数学分析中的归纳与总结.pdf

1 数学分析中的归纳与总结数学分析中的归纳与总结 一 数学分析的现状一 数学分析的现状 数学分析是高等学校数学类专业一门必修的重要基础课 通过这 门课程的学习 使学生获得微积分学的基本理论 数学分析课在数学 类专业中占有重要地位 它兼有工具性和理论性 既是专业基础课 又是专业理论课 本课程为各门后继课程如微分方程 微分几何 复 变函数 实变函数 泛函分析 概率论与数理统计 基础物理 理论 力学等提供必需的基础知识和基本能力及思维方法的训练 为以后的 学习 研究和应用打好基础 同时通过本课程的教学 锻炼和提高学 生的思维能力 培养学生掌握分析问题和解决问题的思想方法 本课 程不仅对许多后继课程的学习有直接影响 而且对学生基本功的训练 与良好素质的培养起着十分重要的作用 数学分析课程内容体系庞大 思想深邃 方法多样 技巧精妙 习题量大 学习时限长 数学分析可以说是同学们本科阶段课时最长 的一门课程 三学期 二百四十八学时 还配备了六十节的习题课 学习数学分析的同学又都是一 二年级的同学 初进大学 对大学生 活本身就还存在一个适应问题 加之数学分析理论性较强 和同学们 中学阶段学习的数形结合较为紧密的初等数学存在着一定的不同 同 学们往往感到无所适从 无从下手 产生畏难情绪 学习时限长 学 2 生学习时总感到 只见树木 不见森林 同学们对数学分析往往缺 乏整体的认识和理解 数学分析是一个庞然大物 课时多 内容杂 因此 要驾驭好数 学分析 每一位同学除必须下大力气之外 还需寻求适当的方法 在数学分析的学习过程中 归纳与总结的应用不失为一种好的方 法之一 二 二 归纳总结的归纳总结的作用作用 一个善于学习的人 应该是一位善于归纳总结的人 例如 一 个农民 辛辛苦苦耕作一年 打了许多粮食 若不善于保存 让其发 霉变质了 一年的辛苦就打了水漂 只有善于收藏 才能衡量实际收 获的多少 同样 一个学生不停地学习 若不注意归纳总结 一边学 习 一边忘记 就做了无用功 其收获甚少 具体到我们数学分析而言 若将我们所学的数学分析比作一片森 林 那么我们数学分析所学的每一个部分就是森林中的一棵树 每个 部分研究的对象 就是那棵树的主干 其中的每一章就是这棵树主干 上的一个主枝 每章中的每一节就是主枝上的分枝 每节中的各个要 点就是分枝上的小枝 每个要点的内容就是这小枝上的树叶 如果没 有适当的归纳总结 没有清晰的思路 摆在我们眼前的只可能是一堆 杂陈的树枝和树叶 只有抓住主干 盯住主枝 再联想到小枝上的树 3 叶 则整棵树才会在我们的头脑中鲜活起来 这种采用树结构或提纲 式的方法进行归纳总结 是我们经常采用的且行之有效的方法之一 如果说我们所学数学分析是一个整体 那么它的每个章节就是这 个整体的一个局部 瞎子摸象的故事形象地向我们展示了整体和局部 的辨证关系 只有在研究局部时 把它与整体联系起来 或在研究整 体时注意到局部的细节 我们才既能全面把握住整体轮廓 又能准确 地把握住局部细节 事物的发展变化都是有其前因后果的 任何事物的存在都是与其 周围的事物有着千丝万缕的联系 如果我们学习研究每个章节内容的 同时 注意到了它与其前后章节知识之间以及与其他学科知识之间的 联系和异同 注意到了这些章节内容的前后演变过程 我们就不仅能 更加准确地理解和掌握这一章节的精髓 而且能更加深入地探索其中 的规律 将其各个部分用一根 红线 连接为一个有机的整体 其实 我们学习的过程就是近距离地观察树木 是观察那些树叶 和小枝 是学习局部的细节知识 站得不近 就看不清楚 学习不细 致 就易漏掉许多细节 而归纳总结则是站在远距离观察树木 是观 察其轮廓 把握整体的过程 站得不远 就观察不到整个轮廓 那么 做练习则是检查我们观察的结果 有时过于注意细节 站得太近 就 不容易把握住总体的整体轮廓 如同站在繁华的街道之中 不能了解 一座城市的全貌一样 只有处于整个城市的上空向下俯瞰 才能将城 市的轮廓尽收眼底 不识庐山真面目 只缘身在此山中 4 总之 归纳总结是学习过程中非常重要的一个环节 归纳总结的 过程是探寻知识内部规律和与外部联系的过程 也就是 悟 的过程 也就是我们通常所说的由 厚 到 薄 的过程 在学习时 若能养 成随时随地归纳总结的习惯 则可大大提高学习效率和学习成绩 三 三 归纳总结归纳总结在在数学分析中的应用数学分析中的应用 数学分析这门课 概念严谨 论证繁琐 在教学时 可根据教材 的特点 结构 认真总结规律 使学生有章可循 学得懂 记得牢 一 认识数学分析的结构特点 勾勒出数学分析的基本轮廓 一 认识数学分析的结构特点 勾勒出数学分析的基本轮廓 数学分析尽管内容繁多 它由微分学 积分学及指出二者是一对 矛盾的微积分基本定理 以及以此为基础的深化和应用几部分组成 从整个理论架构和教学的角度看 我们可将它归结为 一条线 一条线 索 两个字 三大基本功 四大支柱 五大综合运用能力 索 两个字 三大基本功 四大支柱 五大综合运用能力 一条线索 一条线索 即 极限 可以说极限思想贯穿于整个数学分析 的始终 导数是一种极限 是函数的改变量比上自变量的改变量 当 自变量改变量趋向于0时的极限 定积分是一种特殊的和式的极限 级数可以归结到数列的极限 广义积分定义为常义积分的极限 各种 重积分 曲线积分 曲面积分都分别是某类特殊和式的极限 所以说 极限理论是整个 数学分析 的基础 两个字 两个字 即 逼近 很多数学方法都用到了 逼近 的思想 5 在近似计算中 用容易求的割线代替曲线 用很短时间间隔的平均速 度代替瞬时速度 用若干个小矩形面积之和代替所求曲边梯形面积 用折线段的长度代替所求曲线的长度 用多项式代替连续函数等 这 种逼近思想在理论和实际工作中大量运用 三大基本功 三大基本功 即熟练深刻地掌握求极限 求导数 求积分的各 种方法 而每一种方法中又都包含若干种基本方法 如求极限的方法 至少有 10 多种 求导数的方法中尤其要十分熟练地掌握复合函数求 导的方法 事实证明 这三大基本功练好了 学习数学分析以及后续 课程如微分方程 含偏微分方程 就不会有太大的困难 而且也能做 到得心应手 四大支柱 四大支柱 是 数学分析 中最深刻 最基本 最能体现 数 学分析 特色的四个定理 即确界原理 魏尔斯特拉斯逼近定理 泰 勒定理 隐函数定理 它们支撑起 数学分析 的大厦 五大综合运用能力 五大综合运用能力 即综合运用极限概念与方法的能力 综 合运用导数与积分相结合的各种方法的能力 综合运用定积分思想方 法解决问题的能力 综合运用一元和多元相结合方法的能力 综合运 用各种方法解决实际问题的能力 五大综合运用能力 是从教材内 容和教学规律出发总结出来的 充分注重五大综合运用能力的教学 教师就能做到居高临下 把握全局 学生就能做到对整个 数学分析 的思想和方法有一个整体的理解 做到融会贯通 而不至对数学分析 这个 庞然大物 盲人摸象 条块分割 不得要领 6 二 二 对某些对某些基本概念基本概念 找出共同点及不同点找出共同点及不同点 以利学生对照掌握 以利学生对照掌握 例如我们的积分概念 定积分 二重积分 三重积分 第一类 曲线积分 第一类曲面积分 事实上都可以归结为黎曼积分 它们是 黎曼积分随着几何形体的不同而呈现的不同的表现形式而已 设 为一几何形体 它或者是直线段 或者是曲线段 或者是 一块平面图形 一块曲面 一块空间区域等等 这个几何形体是可 以度量的 也就是说它是可以求长的 或者是可以求面积的 可以求 体积的等等 在这个几何形体 上定义了一个函数 Mf 将此几何 形体 分为若干可以度量的小块 1 2 n 既然每一小块 都可度量 故它们皆有度量大小可言 把它们的度量大小仍记为 i ni 2 1 并令 的直径 i ni d 1 max 在每一块中 i 任意取一点 i M 作下列和式 也称为黎曼和数 或积 分和数 n i ii Mf 1 如果这个和式不论对于 的怎样分划以及 i M在 i 上如何选取 只要 当0 d时恒有同一极限I 则称此极限为 Mf在几何形体 上的黎 曼积分 记为 7 dMfI 也就是 n i ii d MfI 1 0 lim 这个极限是与分法及 i M取法无关的 现在我们将根据几何形体 的不同形态 进一步给出 上积分 的具体表示式及名称 1 如果几何形体 是一块可求长的直线段 ba 那么 ba 上的积 分就称为定积分 在直角坐标下记为 dxxf b a 2 如果几何形体 是一块可求面积的平面图形D 那么D上的 积分就称为二重积分 在直角坐标下记为 D dxdyyxf 3 如果几何形体 是一块可以求体积的空间几何体V 那么V上 的积分就称为三重积分 在直角坐标下记为 V dxdydzzyxf 4 如果几何形体 是一可求长的空间曲线段l 那么l上的积分 就称为第一类曲线积分 记为 l dszyxf 8 5 如果几何形体 是一可求面积的曲面片S 那么S上的积分就 称为第一类曲面积分 记为 dszyxf S 名称 几何形体 点函数 Mf 积分元素 dMf 定积分 ba xf dxd b a dxxf 二重积分 平面区域D yxf dxdyd dxdyyxf D 三重积分 空间区域V zyxf dxdydzd V dxdydzzyxf 第一类曲线积 分 一条曲线l zyxf dsd dszyxf l 第一类曲面积 分 曲面s zyxf dsd dszyxf s 这是它们的概念 由于它们都属于黎曼积分的范畴 它们的性质 也是类似的 三 三 对某些基本对某些基本定理 理清其来龙去脉 以利掌握 定理 理清其来龙去脉 以利掌握 数学分析的定理多而且很抽象 深刻理解 正确运用定理是学 好数学分析的关键 例如柯西收敛或一致收敛定理 主要有数列 函数 数项级数 广义积分 函数项级数 函数列 含参变量广义积分的柯西收敛 或 一致收敛 准则 这些定理 所涉及的概念分布在教材的不同地方 时间跨度在三学期 学生往往理不清头绪 理解不透 不会应用 将 其视为学习的难点 9 若在教学中适当地总结 这些定理都来源于数列 函数收敛的柯 西收敛准则 后面几个准则都是上述二准则的转化和延伸 就能使学 生理清思路 找准重点 便于掌握 至于 一致 二字无非是所找到的N对x 均成立 1 数列收敛的柯西收敛原理 n x收敛 0 正整数N Nn 自然数p npn xx 0 正整数N Nmn mn xx 2 平面点列收敛的柯西收敛原理 n M收敛 0 正整数N Nn 自然数p pnn MMr 0 正整数N Nmn pnn MMr 3 函数收敛的柯西收敛原理 xf xx 0 lim 存在 0 0 0 0 xx 0 0 xx xfxf xf xx0 0 lim 存在 0 0 0 0 xx 0 0 xx xfxf xf xx0 0 lim 存在 0 0 0 0 xx 0 0 xx 10 xfxf xf x lim存 在 0 0 X Xx Xx xfxf xf x lim存 在 0 0 X Xx Xx xfxf xf x lim存 在 0 0 X Xx Xx xfxf xf x lim存 在 0 0 X Xx Xx xfxf xf在 0 x连续 0 0 0 xx 0 xx xfxf 4 数项级数收敛的柯西收敛原理 1n n u收敛 0 正整数N Nn 自然数p pnnn uuu 21 0 正整数N Nmn mn nmm uuu 21 5 广义积分收敛的柯西收敛原理 11 dxxf a 收敛 0 0 X Xx Xx x x dxxf dxxf b a 为奇点ax 收敛 0 0 0 xx xa xa dxxf 6 函数列 函数项级数一致收敛的柯西收敛原理 xSn在X上一致收敛 0 正整数 N Nn 自然 数p Xx xSxS npn 0 正整数 N Nmn Xx xSxS mn xu n n 1 在X上一致收敛 0 正整数 N Nn 自 然数p Xx xuxuxu pnnn 21 0 正整数 N Nmn mn Xx xuxuxu nmm 21 7 含参变量广义积分一致收敛的柯西收敛原理 dxyxf a 关于 dcy 一致收敛 0 aX XXX dcy X X dxyxf dxyxf b a 为奇点ax 关于 dcy 一致收敛 12 0 0 0 xx dcy xa xa dxyxf 其来龙去脉其来龙去脉可用框图表示如下 可用框图表示如下 四 对复杂的无从下手的题型 总结解题思路 以便寻找解题方法 四 对复杂的无从下手的题型 总结解题思路 以便寻找解题方法 例 对任意项级数的收敛判别法 可总结出如下的审敛程序框图 13 五 对基本论证五 对基本论证计算计算 总结其一般方法 以利学生触类旁通 总结其一般方法 以利学生触类旁通 例 极限的论证计算 其一般方法可归纳如下 1 直接用定义 等 N证明极限 例 试证明0 1 lim n n 证 要使 0 1 n 只须 1 n 故 0 1 1 N Nn 有 0 1 n 2 适当放大 然后用定义或定理求极限或证明极限 14 例 证明 0 lim n an n 0 a 证 已知0 a是一个常数 正整数k 使得ka n a k a nk aa k a n a n a kkn n 1 0 1 k a n k 1 0 1 k a N k 当Nn 时 有 0 n an 3 用两边夹定理在判定极限存在的同时求出极限 例 求 n n n n 2642 12531 lim 解 nn n n n 2 1 22642 12753 2642 12531 nn n nn n 4 1 12531 2642 2 1 1253 264 nn n 4 1 2642 12531 2 两边开n2次方 1 2 1 2 1 4 1 2642 12531 1 222 nnn n nnn n 由两边夹 1 2642 12531 lim n n n n 4 利用等价性原理把求一般极限的问题化为无穷小量的极限问 题 例 设0 lSn n 0 p为常数 求证 pp n lS n 证 00 lSlS nn 得 lSn n 15 记 nn lS 其中 0 n n 再记 nn lS n n l l l 11 其中0 l n n n 则有 p n pp n lS 1 若取定自然数pK 则当1 n 时 K n p n K n 111 K n pp n p n pK n p lSll 111 由两边夹得证 5 通过分子有理化或分子分母同时有理化将表达式变形使之易 求极限 例 求极限 1sinlim 2 n n 解 1sinlim 2 n n nnn n 1sinlim 2 nn n n 1sin1lim 2 0 1 sin1lim 2 2 nn n n 6 换变量后利用复合函数求极限法则求极限 例 求极限 x xK x 11 lim 1 0 其中K是自然数 解 令 11 1 Kxy 当1 x时 有 xxxK 111 1 所以00 yx 利用复合函数求极限法则可得 x xK x 11 lim 1 0 K yyKKKy y y y K y K y 1 1 2 1 lim 11 lim 2 00 7 进行恒等变形化成已知极限进行计算 16 例 2 1 2 2 sin 2 1 lim 2 sin2 lim cos1 lim 2 0 2 2 0 2 0 x x x x x x xxx 8 用等价无穷小量进行变量替换后求极限 例 求极限 2 cos1 cos1 lim 0 x x x 解 xcos1 2 2 1 x 2 cos1 x 2 22 1 x 0 x 2 cos1 cos1 lim 0 x x x 4 22 1 2 1 lim 2 2 0 x x x 9 利用存在性定理确定极限的存在性并求极限 例 2 1 1 n n n x x x 2 1 n 0 1 ax 证明 n n x lim存在 并求此极限 证明 0 n x 2 1 1 n n n x x x 2 2 1 2 n n x x 0 2 2 2 1 2 1 n n n n n nn x x x x x xx nn xx 1 且 2 n x n n x lim存在 令 l n n x lim 有 2 1l l l 2 2 l 2 l 10 利用海涅定理解决极限问题 例 试证明函数 x xf 1 sin 当0 x时极限不存在 证 取0 2 2 1 n xn 0 2 1 n yn n 17 而 1 n xf 0 n yf 得证 11 把求极限问题化为导数问题计算 例 求极限 x xK x 11 lim 1 0 其中K是自然数 解 x xK x 11 lim 1 0 1 1 x x K K 1 12 利用洛必达法则求极限 例 x x tgx 2 0 2 lim 解 令 A x x tgx 2 0 2 lim lnln A x x tgx 2 0 2 lim x x tgx 2 0 2 lnlim t g x