高考数学 2.2函数的单调性与最值配套课件 文 北师大版.ppt

第二节函数的单调性与最值 三年11考高考指数 1 理解函数的单调性 最大值 最小值及其几何意义 2 会利用函数的图像理解和研究函数的性质 1 确定函数的单调性 单调区间及应用函数单调性求值域 最值 比较或应用函数值大小 是高考的热点及重点 2 常与函数的图像及其他性质交汇命题 3 题型多以选择题 填空题形式出现 若与导数交汇则以解答题形式出现 1 函数在区间上是增加 递增 的 减少 递减 的含义在函数y f x 的定义域内的一个区间a上 如果对于任意两数x1 x2 a 且x1 x2 则 1 f x 在区间a上是增加 递增 的 2 f x 在区间a上是减少 递减 的 f x1 f x2 f x1 f x2 即时应用 1 思考 函数在某区间上是增加或减少的 分别有何几何特征 提示 若函数在某区间上是增加的 则其图像是上升的 若是减少的 则其图像是下降的 2 如果函数f x 在 a b 上是增加的 对于任意的x1 x2 a b x1 x2 判断下列结论的真假 在括号内填 真 或 假 x1 x2 f x1 f x2 0 f a f x1 f x2 f b 解析 当函数f x 在 a b 上是增加的时 对于任意的x1 x2 a b x1 x2 均能得出 真 假 答案 真 真 假 真 3 已知函数f x 在r上是减少的 若mf n 若f x 1 得 x 1或x x x 1或x 1 4 若函数y ax与y 在 0 上都是减少的 则y ax2 bx在 0 上是 函数 填 增加的 或 减少的 解析 由y ax在 0 上是减少的 知a 0 由y 在 0 上是减少的 知b 0 y ax2 bx的对称轴x 0 又 y ax2 bx的开口向下 y ax2 bx在 0 上是减少的 答案 减少的 2 单调区间 单调性及单调函数 1 单调区间 如果y f x 在区间a上是 或是 那么称 为单调区间 2 单调性 如果函数y f x 在定义域的某个子集上是 的或是 的 那么就称函数y f x 在这个子集上具有单调性 3 单调函数 如果函数y f x 在整个定义域内是 的或是 的 那么分别称这个函数为增函数或减函数 统称为单调函数 增加的 减少的 a 增加 减少 增加 减少 即时应用 1 思考 若函数f x 在区间 a b a b 上是增函数 则该函数f x 的最大值 最小值如何 提示 f x min f a f x max f b 2 定义在区间 5 5 上的函数y f x 的图像如图 则函数在区间 上是减函数 在区间 上是增函数 解析 由函数图像可知函数y f x 在区间 5 2 1 3 上是减函数 在区间 2 1 3 5 上是增函数 答案 5 2 1 3 2 1 3 5 3 函数y 的单调减区间为 解析 画出函数y 的图像 图略 可知 其单调减区间为 0 0 答案 0 和 0 4 函数f x 在 2 4 上的最小值是 最大值是 解析 因为f x 在 2 4 上为单调增函数 所以f 2 f x f 4 所以f x max f 4 f x min f 2 答案 确定函数的单调性或单调区间 方法点睛 确定函数单调性及单调区间的常用方法及流程 1 能画出函数的图像 用图像法 其思维流程为 作图像 看升降 归纳单调性 区间 2 由基本初等函数通过加减运算或复合运算构成的函数 用转化法 其思维流程为 3 能求导的用导数法 其思维流程为 4 能作差变形的用定义法 其思维流程为 提醒 确定函数的单调性 区间 一定要树立定义域优先原则 求导 判断f x 的正 负 单调性 区间 取值 作差 变形 定号 单调性 区间 例1 1 2012 宿州模拟 函数的单调递减区间是 2 判断函数在 1 上的单调性 解题指南 本例考查判断函数的单调性和求函数的单调区间 1 转化为基本初等函数的单调性去判断 2 可用定义法或导数法 规范解答 1 函数f x 的定义域为 0 3 令t x2 3x 则其在 0 上是增加的 在 3 上是减少的 又因为在 0 上是减少的 所以的递减区间为 0 答案 0 2 方法一 定义法 设x1 x2 1 则 x1 x2 1 x2 x10 x2 1 0 即y1 y2 0 y1 y2 在 1 上是减函数 方法二 导数法 在 1 上 y 0 故在 1 上为减函数 互动探究 若将本例 1 中的函数变为f x x2 4x 3 本例 2 中函数变为区间变为 1 1 则各自的结果又如何 解析 1 先作出函数y x2 4x 3的图像 把x轴下方的部分翻折到上方 可得函数f x x2 4x 3 的图像 如图所示 由图像可知 所求函数的单调递减区间是 1 2 3 2 方法一 设x1 x2 1 1 且x10 因此 当a 0时 f x2 f x1 0 即f x2 0 即f x1 0时为减函数 当a 0时为增函数 方法二 因为 当a 0时 f x 0 故f x 在 1 1 上 当a 0时为减函数 当a 0时为增函数 反思 感悟 判断 或证明 函数单调性 区间 一定要先确定函数的定义域 然后根据所给函数的结构特征及要求选择合适的方法求解 并且结果一定要写成区间的形式 当同增 减 区间不连续时 一般用 逗号 隔开 变式备选 已知函数f x 对于任意x y r 总有f x f y f x y 且当x 0时 f x 0 f 1 1 求证 f x 在r上是减函数 2 求f x 在 3 3 上的最大值和最小值 解析 1 方法一 函数f x 对于任意x y r 总有f x f y f x y 令x y 0 得f 0 0 再令y x 得f x f x 在r上任取x1 x2 则x1 x2 0 f x1 f x2 f x1 f x2 f x1 x2 又 x 0时 f x 0 而x1 x2 0 f x1 x2 0 即f x1 f x2 因此f x 在r上是减函数 方法二 在r上任取x1 x2 不妨设x1 x2 则f x1 f x2 f x1 x2 x2 f x2 f x1 x2 f x2 f x2 f x1 x2 又 x 0时 f x 0 而x1 x2 0 f x1 x2 0 即f x1 f x2 因此f x 在r上是减函数 2 f x 在r上为减函数 f x 在 3 3 上也为减函数 f x 在 3 3 上的最大值为f 3 最小值为f 3 f 3 f 1 2 f 1 f 2 f 1 f 1 1 f 1 f 1 f 1 3f 1 2 0 f 0 f 3 3 f 3 f 3 f 3 f 3 2 因此 f x 在 3 3 上的最大值为2 最小值为 2 应用函数的单调性 方法点睛 应用函数的单调性可求解的类型 1 由x1 x2的大小 可比较f x1 与f x2 的大小 2 知f x1 与f x2 的大小关系 可得x1与x2的大小关系 3 求解析式中参数的值或取值范围 4 求函数的最大值 最小值 5 得到图像的升 降情况 画出函数图像的大致形状 例2 1 2012 南阳模拟 若f x 为r上的增函数 则满足f 2 m f m2 的实数m的取值范围是 2 已知函数y f x 是偶函数 y f x 2 在 0 2 上是单调减函数 试比较f 1 f 0 f 2 的大小 解题指南 1 根据f x 的单调性 得到2 m与m2的大小关系 从而求解 2 根据函数f x 的奇偶性先得到y f x 在 0 2 上的单调性或 2 2 上的图像 进而借助于单调性或图像比较出函数值的大小 规范解答 1 因为f x 为r上的增函数 且f 2 m 0 解得 m1 所以m的取值范围为 2 1 答案 2 1 2 方法一 因为y f x 2 的图像可由y f x 的图像向右平移2个单位而得到 而y f x 为偶函数 其图像关于直线x 0对称 函数y f x 2 的图像关于直线x 2对称 又y f x 2 在 0 2 上单调递减 函数y f x 2 在 2 4 上单调递增 因此 y f x 在 0 2 上单调递增 又f 1 f 1 0f 1 f 0 方法二 由方法一可得函数y f x 在 2 2 上图像的大致形状为由图像知f 2 f 1 f 0 互动探究 若将本例 1 中条件变为 f x 为 0 4 上的增函数 则m的取值范围如何 解析 由题意知 1 m 2 反思 感悟 1 已知函数y f x 的单调性 解含有 f 号的不等式 要根据函数的性质 转化为如 f g x f h x 的形式 再利用单调性 转化为具体不等式求解 但要注意函数的定义域 2 比较函数值的大小时 若自变量的值不在同一个单调区间内 要利用其函数性质 转化到同一个单调区间上进行比较 对于选择 填空题能数形结合的尽量用图像法求解 变式备选 已知函数f x 对于任意a b r 总有f a b f a f b 1 并且当x 0时 f x 1 1 求证 f x 在r上是增函数 2 若f 4 5 解不等式f 3m2 m 2 3 解析 1 设x1 x2 r 且x1 x2 则x2 x1 0 f x2 x1 1 f x2 f x1 f x2 x1 x1 f x1 f x2 x1 f x1 1 f x1 f x2 x1 1 0 f x1 f x2 f x 在r上是增函数 2 f 4 f 2 2 f 2 f 2 1 5 f 2 3 不等式f 3m2 m 2 3即为f 3m2 m 2 f 2 又 f x 在r上是增函数 3m2 m 2 2 解得 1 m 因此不等式的解集为 m 1 m 求函数的最值 方法点睛 求函数最值的常用方法 1 单调性法 先确定函数的单调性 再由单调性求最值 2 图像法 先作出函数的图像 再观察其最高点 最低点 求出最值 3 基本不等式法 先对解析式变形 使之具备 一正二定三相等 的条件后 再用基本不等式求出最值 4 导数法 先求导 然后求出在给定区间上的极值 最后结合端点值 求出最值 5 换元法 对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数 再用相应的方法求最值 例3 1 已知函数f x a 0 x 0 则f x 在 2 上的最大值为 最小值为 2 函数y x 0 的最大值为 3 2012 上饶模拟 用min a b c 表示a b c三个数中的最小值 设f x min 2x x 2 10 x x 0 则f x 的最大值为 解题指南 1 可用单调性法 2 先用换元法 转化为二次函数再求最值 3 画出图像求解 规范解答 1 f x 在 2 上为减函数 f x min f 2 f x max f 2 2 令 t t 0 则y t t2 t 2 当t 时 ymax 3 由题意知函数f x 是三个函数y1 2x y2 x 2 y3 10 x中的最小者 作出三个函数在同一直角坐标系下的图像 如图实线部分为f x 的图像 可知a 4 6 为函数f x 图像的最高点 即f x max 6 答案 互动探究 若将本例 2 中函数变为 x 0 则y的最大值为多少 解析 令 t t 0 则y 8t2 6t 1 8 t 2 当t 时 ymax 反思 感悟 求函数最值的常用方法 1 单调性法 若所给函数在某个区间上单调性已知或能确定 则该函数在这个区间上的最值一般在端点处取得 2 基本不等式法 当函数的解析式是分式形式且分子分母不同次幂时可用此法 3 导数法 当函数解析式较复杂时 可考虑用此法 4 数形结合法 所给函数易画出其图像时 可结合图像求最值 5 对于一些根式 分式 高次式等常先用换元法 转化为以上四种情况中的某种再求最值 变式备选 已知函数f x x 1 1 当a 时 求函数f x 的最小值 2 若对任意x 1 f x 0恒成立 试求实数a的取值范围 解析 1 当a 时 f x 在区间 1 上为增函数 f x 在区间 1 上的最小值为f 1 2 方法一 在区间 1 上 恒成立 x2 2x a 0恒成立 设y x2 2x a x 1 y x2 2x a x 1 2 a 1在 1 上递增 当x 1时 ymin 3 a 当且仅当ymin 3 a 0时 函数f x 0恒成立 故a 3 方法二 f x x 2 x 1 当a 0时 函数f x 的值恒为正 当a0时 函数f x 0恒成立 故a 3 易错误区 求解分段函数单调性中的误区 典例 2012 西安模拟 是r上的单调递增函数 则实数a的取值范围为 a 1 b 4 8 c 4 8 d 1 8 解题指南 要保证f x 在r上为增函数 需每段均为增函数 且在x 1时的最大值不大于另一段上的最小值 规范解答 选b 因为f x 是r上的单调递增函数 所以可得 阅卷人点拨 通过阅卷数据分析 我们可以得到以下误区警示和备考建议 1 2011 新课标全国卷 下列函数中 既是偶函数又在 0 上单调递增的函数是 a y x3 b y x 1 c y x2 1 d y 2 x 解析 选b 函数y x3是奇函数 故可排除a 当x 0时 y x 1 x 1是增函数 y x2 1是减函数 y 2 x 2 x x