振动波动作业习题及解答.doc

Ch.10.振动、Ch.11波动作业习题及解答10-1. 一小球与轻弹簧组成的谐振动系统,振动规律为(t的单位为秒, x的单位为米)。 求: (1) 振动的角频率、周期、振幅、初相、速度和加速度的最大值； (2) t=1s、t=2s、t=10s时刻的相位； (3) 分别画出位移、速度和加速度与时间的关系曲线。解(1): 将小球的运动方程与谐振动的表达式比较知，系统的角频率、周期、振幅和初相分别为：系统振动速度、加速度的表式分别为 速度和加速度的最大值为： 解(2): 由相位表达式知， t=1s、t=2s、t=10s时刻振子的相位分别为： AA2Ax,v,aOv-tx-ta-tt 解(3): x(t), v(t), a(t)曲线如下图所示。10-2.（选作题）某个与轻弹簧相连的小球，沿X轴作振幅为A的简谐振动，周期为T。其振动表达式用余旋函数表示。若t=0时小球的运动状态分别为：(1) ； (2) 过平衡位置向X正向运动；(3) 过x=0.5A向X负向运动； (4) 过处向X正向运动。 试分别:以初态旋矢图定出相应的初相; 写出相应的振动表达式.。OXt =0图2图1t =0OX图3XOA/2t =0图4t =0OX解: 谐振动系统的圆频率为由初态旋矢图可知相应的初相为：由谐振动的表达式知，各振动表达式分别为：10-3.某个简谐振动规律曲线如图, 求: (1) 简谐振动表达式； (2) P点相应的相位； (3) 由初始至P点相应的位置的时刻。解(1): 该简谐振动表达式形式为： A=0.10mtp1.0X/mA/ 2t /sO-APt=1.0stpAt0=0OXA/2由初态旋矢图可知相应的初相为：由t=1.0s旋矢图可知相应相位为： 则该简谐振动表达式为解(2): 由tp时刻的旋矢图可知相应相位为：解(3): 10-4. 某质量为10g的物体作简谐振动,其振幅为24cm, 周期为T=4.0s，t=0时物体位于24cm, 求: (1) t=0.5s时刻物体的位置；(2) t=0.5s时物体所受的作用力；(3)由初始位置至x=12cm处所需的最小时间；(4)在x=12cm处，此物体的速度、动能、系统的势能、系统的机械能。解(1):该谐振子的圆频率为 由初态t=0时,振子初位置为：x0=24cm=A, 可知相应相位为则该振子谐振动表达式为则t=0.5s时,该振子的位置为：AOXA/2t0=0tp解(2): t=0.5s时物体所受作用力为: 或: 该振子谐振动速度、加速度表达式分别为解(3): 由于物体是从起始时刻的最大位移处向平衡位置方向移动，故运动至x=12cm处所需的最小时间为图中的tp时刻，由待求的tp时刻的旋矢图可知相应的相位为 解(4): 在x=12cm处此振子的速度、动能、势能、机械能分别为 10-9.某个简谐振动的弹簧振子,振幅A=0.20m，弹簧的劲度系数k=2.0N/m，与弹簧相连物体的质量m=0.50kg，试求: (1) 振子的动能与势能相等时，该振子的位置； (2) 若t=0s时，该振子的位置x0=A，则至动能与势能相等状态的时刻tp=？(此过程不超出一个周期)解(1): 该谐振动表达式形式为:谐振子的动能与势能表达式分别为: 振子的动能与势能相等，则有解(2):由t=0s时,该振子位于x0=A, 则可知其振动初相为由题目可知,该振子的圆频率、周期分别为由上述结论则该振子由初态至动能与势能相等状态的时刻tp，在所求过程不超出一个周期的限制下，为 10-22. 一个质点同时参与两个在同一直线上的谐振动：试求: 其合振动的运动学方程（式中x以m计，t以s计）。解: 这是两个振动方向相同（OX轴），振动频率相同的谐振动的合成，合振动仍为OX轴上同频率的谐振动。由已知，这两个分振动的相位在任何时刻都反相，由旋矢图知，t0=0AXOA2A1合矢量在方位，如图所示。所以， 合振幅为： 初相为: 合振动的运动学方程为: 10-23. 某个振子的两个同振动方向、同频简谐振动表达式分别为:. 试求: (1) 为何值该振子的合振幅为最大？合振幅A=？ (2) 若合振动初相, 则 解(1): 显然两谐振动同相位时，振子的合振幅为最大。可取：合振幅为:解(2): 合振动初相为，由合振动与第一个分振动的旋矢图可知，t0=0AXOA1A2第二个分振动的初相应为: 显然在此情况下，合振动的合振幅为： 11-3. 设有一平面简谐波，x,y以m计， t以s计。求：(1) 振幅、波长、频率和波速。(2) 求x=0.1m处质点的初相位。解(1): 将波动表达式：与标准波动方程 ，比较可得：A=0.02m，=0.3m，=100Hz，0=0，并有：u = = 30 m/s解(2): x=0.1m处质点在t=0时刻振动的初相位为： 10O-10-520X/cmut0=1/3(s)Y/cmP11-5.如图为t0=1/3(s) 时的平面简谐正向波的波形示意图，又知周期T=2(s)。(1) 写出O点处(即x0=0)质元振动表达式y0(t );P点处(即xp处)质元的振动表达式yp(t ); (2) 写出波的表达式y(x, t ); (3) 求xp=？-A/2OY(4) 若为负向波,再就第(1)、(2)问进行解答.解(1):该平面简谐波的振幅A= 10(cm); 波长= 40(cm);频率=1/T=0.5(s-1)；圆频率=2=(s-1) t0=1/3(s)时, x0=0处质元的状态为： ; v0(t0 ) 0. 计入P点处质元的振动落后于O点的振动，则P点处质元的t0时刻的相位为 则P点处质元的振动表达式为：解(2):显然该平面简谐正向波的表达式为： 解(3):若为负向波，由t0=1/3(s)时x0=0处质元的旋矢图知， 该质元此时刻的相位为O-A/2Y：O点处质元的振动表达式为：t0=1/3(s)时, xp处质元的状态为: yp(t0 )=0; vp(t0 )0计入P点处质元的振动超前于O点的振动，则P点处质元t0时刻的相位为： 则P点处质元振动表达式为：该平面简谐负向波的表达式为:11-10. 某声波(视为平面简谐纵波)，在直径为D=0.14m的圆柱形管道中沿轴向传播。知该波的波强为 I=9.110-3(Wm-2)，频率为f=300HZ, 波速为u=300(ms-1)。 问: (1) 该波的平均能量密度为多少？该波的最大能量密度为多少？ (2) 任意两个相邻的同相位面之间该波的平均能量为多少？ 解(1):显然该波的平均能量密度为 该波的最大能量密度为 解(2):任意两个相邻的同相位面之间该圆柱形管道的体积为 则该体积中此波的平均能量为11-12. 某波源以N=3500W的功率向空间均匀辐射球面电磁波，在某处测得该波的平均能量密度为 ，取电磁波速为c3.0108(ms-1)。求:上述位置处与该波源的距离r=?解: 以该波源为球心,则通过一系列同心球面的平均能流为 11-23. 两个相干平面简谐波源S1、S2相距/4，S1振动超前于S2的振动/2相位。设两波在S1S2连线上 (如图中的X轴)波强皆为I0, 问: 在S1外侧各点的合成波的波强如何？在S2外侧各点的合成波的波强又如何？ Px0S1S2XYOPx 解: 取坐标系如图。由题意，设两个相干波源S1、S2的振动表达式为 S1外侧，即x0的区域，两波源传播负向平面简谐波，表达式为： 此两列负向波在x 0区域任意点的振动总是反相位即，则在该区域各点的合振幅为 则此两列负向波在x/4的区域，两波源传播正向平面简谐波，表达式为： 此两列正向波在x /4区域任意点的振动总是同相位，则在该区域各点的合振幅为： 则此两列正向波在x /4区域任意点因干涉相长，合成波的波强为： I=4I0 11-24.同一介质中,两个相干平面简谐波源A、B相距L=30m,两波源振动相位差为,两波等幅同频(=100Hz)， 波速皆为u=400ms-1, 试求:在AB连线上(如图中的X轴)因干涉而静止的各点的位置。Yx0PABOPxXxP解: 取坐标系如图。由题意，设两个相干波源A、B的振动表达式为 波长为=u/=4(m), A外侧，即x0的区域，两波源传播负向平面简谐波，表达式为 此两列负向波在x L的区域，两波源传播正向平面简谐波，表达式为： 此两列正向波在x L区域任意点的振动总是同相位，则在该区域不存在因干涉而静止的点。在AB线段，即0 x L的区域,：波源A传播正向波，波源B传播负向波，表达式为 在0 x L的区域，各点因干涉而静止，应满足的关系为：则在AB连线段上因干涉而静止的各点的位置为：xk=(1, 3, 5, 7, 29)m，共15个点。11-26.如图,三个相干平面简谐波源S1、S2、S3(其振动皆正交于纸面). 传播中在P点相遇,知三个波源的独立振动表达式分别为：知S2P=4l；S1P=S3P=5l (l为已知波长).设三个波等幅且在传播过程中不变。S3PS1S2试求: 在P点处质元的合振动的表达式。解: 显见S1、S3的振动总是反相位，故二者对于P点处质元的合振动无贡献。则P点处质元的合振动即为S2的平面简谐波引起该处质元的振动。S2P=4，则P点落后S2点处质元振动8相位，故所求合振动表达式为：11-32.如图，某频率为，振幅为A的平面简谐波沿X轴正向传播，设在t =0时此波在原点O引起的振动使该 处质元由平衡位置向Y轴的负向运动。M是垂直于X轴的波密媒质反射面，已知x0= 11/4, OQ=31 /12,X0t=0OY ( 为该波波长, 设反射波与入射波同频同振幅）求: (1)入射波与反射波的表达式; (2)两波合成波的表达式; (3) 原点至反射面之间的节点、腹点的位置;(4) Q点处质元由入射波与反射波引起的合振动的表达式。解(1):由t =0时刻O点处质元振动对应的旋矢图，可知初相位为: 0=/2则O点处质元的振动表式为：yO(t )=Acos(2t+/2)则入射平面简谐波的表式为：反射平面简谐波的表式为(由于被波密媒质反射面反射，应计入半波损失):解(2):入射与反射平面简谐波的合成波表式为解(3):由反射面的反射点(x0= 11/4)必为波节点、由相邻节点间距为/2,可知各节点的位置为: x节点0= (/4; 3/4; 5/4; 7/4; 9/4; 11/4) 由相邻节点与腹点的间距为/4,可知各腹点的位置为: x腹点0= (0; /2; ; 3/2; 2; 5/2 ) 或: 令合成波表式中准振幅的大小, 解出相应坐标值x(0xx0), 即为所要求的节点与腹点的位置。解(4): Q点处质元坐标为xQ=31/12, 则该处质元的振动方程为:补充题1: 如图, x=0处有一振动方程为的波源S, 发出沿X轴正、负向传播的平面简谐波。X(m)SOMNYB MN为波密媒质的反射面(考虑半波损失)，距离波源3/4。求: (1)波源S所发射的正向、负向平面简谐波的表达式；(2)由反射面MN的B点反射的反射波的表达式； (3)在OB区域内形成的驻波表式及波节和波腹的位置；(4)在x0区域内合成波的表达式。解(1):正向波的表达式为负向波的表达式为解(2):反射波的表达式(应计入半波损失)为 解(3): 应用和差化积公式,则在OB区域内形成的驻波表达式为： 则在OB区域内形成驻波的波节点位置为:则在OB区域内形成驻波的波腹点位置为:解(4): 在x0区域内合成波的表达式为:Y /mt /s-A1OMdXOM0Yt=0u补充题2: 某平面简谐波沿X轴正向传播，波长为，波射线上与原点距离为d的M点处质元的振动规律如图所示,(1) 求M点处质元的振动表达式；(2) 求此平面简谐波的表达式；(3) 若图中d=/ 2，求坐标原点O处质元的振动表达式。解：(1) 由图可知，M处质点的振动周期为4s，所以波速：角频率：(s-1)M点处质元振动初相旋矢图如图,可知: M0=所以，M处质点的振动规律表达式为： (2) 此正向平面简谐波的表达式为:(3) 若图中d=/ 2，则坐标原点O处质点的振动规律表式为： d=/ 2，坐标原点O处质元的波程超前M点处质元的波程为：/ 2显然, 坐标原点O处质元的振动相位超前M点处质元的振动相位为：MuYOdXxxv 若该平面简谐波沿X轴负向传播, 再就上述各问进行解答:解(1): 显然, M点处质元振动表式仍为: 解(2): 此负向平面简谐波的表达式为：解(3): 若d= / 2，则坐标原点O处质元的振动表达式为：BACr1r2补充题3:平面简谐波表式为 . . , 传至隔板上的两个小孔A、B(如图),两孔间距为2.31m; CA AB; A、B发出的子波传到C点处恰好相长相干. 求: C到A点的最小