由如下：设高线，分别对应的边为a，b，c，ABC的面积为S，S0，则由Sa得a26S，由Sb得b22S，由Sc得c10S.b2c2a2(22S)2(10S)2(26S)24S2(11252132)0，能做出这样的三角形且为钝角三角形第五次 正弦定理和余弦定理综合一、基础过关1在ABC中，若a18，b24，A44，则此三角形解的情况为()A无解B两解 C一解D解的个数不确定2在ABC中，BC1，B，当ABC的面积等于时，sin C等于()A.B. C.D.3ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c，b，B120则a等于()A. B2 C.D.4若ABC的内角A、B、C满足6sin A4sin B3sin C，则cos B等于()A.B. C. D.5在ABC中，若a2bc，则角A是()A锐角 B钝角 C直角 D606在ABC中，AB2，AC，BC1，AD为边BC上的高，则AD的长是_7已知ABC的面积为2，BC5，A60，则ABC的周长是_8在ABC中，求证：.二、能力提升9在ABC中，已知a4b4c42c2(a2b2)，则角C为()A30 B60 C45或135 D12010在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b2，sin Bcos B，则角A的大小为_11在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求A的大小；(2)若sin Bsin C1，试判断ABC的形状12已知ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m(sin C，sin Bcos A)，n(b,2c)，且mn0.(1)求A的大小；(2)若a2，c2，求ABC的面积S的大小三、探究与拓展13在锐角ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若6cos C，求的值答案1B2.A3.D4.D5.A6.7.128证明右边cos Bcos A左边所以.9C由已知有a4b4c42a2c22b2c20，(a2b2)22(a2b2)c2c42a2b2，(a2b2c2)22a2b2，a2b2c2ab0或a2b2c2ab0.c2a2b2ab或c2a2b2ab.cos c或cos C.C45或135.10.11解(1)由已知，根据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理得a2b2c22bccos A，所以cos A，故A120.(2)由得sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C，又sin Bsin C1，故sin Bsin C.因为0B90，0C90，故BC.所以ABC是等腰的钝角三角形12解(1)mn0，(sin C，sin Bcos A)(b,2c)0.bsin C2csin Bcos A0.，bc2bccos A0.b0，c0，12cos A0.cos A.0A，A.(2)在ABC中，a2b2c22bccos A，12b244bcos.b22b80.b4(舍)或b2.ABC的面积Sbcsin A22.13解由6cos C得b2a26abcos C.化简整理得2(a2b2)3c2，将切化弦，得().根据正、余弦定理得4.故4.第六次21.1数列一、基础过关1数列，的第10项是()A. B. C. D.2数列n2n中的项不能是()A380 B342 C321 D3063数列1,3,6,10，的一个通项公式是()Aann2n1 BanCanDann214已知数列，那么0.94,0.96,0.98,0.99中属于该数列中某一项值的应当有()A1个 B2个 C3个 D4个5数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，的一个通项公式an等于()A.(10n1) B.(10n1)C.(1) D.(10n1)6在数列，2，x,2，2，中，x_.7用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是_8写出下列数列的一个通项公式(可以不写过程)(1)3,5,9,17,33，；(2)，；(3)，2，8，；(4)1,0，0，0，0，.二、能力提升9已知an，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是()Aa1，a30Ba1，a9Ca10，a9Da10，a3010由花盆摆成以下图案，根据摆放规律，可得第5个图形中的花盆数为_11在数列an中，a12，a1766，通项公式an是n的一次函数(1)求an的通项公式；(2)88是否是数列an中的项？12已知函数f(x)2x2x，数列an满足f(log2an)2n.(1)求数列an的通项公式；(2)证明：数列an是递减数列三、探究与拓展13已知数列：(1)求这个数列的第10项；(2)是不是该数列中的项，为什么？(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间内有无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由答案1C2.C3.C4.C5.C6.7an2n18解(1)an2n1.(2)an.(3)由于在所给数列的项中，有的是分数，有的是整数，可将数列各项都统一成分数，再观察，在数列，中，分母为2，分子为n2，故an.(4)把数列改写成，分母依次为1,2,3，而分子1,0，1,0，周期性出现，因此，我们可以用sin 表示，故an.9C106111解(1)设anknb，则解得.an4n2.(2)令an88，即4n288，解得n22.5N*.88不是数列an中的项12(1)解因为f(x)2x2x，f(log2an)2n，所以2log2an2log2an2n，an2n，所以a2nan10，解得ann.因为an0，所以ann.(2)证明0，所以an1an，所以数列an是递减数列13(1)解设f(n).令n10，得第10项a10f(10).(2)解令，得9n300.此方程无正整数解，所以不是该数列中的项(3)证明an1，又nN*，01，0an1.数列中的各项都在区间(0,1)内(4)解令an，.n.当且仅当n2时，上式成立，故区间上有数列中的项，且只有一项为a2.第七次2.1.2数列的递推公式一、基础过关1已知数列an的首项为a11，且满足an1an，则此数列的第4项是()A1 B.C.D.2数列an中，a11，对所有的n2，都有a1a2a3ann2，则a3a5等于()A.B.C.D.3若a11，an1，则给出的数列an的第7项是()A.B.C.D.4由1,3,5，2n1，构成数列an，数列bn满足b12，当n2时，bnabn1，则b6的值是()A9 B17 C33 D655已知数列an满足an1若a1，则a2 013的值为()A.B.C.D.6已知数列an满足a1，anan1an1an，则数列an的通项公式是_7已知数列an满足a11，an1an，nN*，求通项公式an.8在数列an中，a1，an1 (n2，nN*)(1)求证：an3an；(2)求a2 012.二、能力提升9在数列an中，a12，an1anln，则an等于()A2ln nB2(n1)ln nC2nln nD1nln n10设an是首项为1的正项数列，且(n1)anaan1an0(n1,2,3，)，则它的通项公式是_11已知数列an中，a4，an(n2)(1)证明：2(n2)，并求出a1的值；(2)求出数列an的通项an.12某餐厅供应1 000名学生用餐，每星期一有A、B两种菜可供选择，调查资料显示星期一选A菜的学生中有20%在下周一选B菜，而选B菜的学生中有30%在下周一选A菜，用An、Bn分别表示在第n个星期一选A菜、B菜的学生数，试写出An与An1的关系及Bn与Bn1的关系三、探究与拓展13在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图1所示的正六边形，第三件首饰如图2，第四件首饰如图3，第五件首饰如图4，以后每件首饰都在前一件上按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，设第n件首饰所用珠宝数为f(n)(1)求f(n1)f(n)的值；(2)求f(n)(提示：123(n1)答案1B2.C3.C4.C5C6an7解an1an，a2a1；a3a2；a4a3；anan1；以上各式累加得，ana111.an11，an.8(1)证明an311111111(1an)an.an3an.(2)解由(1)知数列an的周期T3，a1，a21，a32.又a2 012a36702a21.a2 0121.9Aan1anln，an1anlnlnln(n1)ln n又a12，ana1(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)2ln 2ln 1ln 3ln 2ln 4ln 3ln nln(n1)2ln nln 12ln n10an11(1)证明an(n2)，2328.2，a1.(2)解由(1)知，2222n，an，nN.12解由题意知：由An1Bn11 000，得Bn11 000An1.所以An0.8An10.3(1 000An1)0.5An1300.同理，Bn0.2(1 000Bn1)0.7Bn10.5Bn1200.13解(1)珠宝的数目依次是：f(1)1，f(2)15，f(3)159，f(4)15913，f(5)1591317，f(2)f(1)5，f(3)f(2)9，f(4)f(3)13，f(5)f(4)17，f(n1)f(n)4n1.(2)由(1)知f(n1)f(n)4n1.f(n)f(1)f(2)f(1)f(3)f(2)f(n)f(n1)1(411)(421)(431)4(n1)1n4123(n1)n4n2n(n1)2n2n.第八次22.1等差数列(一)一、基础过关1已知数列an满足a12，an1an10，则数列的通项an等于()An21Bn1C1nD3n2等差数列20,17,14,11，中第一个负数项是()A第7项B第8项C第9项D第10项3若5，x，y，z,21成等差数列，则xyz的值为()A26B29C39D524an是首项a11，公差d3的等差数列，若an2011，则n等于()A671B670C669D6685已知等差数列an中，a7a916，a41，则a12的值是()A15B30C31D646已知a，b，则a、b的等差中项是_.7等差数列an中，已知a1，a2a54，an33，求n的值8某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km(不含4km)计费10元如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？二、能力提升9一个首项为23，公差为整数的等差数列，第7项开始为负数，则它的公差是()A2B3C4D610若mn，两个等差数列m、a1、a2、n与m、b1、b2、b3、n的公差为d1和d2，则的值为_11一个等差数列an中，a11，末项an100(n3)，若公差为正整数，那么项数n的取值有_种可能12若，是等差数列，求证：a2，b2，c2成等差数列三、探究与拓展13已知等差数列an：3,7,11,15，.(1)135,4m19(mN*)是an中的项吗？试说明理由(2)若ap，aq(p，qN*)是数列an中的项，则2ap3aq是数列an中的项吗？并说明你的理由答案1D2.B3.C4.A5.A6.7解a2a5(a1d)(a14d)2a15d4，d.ana1(n1)n.由ann33，解得n50.8解根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元所以，可以建立一个等差数列an来计算车费令a111.2，表示4km处的车费，公差d1.2，那么，当出租车行至14km处时，n11，此时需要支付车费a1111.2(111)1.223.2(元)即需要支付车费23.2元9C由题意，知a60，a70.，d.dZ，d4.10.11.512证明，是等差数列，.(ab)(ca)(bc)(ca)2(ab)(bc)，(ca)(ac2b)2(ab)(bc)，2ac2ab2bca2c22ab2ac2bc2b2，a2c22b2，a2，b2，c2成等差数列13解a13，d4，ana1(n1)d4n1.(1)令an4n1135，n34，135是数列an中的第34项令an4n14m19，则nm5N*.4m19是an中的第m5项(2)ap，aq是an中的项，ap4p1，aq4q1.2ap3aq2(4p1)3(4q1)8p12q54(2p3q1)1N*，2ap3aq是an中的第2p3q1项第九次2.2.1等差数列(二)一、基础过关1在等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8的值等于()A45B75C180D3002设an是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是()A1B2C4D63等差数列an的公差d1，nN*时，有，设bn，nN*.(1)求证：数列bn为等差数列(2)试问a1a2是否是数列an中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由答案1C2.B3.D4.D5.B647解设公差为d，则d1，从而amnam(mnm)dnn(1)0.8解设这四个数为a3d，ad，ad，a3d，则由题设得解得或所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.9B10.8511.12(1)证明an4 (n2)，an14 (nN*)bn1bn.bn1bn，nN*.bn是等差数列，首项为，公差为.(2)解b1，d.bnb1(n1)d(n1).，an2.13(1)证明当n1，nN*时，224bnbn14，且b15.bn是等差数列，且公差为4，首项为5.(2)解由(1)知bnb1(n1)d54(n1)4n1.an，nN*.a1，a2，a1a2.令an，n11.即a1a2a11，a1a2是数列an中的项，是第11项第十次2.2.2等差数列的前n项和(一)一、基础过关1设Sn为等差数列an的前n项和，若a11，公差d2，Sk2Sk24，则k等于()A8B7C6D52设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7等于()A13B35C49D633含2n1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为()A.B.C.D.4已知等差数列an中，aa2a3a89，且an0.a3a4a2a522，又a3a4117，a3，a4是方程x222x1170的两个根又公差d0，a3a4，a39，a413.，an4n3.(2)由(1)知，Snn142n2n，bn.b1，b2，b3.bn是等差数列，2b2b1b3，2c2c0，c (c0舍去)第十一次2.2.2等差数列的前n项和(二)一、基础过关1若数列an的前n项和Snn21，则a4等于()A7 B8 C9 D172已知数列an的前n项和Snn3，则a5a6的值为()A91 B152 C218 D2793设Sn是等差数列an的前n项和，若，则等于()A1 B1 C2 D.4设Sn是等差数列an的前n项和，若，则等于()A.B.C.D.5已知数列an的前n项和Snn29n，第k项满足5ak8，则k为()A9 B8 C7 D66数列an的前n项和为Sn，且Snn2n(nN*)，则通项公式为_7已知数列an的前n项和公式为Sn2n230n.(1)求数列an的通项公式an；(2)求Sn的最小值及对应的n值8设等差数列an满足a35，a109.(1)求an的通项公式；(2)求an的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值二、能力提升9设an是等差数列，Sn是其前n项和，且S5S8，则下列结论错误的是()AdS5DS6与S7均为Sn的最大值10设Sn为等差数列an的前n项和，若a41，S510，则当Sn取得最大值时，n的值为_11若数列an是等差数列，首项a10，a2 003a2 0040，a2 003a2 0040，则使前n项和Sn0成立的最大自然数n是_12数列an中，a18，a42，且满足an22an1an0 (nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)设Sn|a1|a2|an|，求Sn.三、探究与拓展13设等差数列an的前n项和为Sn，已知a312，且S120，S130.(1)求公差d的取值范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由答案1A2.B3.A4.A5.B6an2n27解(1)Sn2n230n，当n1时，a1S128.当n2时，anSnSn1(2n230n)2(n1)230(n1)4n32.an4n32，nN.(2)Sn2n230n2(n)2当n7或8时，Sn最小，且最小值为S7S8112.8解(1)由ana1(n1)d及a35，a109得可解得所以数列an的通项公式为an112n.(2)由(1)Snna1d10nn2.因为Sn(n5)225，所以当n5时，Sn取得最大值9C由S50.又S6S7a70，所以dS8a80，因此，S9S5a6a7a8a92(a7a8)0，即S95时，an0；当n5时，an0；当n0.当n5时，Sn|a1|a2|an|a1a2a5(a6a7an)S5(SnS5)2S5Sn2(9525)9nn2n29n40，当n5时，Sn|a1|a2|an|a1a2an9nn2.Sn.13解(1)根据题意，得整理得：解得：d3.(2)da2a3a12a13，而S1313a70，a70，a60.数列an的前6项和S6最大第十二次23.1等比数列(一)一、基础过关1在等比数列an中，a11，公比|q|1.若ama1a2a3a4a5，则m等于()A9 B10 C