2012数学三试题及答案.pdf

全日制高端辅导 2012201220122012 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题数学三试题数学三试题数学三试题 一一 选择题选择题 1 1 1 1 8 8 8 8 小题小题 每小题每小题 4 4 4 4 分分 共共 32323232 分分 下列每题给出的四个选项中下列每题给出的四个选项中 只有一只有一个选个选 项符合题目要求 项符合题目要求 请将请将所选项前的字母填在所选项前的字母填在答题纸答题纸 指定位置上指定位置上 1 曲线 2 2 1 xx y x 渐近线的条数 A 0 B 1 C 2 D 3 答案 C 解析 由曲线方程及渐近线的定义可知 2 2 1 1 1 1 xxx x y xxx 故 1 lim x y 所以 1x 为垂直渐近线 又由lim1 x y 故1y 为水平渐近线 无斜渐近线 故曲线渐近线 的条数为 2 2 设函数 2 1 2 xxnx y xeeen 其中n为正整数 则 0 y A 1 1 1 n n B 1 1 n n C 1 1 n n D 1 nn 答案 A 解析 因为 2 1 00 0 1 2 0 limlim 1 1 xxnx n xx y xyeeen yn xx 3 如果函数 f x连续 则二次积分 2 2 2 02cos df rrdr A 2 2 24 2222 02 x x x dxxy f xydy B 2 2 24 22 02 x x x dxf xydy C 2 2 24 2222 011 x y dyxy f xydx D 2 2 24 22 011 x y dyf xydx 答案 B 解析 由已知二次积分可得积分区域 由 2222 2cos24 2rxyxxy 故可得结果 4 已知级数 1 1 1 sin n a n n n 绝对收敛 级数 2 1 1 1 n a n n 条件收敛 则有 A 1 0 2 a B 1 1 2 a C 3 1 2 a D 3 2 2 a 答案 D 全日制高端辅导 解析 由 1 1 1 sin n a n n n 绝对收敛 可得 1 1 2 1 1 n a n n 绝对收敛 则有 3 2 a 再由 2 1 1 1 n a n n 条件收敛 有021a的简单随机样本 则统计量 12 34 2 XX XX 的 分布 A 0 1 N B 1 t C 2 1 D 1 1 F 答案 B 解析 由条件可知 2 12 12 0 2 0 1 2 XX XXNN 2 34 34 2 2 0 2 0 1 2 XX XXNN 化简即可 二 填空题 二 填空题 9 149 149 149 14 小题 每小题小题 每小题 4 4 4 4 分 共分 共 24242424 分 请将答案写在分 请将答案写在答题纸答题纸 指定位置上指定位置上 9 1 cossin 4 lim tan xx x x 答案 2 e 解析 原式 4 tan1tan1 lim 1 cossincossin 2 tan1 4 lim 1tan1 x xx xxxx x x xee 10 设函数 ln 1 21 1 x x f x xx 所以 x e dy dx 1 e 全日制高端辅导 11 设 连 续 函 数 zf x y 满 足 2 0 1 2 22 lim0 1 x y f x yxy xy 则 0 1 dz 答案 2dxdy 解析 由于 2 0 1 2 22 lim0 1 x y f x yxy xy 可知 0 1 lim 220 x y f x yxy 由于 zf x y 连续 可得 0 1 1f 又 2 0 1 2 0 1 2 1 lim0 1 x y f x yfxy xy 由微分定义可知 函数在该点可微分 且 2 1 xy ff 故可知答案 12 由 曲 线 4 y x 和 直 线 4yx yx 在 第 一 象 限 中 围 成 的 平 面 图 形 的 面 积 为 答案 4ln2 解析 曲线 4 y x 与yx 交点为 2 2 4 y x 与4yx 交点为 1 4 故平面图形的 面积14ln2 D Sd 13 设A为 3 阶矩阵 3A A为A的伴随矩阵 若交换矩阵A的第 1 行与第 2 行得 矩阵B 则 BA 答案 27 解析 由初等矩阵的性质可知 010 100 001 BPAA 所以 27BAPAA 14 设 A B C是随机事件 A C互不相容 若 11 23 P ABP C 则 P AB C 答案 3 4 解析 由于 A C互不相容 所以AC 则ABC 所以 0P ABC 3 4 P ABCP ABP ABC P AB C P CP C 全日制高端辅导 三 解答题 三 解答题 15151515 23232323 小题 共小题 共 94949494 分分 请将解答写在请将解答写在答题纸答题纸 指定的位置上指定的位置上 解答应写出文字说解答应写出文字说 明 证明过程或演算步骤明 证明过程或演算步骤 15 本题满分 10 分 计算 2 2 2cos 4 0 lim xx x ee x 解析 2 2 2 2cos2cos2 2 2cos2 444 000 1 2cos21 limlimlim 12 xxx xx xxx ee eexx xxx 16 本题满分 10 分 计算二重积分 x D e xydxdy 其中D为由曲线yx 与 1 y x 及y轴为边界的无界区域 解析 1 11 2 00 11 1 22 xxx x Dx e xydxdyxe dxydyxe dx 17 本题满分 10 分 某企业为生产甲乙两种型号的产品 投入的固定成本为 10000 万元 该企业生产甲乙 两种产品的产量分别为x件和y件 且固定两种产品的边际成本分别为20 2 x 万元 件 与6y 万元 件 1 求生产甲乙两种产品的总成本函数 C x y 万元 2 当总产量为 50 件时 甲乙两种的产量各位多少时可使总成本最小 求最小成本 3 求总产量为 50 件时且总成本最小时甲产品的边际成本 并解释器经济意义 解析 由条件可知 20 2 C x yx x 所以 2 0 20 20 24 x tx C x ydtyxy 再由 6 C x y y y 所以 2 6 6 2 y yyyyc 再由固定成本为 10000 得10000c 于是 22 20610000 42 xy C x yxy 2 若50 xy 带入成本函数可得 2 22 503 206 50100003611550 424 yxx C xxyx 所以 令 3 36024 26 2 x C xxy 此时成本为 11118 全日制高端辅导 3 总产量为 50 件且总成本最小时甲产品的数量为 24 其边际成本为 32 万元 经济意义为当甲产品产量为 24 件时 每增加一件甲产品 其成本增加 32 万元 18 本题满分 10 分 证明 2 1 lncos1 11 12 xx xxx x 解析 令 2 1 lncos1 11 12 xx f xxxx x 即可 又 22 11212 lnsinlnsin 1111 1 xxxx fxxxxxx xxxx x 2 24 22 416 1 cos1 sin 11 xx fxxfxx xx 当 0 1 0 xfx 从而 fx单调递增 且 0 2f 所以 0fx 所以当 0 1 x 时 fx单调递增 且 0 0f 所以 f x递增 且 0 0f 所 以当 0 1 x 时 结论成立 同理在 1 0 x 时 结论成立 证明完毕 19 本题满分 10 分 若函数 f x满足方程 2 0 2 fxfxf xfxf xe 1 求表达式 f x 2 求曲线 22 0 x yf xftdt 的拐点 解析 1 由 2 0 fxfxf x 可知特征方程为 2 20 故由方程的解 的结构可知其通解为 2 12 xx yC eC e 将其带入方程 2fxf xe 可得 2 1212 2521 0 xxx C eC eeCC 所以 x f xe 2 由 22 0 x yf xftdt 得 222222 2 000 21 242 xxx xtxtxt yxeedtyeedtx eedtx 令 0 0yx 经验证可得 0 0 为其拐点 20 本题满分 11 分 全日制高端辅导 设 1001 0101 0010 0010 a a A a a 1 计算行列式A 2 当实数a为何值时 方程组 Ax 有无穷多解 并求其通解 解析 1 422 1 1 1 Aaaa 2 由题可知当0A 时 即1 1aa 当1a 时 1100 1 01101 0011 0 00002 A 由此可知此时无解 当1a 时 1000 0 01001 0011 0 0000 0 A 此时有解 并可求得起通解为 0 0 1 1 0 1 0 0 TT xk 其中 k 为任意常数 21 本题满分 11 分 已知 101 011 10 01 A a a 二次型 123 TT f x x xxA A x 的秩为 2 1 求实数a的值 2 利用正交变换将其化为标准型 解析 1 由二次型的秩为 2 知 2 T r A A 故 2r A 由于方程组0 Ax 与方程 组0 T A Ax 同解 所以二者秩相等 利用初等变化可得1a 或者由 2 2 201 011 113 T a A Aaa aaa 计算 2 2 0310 TT A AA Aaa 由此均可推得1a 2 当1a 时 令 202 022 224 T BA A 计算 260EB 可 全日制高端辅导 得0 2 6 带入求出其对应的特征向量分别为 1 1 1 1 1 0 1 1 2 TTT 将其单位 化可得矩阵 111 326 111 326 12 0 36 Q 进一步可得标准型为 22 12 26fyy 22 本题满分 11 分 已知随机变量 X Y及XY的分布律如下表所示 X012 P 1 2 1 3 1 6 Y012 P 1 3 1 3 1 3 XY0124 P 7 12 1 3 0 1 12 1 求 2 P XY 2 求 Cov XY Y 及 XY 解析 由 1 4 2 2 12 P XYP XY 1 1 1 1 3 P XYP XY 2 2 1 1 2 0P XYP XYP XY 可得出 X Y的联合分布律为 Y X 012 0 1 4 0 1 4 10 1 3 0 2 1 12 0 1 12 1 由表格数字可知 1 2 0 0 2 1 4 P XYP XYP XY 2 由已知可得X的 2 3 EX 2 3 EXY 1EY 可得 2 52 33 EYDY 而 全日制高端辅导 2 3 Cov XY YEXYEXEYDY 因为 0Cov X YEXYEXEY 所以 0 XY 23 本题满分 11 分 设随机变量 X Y相互独立且均服从参数为 1 的指数分布 min max VX Y UX Y 求 1 求随机