利用多边形的外角和的不变性解题.doc

利用多边形的外角和的不变性解题多边形内角和是随边数的变化而变化的，而多边形的外角和恒为360，不随边数的变化而变化，我们可以利用此性质解题.【例1】已知一个正多边形的每个内角都是135，你能求出这个多边形的边数吗？【思考与分析】由于正多边形的每个内角都相等，因此，可将“每个内角都是135”转化为“每个外角都是45”，从而利用=45，得出n的值为8.解:因为多边形的每个内角都是135，所以它的每个外角度数为45.因为多边形外角和为360，所以n=36045=8.所以这个多边形的边数为8.【例2】 正十二边形的每个内角是多少度?【思考与分析一】 正十二边形的内角和可以求出来是（12-2）180=1800由于正十二边形的所有内角都相等，我们可知每个内角为180012=150解法一: 因为n=12，所以12边形的内角和为（12-2）180=1800.因为正12边形的所有内角都相等，所以每个内角为180012=150【思考与分析二】我们还可以从外角出发，十二边形的外角和为360，而正十二边形的所有内角都相等，而每个外角都与内角互补，可知它的所有外角也都相等，从而每个外角为36012=30，所以每个内角为180-30=150解法二：因为12边形的外角和是360，又因为正12边形的所有内角都相等，所以正12边形的所有外角也都相等，每个外角为36012=30所以正12边形的每个内角为180-30=150【反思】两种方法都可以求解，但解法二的计算量较小，因此关于求正多边形内角度数问题从外角着手更方便.【例3】已知一个多边形的每一个内角都相等，且每一个内角等于它相邻外角的9倍，求这个多边形的边数.【思考与分析】本题我们可以根据多边形的每一个内角与每一个外角之间的数量关系求解；或者根据多边形内角和与外角和的整体关系求解.但这两种方法都不如先求出多边形的每一个外角的度数，再转化为求多边形的边数简便.解：设多边形的每一个外角为，则它的每一个内角为9x，根据题意，得x+9x180.解得x18，所以这个多边形共有 20个外角，即多边形边数为20.【例4】 小明在求一个正多边形的内角的度数时，求出的值是145.请问他的计算正确吗？如果正确，他求的是正几边形的内角？如果不正确，说明理由【思考与分析】我们知道这道题是在问是否存在一个正多边形，使它的内角为145，如果存在，那么这个正多边形的每个外角应为180-145=35.由于正多边形的所有外角也都相等，设这个多边形为n边形，则有n35=360，而满足上述等式的n的值不是整数，所以这样的正多边形不存在，那么一定是小明计算有误解：假设小明计算正确，设这个正多边形是正n边形，n为整数因为正多边形的所有外角都相等，且它们的和是360所以（180-145）n=360即35n=360所以 n=.这与n是整数相矛盾.所以不存在内角是145的正多边形所以小明计算不正确【小结】这几个例题都是利用外角和解决问题的例子，如果我们直接利用内角和来求边数，计算起来会很麻烦，所以在今后的学习中，同学们要善于把正多边形内角和问题转化为不随边数变化的外角和来解答.简单易算这样可以节省很多时间.巧用多边形的外角和定理 多边形的外角和是指在多边形的每个顶点处只取一个外角，它们的和。由同一顶点处的外角与内角的互补关系，以及多边形的内角和定理，可以比较容易的得出：任意多边形的外角和都等于3600。这一结论在解题中具有重要的作用，现举例如下：一、 求角的度数（或个数） 例1 如图，一个四边形的三个外角分别为1100、850、300。求a的度数。 解：因为a的外角为1800-a ，由外角和推论知：1800-a+1100+850+300=3600 所以a=450 例2 在凸10边形的所有内角中，锐角的最多个数是（ ）A 0 B 1 C 3 D 5 （全国初中数学联赛试题） 解：因为10边形的外角和为3600，所以外角中钝角的最多个数只能为3，再由外角与相邻内角的互补关系，所以内角是锐角个数最多是3。故选C二、 求多边形的边数 例3 一个多边形的每个外角都等于360，求它的边数。 解：设此多边形的边数为n边形,由题意得36n=360 ,解得 n = 10 ，故所求多边形是十边形。 例4 凸多边形恰好只有三个内角是钝角，这样的多边形的边数最大值是多少？ 解：设凸多边形的边数为n（n是大于3的整数），由题意知，此多边形外角中只有3个锐角，其余（n - 3）个外角是钝角（或直角）。由外角和为3600可知，（n - 3）个外角的个数不超过3，即n - 33。解得n6。所以这样的多边形边数最大值为6。三、 其它情况例5若凸4n+2边形A1A2A3A4n+2（n为正整数）的每一个内角都是300的整倍数，且A1=A2=A3=900，则n的所有可能值是多少？ 解：因为外角与相邻内角的互补关系，内角是300的整倍数，所以外角也是300的整