任意角的三角函数听课笔录及随想.doc

任意角的三角函数听课笔录及随想 1课堂回顾一、 情境创设师:在初中,我们学习了锐角,通过前面的学习我们已将角推广到任意角了.(板书:锐角 任意角.)锐角任意角正弦,余弦,正切?师:在初中,我们学了锐角之后,接下来研究了什么?生:锐角的三角函数.师:包括哪几种三角函数?生:正弦,余弦,正切.师:很好!那么,现在我们有了任意角,接下来该研究什么呢?众生:任意角的三角函数.(由此引入课题)(点评:从大的框架入手,引入课题比较自然)二、 探究活动1、 回顾锐角的正弦是如何来定义的?生1到黑板上作图,在角的一边上取点A,构造三角形OAB,过点A作OB的垂线AC,则.师:这里所取点A有何要求?生1:任意取.生2:不能与点O重合.师:对,当点A与点O重合时,就不能构造直角三角形了.(点评:(1)从学生熟知的锐角三角形的三角函数出发,力求在最近发展区生长出新的知识.(2)三角形OAB的构造有点多余,只要构造直角三角形OAC就可以了.)2、 任意角的正弦如何来定义呢?老师用几何画板画了一个任意角,看上去有点象钝角.学生自己讨论后,生3上黑板作图.在角AOB的一边上任取一点A,由点A向另一边OB作垂线,交其反向延长线于点C,定义.(生3一边作图,一边作解说,她一直将角AOB说成是钝角.)生4:不是钝角,是任意角.师:有别的想法吗?(点评:学生的想法如何?对还是不对?有没有道理?缺陷在哪里?老师未作任何评价,这是本节课的一个明显的失误.)生5:建立直角坐标系,将角的顶点O与坐标原点重合,OB边与x轴的正半轴重合.作以原点O为圆心的单位圆,设圆O与另一条边相交于点A,由点A向x轴引垂线,垂足为C,定义.生6:我不知道生3与生5的方法有何区别?师:他们没有区别吗?部分学生:有区别.师:还有别的想法吗?(点评:这两种想法究竟有何区别?老师又未明确,这是本节课的又一个明显的失误.)生7:与生5一样,将角放在直角坐标系中,在角的终边上任取一点A(x,y),用该点的坐标来定义角的正弦,即,这样就有正负之分了.师:改变角所在的象限,该定义还成立吗?老师用几何画板演示角的终边在其它象限内的情况,特别地,还演示了角的终边落在坐标轴上的情况.(点评:学生终于说出了老师一直在等待的话,但这位学生是如何想的?可惜这个很关键的一点没能展示出来.)三、 数学建构1、 正弦的定义:(详略).师:与以前的定义相比,它们都是比值,但意义不同,而且新的定义包含了以前的定义.2、余弦与正切的定义又该如何来定义呢?生8:.生9:在正切的定义中,应该满足.师:是什么意思?生10:角的终边不能落在y轴上.师:那么角不能等于哪些角?生10:.师:上述比值与点A的位置有没有关系?众生:没有.师:当角确定时,这几个三角函数值能唯一确定吗?众生:能.师:这样一来,就与我们前面学习的哪一个知识有关了?众生:函数.师:对.我们通常称它们为正弦函数、余弦函数、正切函数,统称为三角函数.(点评:这里可顺提一下引入弧度制的目的之一:用实数表示角,使得三角函数符合了一般函数对定义域的要求.)四、数学应用1、已知角的终边过点P(3,-4),求角的正弦、余弦、正切值.处理方法是生说师写.2、 已知角的终边落在直线上,求角的正弦、余弦、正切值.处理方法是生说师写.(点评:这里最好分开写,即按为第二象限角与为第四象限角这两种情形分别求解)五、 拓展延伸通过前面的讨论,你发现了什么?生11:.生12: .生13:以下三角函数在每个象限的符号如下:象限sincostan一+二+-三-+四-+-师: 考虑下列问题: (1)若,则角是第_象限角.(2)若,则角是第_象限角.(3)若,则角是第_象限角.(点评:(1)“你发现了什么?”式的问题,好处在于不束缚学生的思维,缺点是指向性不明.(2)表格的制作力求规范,最好不好出现“sin”的写法.)六、课堂小结略2听后随想1、尽管本节课上有几个明显的失误之处,但我们丝毫不应否定教者的教学思想与设计理念,教者力图通过学生的自主探究自然地建构出任意角的三角函数的定义,而不是将该定义直接强加于学生.2、导致本节课出现败笔的原因是多方面的,其中主要的可能是下面两点:(1)学生认知结构的不足.学生在初中只学习了锐角的三角函数,没有学过钝角的三角函数,因而生3与生5不知道他们给出的定义与已有的知识不符.(2)教者未能将三个函数一起研究.实际上,高一学生在物理中已用过了,如果将三个函数一起研究,生3与生5可能会发现自己的想法与此结论有冲突了.3、改进的设想:(1)回顾任意角、象限角与轴线角的概念.(2)回顾锐角三角函数的定义,有了任意角之后,原来三角函数的定义有局限性,需要都其重新定义,以适用于任意的三角函数.(3)除了锐角的三角函数外,在其它学科中有没有接触到一些特殊角的三角函数值?(意图是让学生说出)(4)重新定义的原则有哪些?和谐的原则,新定义应该包含以前的定义,即当角为锐角时,其定义应与前面边的三角形边的比值等价.由此可以确定,新的定义仍应是比值的形式;传承的原则,新定义应保留旧定义中的一些做法,如可以用样在角的终边上任取一点来定义,且所得结果应与所取点的位置无关.相容的原则,新定义不能与一些熟悉的结论相矛盾.如当角为钝角时,其余弦值应为负值.由此可知,新的三角函数的定义应保证所得三角函数值有正负之