数学高考解析几何试题的能力考查.pdf

平 曼 2 0 冉 比侧 1 9 9 9年 米 在 新 的轮 3 x 约高 芍 改 革中 数学 题 中半 面解 析 几何题 非 常重 视能 力 剥 豢质 的 考 卉 有 着 鲜 删 的学 科 特 色 下 列 特 点 皿锝 姜 往 一 以几 何 问题 为 背景 和依 托 重 点考 查 坐标 解 析 法 的 灵 活 连 用 能 力 坐标 解析 法是平 面桦 析几何 学 的核心 和精髓 该 浊 面 直如 恤标 系和 极 坐标 系酌 弓 1 人为摹础 在 平 i f I1 的点 与冀 数 埘f 点 的 坐杯 之 H 建 了一对应 芫 系 的法 刚 进 而腹用 集合 屹 的观点 建 起 曲线 与 方程 的 联 系 使之运 用解析 法 f 函数 方 等 代数方 浊 研 究 曲线 和儿 何I 划形 的性 质 成 为 r 能 反 之 叉 可借 助 I Ij 线 和 几何 彤 的 苴观 及其运 动 变化的 特征 加 挥 对函 数 和方程的代 数性 质的 探求 使几何 代数 得 和 旨协 删 瓦 以为用 这种 数形结 的思 想方 法 在解决 各种 问 题 巾 f分有用 固此 解 析法 于 几何 中的灵 活应 用水 平 是判 定数 学 索质 高低 的一项 重 要标 志 为 历年 柬 高考 数学 科考 试所高 度重 视 这 里 应强调 的 是突 出 灵括 应 用 而 是呆板 机 械的套用 倒 l f 2 0 o 1 年 商考数学试题 文理 1 4 j 题 双 曲线 一 一 1的两 个焦点 为 F 一 点 P在 双 曲线上 菪 上 州点 P到 轴的 距离 一 根据点 的直角 坐标 概念 点 P到 轴 的距离 即为点 P纵 坐标 的绝对值 依 题意 点 P满 足 两个 几何 条件 其 一 P在题 蹬积曲线 其 P到 泼l积曲线 两 个焦点 的 张角 是直 角 f 上P 解答 的关键 是如 何 灵活用 好 这 两 个条什 最活性 通 常体现 为对 条件 和要 求的恰 当 巧妙 的转化 与变通 就 本题 而 言 存 在 着 多种 转化 变通 办 法 借此 陵题 能有效 考查 和 区分 考生 的能力 列 举数 种 解答思路 供比较 参考 思 路 l P 上P 等价 于点 P 在 为直 径 的 圆 v 2 5上 联 立 圃 和 双 曲线 的 方程 可解 得 思路 2双 曲线 的 焦 点 l南 一 5 O 和 t 5 0 盅 门 f 直线垂 直条件 P c r 1 浦 肌上P F z 等 价于 一 t 即 2 5 y t 人 双 曲线 方程 可求 得 l 思路 3根据 1叔曲线 的几何性 质 1 l lP l 4 c 3 6 根据 直角三 角形性质 卸点 P到 轴 的距离 L IPF I 1 I P I 一一 J 且 有 I P F F I P I IF l 0 o 所 由这三十 式子 可求得 h 3 2 倒 2 2 0 0 1 年 高考 数学试题 理 1 9 题 文 2 题 设 抛 物线 Y x o O 1 的焦 点 为 经 过 点 的直 线交 抛 物 线 于 A B两点点 C在 抛 物线 的准线 上 且 B C 轴 证明 直线 AC经 过原点 0 依 题 意作 圈 1 该题 抛 物鼓 2 p x p o 为 背景 求证 焦点 弦 AB的性 质 7 l l 萋 维普资讯 自 的 2 1 一 伽 一 争 0 圈1 该 题 从 能 力要 求的 层次 看属 中等 当已 知三 十点 的坐标 时 证 明该 三点其 线 的方 法很多 例 如 1 证明 其 中 的一 点在 通过 其他 两 点 的直 线 上 正 如试题 中所 设问 的方式 2 由一 点 出发 证 明它 向其 他两 点所 引 直线 有相 同 的倾 斜角 或 相同 的斜 率 3 考虑 每每 两点 的距 离 征明其 中 的1 十 距 离等 于其他 两个 距离 的和或差 4 由一 点 出发 证 明该点 对其他 两 的 张角 等 于 零角 或平角 适 用于学 过 向量 内积者 1 5 证明 该 三点为 顶点 的 三 角形 的面积等 于零 适 用 于学 过 向量 矢积或 由顶 点坐 标 求 三 角形 面 积公 式 者 现 在 的问题 是 例 2中 的直线 A B是 经过 定 F 0 的动 直线 因此 点 A 和 连 带 点 C 的坐标 不 仅含 有参 数 p 还将 含有 另一 个 表 示 直线 AB的位 置参 数 如 AB的斜率 k之 类 因而 机 械地采用 上述 5种 思路 中 的一种 解答 本题 其 计算 都将 较 为繁 杂 回 避的 方法 是不去 求 出点 A 和 C的坐标 表达式 转 而 只导 出它们 坐标所 满 足的 某些关 系 式 并 灵活 应用 前述 的思 路获 得 所需 的证 明 可见该 题 的解 答十 分灵 活 简 繁之 间也 悬殊甚 大 考生解蕃 时 宜多思 考 尽可能 地 发挥 自己的 创 新能 力 从 善 而为 不同 的解 法方 案 能较 好 区分 考生 的能 力层次 读 者不妨 比较下 面两种证法 简 证 简 证 1 分 两种 情况证 明如下 i 当A 上 x 轴时 有且J 牛 P1 和B f 牛 p1 得 cl 牛 p l 即A G美于原点 O中心对称 所 直线 C经过 原点 0 i i 当 AB不 垂 直 于 轴 时 直线 AB的方 程 为 y 2 P c I 一 手 P c l I l 应 用两点 式可推 导 出直线 AC的方程为 1 V 1 y 2 x O 当 x O时有 0 即得直线 C经过原 点 0 简 证 2 依 题意 直线 A B的 方程 为 代 抛物 线 方 程得 狮 叩 0 记 A Y 1 和 口 2 n 则有 y 叩 且 枷 L 又有点c 牛 y 所 直线O C 的斜率为 k 丝 亚 且 p Yl l 即 也是直线 O A 的斜率 故直 线 A C经 过原 此 外 该题 还可用 几何方 法证 明 例如 过 作 D上准线 f D为垂 足 如 图 2 根据 抛物 线 的几何性 质 知 Dl 1 4 月 I B GI I B月 且 A D B C x轴 记 f 与 轴的交点为 直线 A 与 B C的 交点为 G 测 由平行线 的性质 可得 一 E C 圈 誊 毒 蕞l l li l 圈 2 维普资讯 变换 考查 运动变化 的观点 和辩证 涪的应用 能力 事物 的 运动 和变化 是绝 对 的 静止 只是 相 对 静 与 动 之间存 在着对 立统 一 的辩 证关 系 这 是唯物 辩 法最 基 奉 最重 要的 观J占和思 想方法 用 它分析 和处 理事 物 的 能力 是一 种重 要 的摹 本 能力 在 高 考中 发挥 数学 的 基 础学 科作 用 加 强 这方 面 的能 力考 查 十分 必要 尤其 是 平 面解 析 几何 为素 材 进 行这 力 面应用 能力 的考 查 非常有 救 例如 有 关 轨迹 的 问题 不变 量 和 临界值 的 蒯题 等 都足 彳 鹾 好 的题 材 它 们在 高考 的数 学 j式题 中 经 常出现 有着鲜 明 的学科特 色 例 3 2 0 01 年高考 数学试题 广东卷 1 0 题 对于抛物 线Y 上 任意一点 点P a O 都满 足 1 I l a l 则 n 的取值 范围 是 l l 一 O 1 3 一 2 f 0 2 1 D 0 2 依题 意 点 0 是 轴上 的 定 点 点 O 在抛物 线y 上移动 是动点 即 Q的坐标 为 y I 固此 条 件 l io l 等价 于 对任意 实数 都 有 2 l 即 Y v 一 一 8 a 1 6 0 因为 0 恒成立 所 上式等价于 一 8 a 2 0 为 r使此 式对任 意实数 成立 必须 且 只须 8 a 一 2 0 即 n 2 故 n的 取值范 围是 区间 一 2 1 上述 是该 题 的直接 解法 在 逻辑 推理运 算 上要 求 比较 高 而且 在处 理 动与 静的关 系上 要有 清晰 的辩 证 思想 24 过 抛 物线 D0 的焦 点 F作一 直线 交抛 物拽 于 P 两 J占 若 线 段 与 P Q 的 长 分 别 是 P g 则 1等 于 f A 2 0 f C1 B 1 f D1 题 中 的 是动 直线 经过 定点 f 由选 择项 的提 示 可知 l 是 定值 故 可取 特殊 位 置 的 即 例 如取 P 目 1 为直 线 快 速求得 答案 c 要 是缺 乏这种 辩 证处 理 问题 的能力 套 用 常规 方法 直接 求解 不仅计 算 量大 而且 计算过 程 中 还要求 较高 的计算 技巧 4 5 1 9 9 9年 高考数学 试题理 2 4 题 文 2 4 题 如 图 3 给 出定 点 A 8 0 a O 1 和 直 线 l 一 1 是直线 f 上 的动点 AB O A 的角 平分 线交 于点 C求 点 c的 轨迹 方程 井讨 论方 程表 示 的曲线 类型 与 值 的关系 J 一 0 A f 圈 3 该题 求 两 条动 直 线 AB与 D c的交 点 C的 轨迹 方 程 这两 条动 直线 分别 经 过定 点 A 和 O 而且 运 动 的规 维普资讯 三 通过 综台 程度 不同 的试 题 多层 次 多角度 考 查应用数 学知识解 决各种 问题 的能力 在 每年 的高考 数学 斌题 中 通常 有 4 5道 平 面解 析几何 试题 其综 音程 度有 大有 小 分 布在 不 同难 度 层 次 的题 型 中 从 思维 推 理 运算 和 几何 想 象 等不 同角 度 考 查数学 知识 的综 音应用 能力 我们 可 用 2 0 0 1 年 高考数学 试题新课 程理科 卷为 例 加 兑明 伊 0 6 2 0 0 1 年 高考 数学 试题新课 程理科 卷 3 题 过 点 I 一1 B 一 1 I 且 圆心 在直 线 x y 一 2 0上 的 圆的方程是 A1协 一 3 v J lL4 B 3 y I j 4 C 一1 1 0 4 D 1 什 4 该 题主要 考查 直线 和圆 的基 本 知识 综 音性低 加 之 4个 选择 项 给 出 的圆都 是 半径 为 2 因此 只颓 确定 圆心坐 标便 可得 出答案 观察力 强 灵 活性好 的考 生 不 难发 现 A B关于直 线 w x对称 只顽 心算恒 可得 圆心 坐标为 I I 从 而取 r C 作昝 甚 至连心算 都不 必要 只 要 注 意 到直线 v 一 2 0与 y x的交 点 位 于第 一象 限 即可排 除 A B D 得 c 而 对于呆 板者 套用侍 定 系数 法直 接求 解 不 仅 费 时费 工 还 容易 出错 掉 进 选 择项 所设 的陷阱 可 见 作 为能力 考查 就 是综 台度 不高 的基本题 仍 十分重 视思维 能力和观 察能力 的考查 倒 7 2 0 0 1年高考数 学试题 新课程理科 卷 6 题 j 设 A B是 轴 上 的 两 点 P 的横 坐 标 为 2且 I P 4I 1P B 1 若直 线 蹦的方程 为 l 则直 线 P B的 方程 为 A 5 0 B 2 一I 0 l C 2 v I r I 4 0 D 2 x y 一 7 0 该题 的实质 是考查 图形 的对称性 求直线 z 1 0 关于直线 x 2轴 对称 的直城 方程 若 这样 直接发 问 立 即 可知所求直线 的斜率应 为一 l 从而得 A 但 是 命 题 者为 了提 高 试题 的综 台性 加 强思 考能 力 的考查 有 意将 轴 对称 的提法 隐去 转而 采用 更贴 近基 础 的描述 方式 增 加知识 考查 的古 量 突出 了阅 读 观 察 分 析和 思维 方 面 的考 查 试 题 的 过种 设 计方 法 有 相 当的代 表 性 而且 对教 学 也 有 良好 的导 向 值 l C 3 D 3 该题 综 台 考查 直线 抛 物线 和向 量 内积 即 点积 等 基础知识 有 较强 的练音 性 用常 规方法 直接 推算 需 相 当 的计算 量 不过 在 4个选 择项 都是 常数 的引导 下 可 采用 特 殊值排 际 洼 求解 例 如 取 A日是 轴 的垂 线 1 得 A I 1 一 B l 从 而o7 一 一 得答案 B 可见谅题能力考查的重点不是运算 4 而是 观察与 思 考 及 知识 的灵活应 用 倒 9 2 O O 1 年 高 考数 学试题新 课程 理科 卷 2 l 1 题 某 电广冷 却塔 的外形 如 图 4所 示双 曲线 的一 部 分 绕 其 中轴 即双 曲线 的虚轴 旋 转 所成 的曲 面 其 中 A A 是 双 曲线 的顶 点 C C 是 冷却 塔上 口直 径 的两 十 端 点 是下 底直 径 的陌十端 点 已知 A A 1 4 m C C 1 8 m B B 2 2 m 塔 高 2 0 m 圈 4 I 建立 坐标 系并写 出该双 曲线方 程 求 冷 却 塔 的 容 积 精 确 到 1 0 m 塔 壁 厚 度 不 计 取 3 1 4 该 题 的前 半 部第 I 问 是平 面 解 析 几何 问题 要 求 根据 给定 的几何 条件 建 立直 角坐 标 系 导 出双 曲线 方 程 后半 部第 问为定 积 分计 算 问题 这 是 一道 应 用 题 有一 定综 合性 着 重考 查数 学 建模 和数 值 计算 等 能 力 逻辑 推 理方面 要求 不 高 但 是 对 思 维能 力 的要 求 并不 低 主 要 1豆映在 I 问 中 双 曲线 虚半 轴 长 的推 算 与 问 中 定积 分 式 的建 立和 计 算 都得 有 一 定 的 灵 活性和准 确性 倒 l 0 2 0 0 1 年高 考数学试题新课程理科 卷 2 2题 维普资讯 谚题 综台 考查 椭圆 双 曲线 曲线 的 相交 和三 角 函 数 等基 本知 识 及 逻辑 推理 能力 运算 能 力和 应用 函 数 与方 程 的思 想方 法 分析 解 决 问题 的能 力 考 查的 知 识 跨度 比较 大 对能 力要求 也较 高 但都 十分贴 近紧 基 础 运 算也 繁杂 该题 要是 在给 出题 设之 后 便提 出第 问 并 不 会 减轻解蒋 量 但难 度相 对会 高 一 些 第 c I 问的设 计 起 了一 定 的提示 作Il 千 j 引导考 l牛考 虑 4个交 点 共圆 的 圆半径 与 0的 函数关 系 为 的 解答 作 了铺 垫 降 低 试题 的起 点难度 解 答谊 题 时 必 须进 行 一 系列 的等 价转 换 例 如 两 曲线 有 4个不 同交 i n 日 乇 O S 0 1 方程组 s i n口 1 有 4组 不同 的实数解 i x s i nO co s O O c 0一s n日 0 依 题设 0 所 根 据 三 角函 数 的性 质 上 述 条 件 得 I 的 答 案 为 区 间 c 0 这 时 有 4个 交 点 的 坐标 y 都 满 足 方程 2 c o s 0 0 0 这便 证 得 4个交 点 共 圆 该 圆 的圆 心 为原点 半 径为 r 0 日 O时 谈 方程 表 示的 曲线 为 圆 等 等 无不 与这 方面 的能力 欠缺 有关 此外 逻辑 性强 也 是 该题 能 力考 查 的一 十 重点稍 有疏 忽 容 易产 生 陈 述 炙条理 说理 欠完 分 的毛病或 失误 事 实 上 数 学 是 思维 的科 学 数 学 问题 千姿 百志 层出不穷 解法 多样 灵活 在高考 中 发挥数学 的基础 学 科的作 用 突出思维 品质和创新能力的考查 十分 有效 倒 1 1 2 0 0 1 年 高考数学 试题广 东卷 2 1 题 已知椭圆 1的右准线 与 轴相交于点 E 过椭 Z 圆右焦点 F的直 线与椭 圆相交于 A 两点 点 c