（浙江通用）高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.8 函数与方程.doc

【步步高】（浙江通用）2017版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数i 2.8 函数与方程1函数的零点(1)函数零点的定义对于函数yf(x)(xd)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)(xd)的零点(2)几个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0)的图象与零点的关系000)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数210【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点()(2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.()(3)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点()(4)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)f(b)0，则函数f(x)在a，b上有且只有一个零点()1函数f(x)ex3x的零点个数是()a0 b1 c2 d3答案b解析f(1)30，f(x)在(1,0)内有零点，又f(x)为增函数，函数f(x)有且只有一个零点2(2015安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()aycos x bysin xcyln x dyx21答案a解析由于ysin x是奇函数；yln x是非奇非偶函数；yx21是偶函数但没有零点；只有ycos x是偶函数又有零点3函数f(x)log2x的零点所在的区间为()a(0,1) b(1,2)c(2,3) d(3,4)答案b解析由于f(1)log21110，因此f(1)f(2)2时，g(x)x1，f(x)(x2)2；当0x2时，g(x)3x，f(x)2x；当x2时，方程f(x)g(x)0可化为x25x50，其根为x或x(舍去)；当0x2时，方程f(x)g(x)0可化为2x3x，无解；当x0时，方程f(x)g(x)0可化为x2x10，其根为x或x(舍去)所以函数yf(x)g(x)的零点个数为2.5函数f(x)ax12a在区间(1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是_答案解析函数f(x)的图象为直线，由题意可得f(1)f(1)0，(3a1)(1a)0，解得a1，实数a的取值范围是.题型一函数零点的确定命题点1函数零点所在的区间例1已知函数f(x)ln xx2的零点为x0，则x0所在的区间是()a(0,1) b(1,2) c(2,3) d(3,4)答案c解析f(x)ln xx2在(0，)是增函数，又f(1)ln 11ln 120，f(2)ln 200，x0(2,3)，故选c.命题点2函数零点个数的判断例2(1)函数f(x)的零点个数是_(2)若定义在r上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x0,1时，f(x)x，则函数yf(x)log3|x|的零点个数是()a多于4 b4c3 d2答案(1)2(2)b解析(1)当x0时，令x220，解得x(正根舍去)，所以在(，0上有一个零点当x0时，f(x)20恒成立，所以f(x)在(0，)上是增函数又因为f(2)2ln 20，所以f(x)在(0，)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.(2)由题意知，f(x)是周期为2的偶函数在同一坐标系内作出函数yf(x)及ylog3|x|的图象，如图：观察图象可以发现它们有4个交点，即函数yf(x)log3|x|有4个零点命题点3求函数的零点例3已知f(x)是定义在r上的奇函数，当x0时，f(x)x23x，则函数g(x)f(x)x3的零点的集合为()a1,3 b3，1,1,3c2，1,3 d2，1,3答案d解析当x0时，f(x)x23x，令g(x)x23xx30，得x13，x21.当x0，f(x)(x)23(x)，f(x)x23x，f(x)x23x.令g(x)x23xx30，得x32，x420(舍)，函数g(x)f(x)x3的零点的集合是2，1,3，故选d.思维升华(1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法(2)判断函数零点个数的方法：解方程法；零点存在性定理、结合函数的性质；数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数(1)已知函数f(x)log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()a(0,1) b(1,2)c(2,4) d(4，)(2)函数的零点个数为()a0 b1c2 d3答案(1)c(2)b解析因为f(1)6log2160，f(2)3log2220，f(4)log240，所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4)(2)方法一令f(x)0，得x，在平面直角坐标系中分别画出函数y与yx的图象，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选b.方法二f(0)1，f(1)，f(0)f(1)0)，则原方程可变为t2ata10，(*)原方程有实根，即方程(*)有正根令f(t)t2ata1.若方程(*)有两个正实根t1，t2，则解得1a22；若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根不合题意，舍去)，则f(0)a10，解得a0，解得a1.综上，a的取值范围是(，22 方法二(分离变量法)由方程，解得a，设t2x (t0)，则a2，其中t11，由基本不等式，得(t1)2，当且仅当t1时取等号，故a22.思维升华对于“af(x)有解”型问题，可以通过求函数yf(x)的值域来解决，解的个数可化为函数yf(x)的图象和直线ya交点的个数(1)函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是()a(1,3) b(1,2)c(0,3) d(0,2)(2)已知函数f(x)若方程f(x)a0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是()a(1,3) b(0,3) c(0,2) d(0,1)答案(1)c(2)d解析(1)因为函数f(x)2xa在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)f(2)0，所以(a)(41a)0，即a(a3)0.所以0a3.(2)画出函数f(x)的图象如图所示，观察图象可知，若方程f(x)a0有三个不同的实数根，则函数yf(x)的图象与直线ya有3个不同的交点，此时需满足0a1，故选d.题型三二次函数的零点问题例5已知f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围解方法一设方程x2(a21)x(a2)0的两根分别为x1，x2(x1x2)，则(x11)(x21)0，x1x2(x1x2)10，由根与系数的关系，得(a2)(a21)10，即a2a20，2a1.方法二函数图象大致如图，则有f(1)0，即1(a21)a20，2a1.故实数a的取值范围是(2,1)思维升华解决与二次函数有关的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组(2015成都第一次诊断性检测)若关于x的方程x2ax40在区间2,4上有实数根，则实数a的取值范围是()a(3，) b3,0 c(0，) d0,3答案b解析如果方程有实数根，注意到两个根之积为40时，f(x)2 016xlog2 016x，则在r上函数f(x)的零点个数为_易错分析得出当x0时的零点个数后，容易忽略条件：定义在r上的奇函数，导致漏掉x0时，由f(x)2 016xlog2 016x0得2 016xlog2 016xlogx.作出函数y2 016x与函数ylogx的图象，可知它们只有一个交点，所以当x0时函数只有一个零点由于函数为奇函数，所以当x0时函数的零点个数也可利用零点存在性定理结合函数单调性确定(2)函数的定义域是讨论函数其他性质的基础，要给予充分重视方法与技巧1函数零点的判定常用的方法有(1)零点存在性定理；(2)数形结合：函数yf(x)g(x)的零点，就是函数yf(x)和yg(x)图象交点的横坐标(3)解方程2二次函数的零点可利用求根公式、判别式、根与系数的关系或结合函数图象列不等式(组)3利用函数零点求参数范围的常用方法：直接法、分离参数法、数形结合法. 失误与防范1函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象2判断零点个数要注意函数的定义域，不要漏解；画图时要尽量准确a组专项基础训练(时间：35分钟)1函数f(x)ln的零点所在的大致区间是()a(1,2) b(2,3)c(3,4) d(1,2)与(2,3)答案b解析f(x)lnln(x1)，当1x2时，ln(x1)0，所以f(x)0，故函数f(x)在(1,2)上没有零点f(2)1ln 11，f(3)ln 2.22.828e，8e2，即ln 82，即f(3)0.又f(4)ln 30，f(x)在(2,3)内存在一个零点2已知三个函数f(x)2xx，g(x)x2，h(x)log2xx的零点依次为a，b，c，则()aabc bacbcbac dcab答案b解析方法一由于f(1)10，且f(x)为r上的递增函数故f(x)2xx的零点a(1,0)g(2)0，g(x)的零点b2；h10，且h(x)为(0，)上的增函数，h(x)的零点c，因此acb.方法二由f(x)0得2xx；由h(x)0得log2xx作出函数y2x，ylog2x和yx的图象(如图)由图象易知a0,0c1，而b2，故ac1时，由f(x)1log2x0，解得x，又因为x1，所以此时方程无解综上函数f(x)的零点只有0，故选d.4方程|x22x|a21(a0)的解的个数是()a1 b2 c3 d4答案b解析(数形结合法)a0，a211.而y|x22x|的图象如图，y|x22x|的图象与ya21的图象总有两个交点5已知函数f(x)(ar)，若函数f(x)在r上有两个零点，则a的取值范围是()a(，1) b(，0)c(1,0) d1,0)答案d解析当x0时，f(x)2x1.令f(x)0，解得x；当x0时，f(x)exa，此时函数f(x)exa在(，0上有且仅有一个零点，等价转化为方程exa在(，0上有且仅有一个实根，而函数yex在(，0上的值域为(0,1，所以0a1，解得1a0.故选d.6已知函数f(x)x2xa(a0)在区间(0,1)上有零点，则a的取值范围为_答案(2,0)解析ax2x在(0,1)上有解，又yx2x(x)2，函数yx2x，x(0,1)的值域为(0,2)，0a2，2a0的解集是_答案x|x0，即(4x22x6)02x2x30，解集为x|x18已知函数f(x)若函数g(x)f(x)m有3个零点，则实数m的取值范围是_答案(0,1)解析画出f(x)的图象，如图由于函数g(x)f(x)m有3个零点，结合图象得：0m0)(1)作出函数f(x)的图象；(2)当0ab，且f(a)f(b)时，求的值；(3)若方程f(x)m有两个不相等的正根，求m的取值范围解(1)如图所示(2)f(x)故f(x)在(0,1上是减函数，而在(1，)上是增函数由0ab且f(a)f(b)，得0a1b，且11，2.(3)由函数f(x)的图象可知，当0m0，则应有f(2)0，又f(2)22(m1)21，m.若f(x)0在区间0,2上有两解，则m1.由可知m的取值范围是(，1方法二显然x0不是方程x2(m1)x10的解，00时，xf(x)m，即xm，解得m2.即实数m的取值范围是(，12，)故选d.12函数f(x)3x7ln x的零点位于区间(n，n1)(nn)内，则n_.答案2解析由于ln 2ln e1，所以f(2)1，所以f(3)0，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故n2.13已知0a0和k0作出函数f(x)的图象当0k1或k0时，没有交点，故当0k1时满足题意14(2015湖南)若函数f(x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是_答案(0,2)解析由f(x)|2x2|b0，得|2x2|b.在同一平面直角坐标系中画出y|2x2|与yb的图象，如图所示则当0b2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)|2x2|b有两个零点15已知函数f(x)是定义在r上的奇函数，在(0,2上是增函数，且f(x4)f(x)，给出下列结论：若0x1x20；若0x1x2f(x2)；若方程f(x)m在8,8内恰有四个不同的实根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x48或8；函数f(x)在8,8内至少有5个零点，至多有13个零点其中结论正确的有()a1个 b2个c3个 d4个答案c解析f(x4)f(x)，f(x8)