八年级暑假作业(数学).pdf

1 数学数学暑假暑假作业作业 姓名姓名 学校学校 班级班级 2 练习练习 1 1 分式综合分式综合 一 知识梳理一 知识梳理 应用用题及在其它学科中的应用 列分式方程解应 注意 必须验根 依据 等式的基本性质 公分母方法 两边同乘以最简 为整式方程思想 把分式方程转化 解法 的方程 如定义 分母含有未知数 分式方程 约分 通分 性质 中含有字母 为整式 定义 分式 3 1 1 5 0 0 xx M MB MA B A M MB MA B A B A BBA 二 例题尝试二 例题尝试 1 分式有意义的应用分式有意义的应用 例例 1 若abab 10 试判断 1 1 1 1ab 是否有意义 2 结合换元法 配方法 拆项法 因式分解等方法简化分式运算 结合换元法 配方法 拆项法 因式分解等方法简化分式运算 例例 2 计算 aa a aa a 22 1 1 31 3 例例 3 解方程 1 1 76 55 56 2 2 2 xx xx xx 3 3 在代数求值中的应用在代数求值中的应用 例例 4 已知aa 2 69 与 b 1互为相反数 求代数式 42 2 2222 22 22 ab ab aba b aabb a bab b a 的值 4 用方程解决实际问题用方程解决实际问题 例例 5 一列火车从车站开出 预计行程 450 千米 当它开出 3 小时后 因特殊任务多停一站 耽误 30 分钟 后来把速度提高了 0 2 倍 结果准时到达目的地 求这列火车的速度 5 在数学 物理 化学等学科的学习中 都会在数学 物理 化学等学科的学习中 都会遇到有关公式的推导 公式的变形等问题 而公式遇到有关公式的推导 公式的变形等问题 而公式 的变形实质上就是解含有字母系数的方程 的变形实质上就是解含有字母系数的方程 例例 6 已知x y y 23 32 试用含 x 的代数式表示 y 并证明 32 3213xy 6 中考原题 中考原题 例 7 已知 M xy xyy xy xy xy 22 2 22 2 则 M 例 8 已知xx 2 320 那么代数式 xx x 11 1 32 的值是 4 7 题型展示 题型展示 例 9 当 x 取何值时 式子 x xx 2 32 2 有意义 当 x 取什么数时 该式子值为零 例 10 求 xmn xmn xmn xmn xm xn 2 2 22 22 的值 其中xmn 23 1 2 随堂练习 随堂练习 1 当 x 取何值时 分式 21 1 1 x x 有意义 2 计算 xy y xy x y yx 2 4 2 4 4 22 22 3 解方程 x x x x x x x x 2 1 4 3 6 5 8 7 4 要在规定的日期内加工一批机器零件 如果甲单独做 刚好在规定日期内完成 乙单独做则要 超过 3 天 现在甲 乙两人合作 2 天后 再由乙单独做 正好按期完成 问规定日期是多少天 5 已知43602700 xyzxyzxyz 求 xyz xyz 2 的值 5 练习练习 2 勾股定理勾股定理及应用及应用 一 本节基础知识一 本节基础知识 1 定理 定理 经过证明被确认正确的命题叫做定理 2 勾股定理勾股定理 在一个直角三角形中 两 的平方和等于 的平方 3 应用 应用 在一个直角三角形中 知道其中任意的 都可以求出的第三边 4 勾股数 勾股数 3 4 5 这样 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数 称为勾股数 二 课前热身 二 课前热身 1 若 Rt ABC 中 90C 且 c 13 a 12 则 b 2 在直角三角形 ABC 中 斜边 AB 1 则 AB 222 ACBC 3 如图 如下图 今年的冰雪灾害中 一棵大树在离地面 3 米处折断 树的顶 端落在离树杆底部 4 米处 那么这棵树折断之前的高度是 米 4 直角三角形两直角边长分别为 5 和 12 则它斜边上的高为 5 下列五组数中 6 8 10 13 5 12 1 2 3 9 40 41 3 2 1 4 2 1 5 2 1 其中能构成勾股数的有 6 一个零件的形状如图所示 已知 AC 3cm AB 4cm BD 12cm 求 CD 的长 三 例题讲解 三 例题讲解 运用勾股定理的逆定理进行计算运用勾股定理的逆定理进行计算 例例1 如图 字母A B代表的是正方形的面积 根据下图中的数据 确定A B x 例例 2 已知两边 求第三边 1 在直角三角形中 若两直角边的长分别为 1cm 2cm 则斜边长为 第3题图 第 6 题图 6 2 已知直角三角形的两边长为 3 2 则另一条边长是 3 在一个直角三角形中 若斜边长为 5cm 直角边的长为 3cm 则另一条直角边的长为 A 4cm B 4cm 或cm34 C cm34 D 不存在 针对训练 针对训练 一种盛饮料的圆柱形杯 测得内部底面半径为 2 5 高为 12 吸管放进杯里 杯口外面至少要露出 4 6 问吸管要做多长 例例 3 如图 将一个边长分别为 4 8 的长方形纸片 ABCD 折叠 使 C 点与 A 点重合 则 EB 的长是多少 针对训练 针对训练 1 把一根长为 10 的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边 如果要使三角形的面积是 9 2 那么还要准备一根长为 的铁丝才能把三角形做好 2 如图 铁路上 A B 两点相距 25km C D 为两村庄 DA AB 于 A CB AB 于 B 已知 DA 15km CB 10km 现在要在铁路 AB 上建一个土特产品收购站 E 使得 C D 两村到 E 站的距 离相等 则 E 站应建在离 A 站多少 km 处 4 如图 某学校 A 点 与公路 直线 L 的距离为 300 米 又与公路车站 D 点 的距离为 500 米 现要在公路上建一个小商店 C 点 使之与该校 A 及车站 D 的距离 相等 求商店与车站之间的距离 F E D C B A A D E B C 7 四 综合训练 四 综合训练 1 直角三角形中 以直角边为边长的两个正方形的面积为 7 2 cm 8 2 cm 则以斜边为边长的正方 形的面积为 2 cm 2 如图一个圆柱 底圆周长 6cm 高 4cm 一只蚂蚁沿外壁爬行 要从 A 点爬到 B 点 则最少要爬行 cm 3 小雨用竹杆扎了一个长 80cm 宽 60cm 的长方形框架 由于四边形容易变形 需要用一根竹杆 作斜拉杆将四边形定形 则斜拉杆最长需 cm 4 小杨从学校出发向南走 150 米 接着向东走了 360 米到九龙山商场 学校与九龙山商场的距离是 米 5 如图 带阴影部分的半圆的面积是多少 取 3 6 已知 如图在 ABC 中 AB BC CA 2cm AD 是边 BC 上的高 求 AD 的长 ABC 的面积 7 在直角 ABC 中 斜边长为 2 周长为 2 6 求 ABC 的面积 8 已知 如图 在 ABC中 C 90 B 30 AB的垂直平分线交BC于D 垂足为E BD 4cm 求 AC的长 五 总结提高 五 总结提高 1 若 Rt ABC 中 90C 且 c 13 a 12 则 b A 11 B 8 C 5 D 3 A B 6 8 8 E C D B A 2 在直角坐标系中 点 P 2 3 到原点的距离是 A 5 B 13 C 11 D 2 3 在 ABC 中 A 90 A B C 的对边长分别为 a b c 则下列结论错误的是 A a 2 b2 c2 B b2 c2 a2 C a2 b2 c2 D a2 c2 b2 4 已知直角三角形两直角边长分别为 5 和 12 求斜边上的高 5 小明想测量学校旗杆的高度 他采用如下的方法 先降旗 杆上的绳子接长一些 让它垂到地面还多 1 米 然后将绳子 下端拉直 使它刚好接触地面 测得绳下端离旗杆底部 5 米 你能帮它计算一下旗杆的高度 6 有一只鸟在一棵高 4 米的小树梢上捉虫子 它的伙伴在离该树 12 米 高 20 米的一棵大树的树梢 上发出友好的叫声 它立刻以 4 米 秒的速度飞向大树树梢 那么这只鸟至少几秒才能到达大树和伙 伴在一起 7 如图 B 90 AB 16cm BC 12cm AD 21cm CD 29cm 求四边形 ABCD 的面积 8 如图 一个梯子 AB 长 2 5 米 顶端 A 靠在墙 AC 上 这时 梯子下端 B 与墙角 C 距离为 1 5 米 梯子滑动后停在 DE 的位置 上 测得 BD 长为 0 5 米 求梯子顶端 A 下落了多少米 9 练习练习 3 勾股定理的逆定理及应用勾股定理的逆定理及应用 一 本节基础知识一 本节基础知识 1 勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a b c 满足 a2 b2 c2 那么这个三角形是直角三角形 2 命题与原命题 命题与原命题 勾股定理的逆定理的题设和结论恰好与勾股定理的题设和结论相反 我 们把像这样的两个命题叫做互逆命题 如果把其中一个叫做原命题 那么另一个叫做它的逆 命题 3 逆定理 逆定理 一般地 如果一个定理的逆命题经过证明是正确的 它也是一个定理 称这两 个定理互为逆定理 4 勾股数 勾股数 3 4 5 这样 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数 称为勾股数 二 课前热身 二 课前热身 1 如果三角形的三边长 a b c 满足 a2 b2 c2 那么这个三角形是 三角形 我们把 这个定理叫做勾股定理的 2 在两个命题中 如果第一个命题的题设是第二个命题的结论 而第一个命题的结论是第二个 命题的题设 那么这两个命题叫做 如果把其中一个命题叫做原命题 那么另一个 命题叫做它的 3 分别以下列四组数为一个三角形的边长 1 6 8 10 2 5 12 13 3 8 15 17 4 4 5 6 其中能构成直角三角形的有 填序号 4 若 ABC 中 b a b a c2 则 B 5 如图 正方形网格中 每个小正方形的边长为 1 则网格上的 ABC 是 三角形 6 若一个三角形的三边长分别为 1 a 8 其中 a 为正整数 则以 a 2 a a 2 为边的三角形的面积为 7 写出下列命题的逆命题 并判断逆命题的真假 1 两直线平行 同位角相等 2 若 a b 则 a2 b 3 若 a2 b2 则 a b 4 如果 ABC A B C 那么 BC B C AC A C B B 5 全等三角形的三组对应角相等 三 例题讲解 三 例题讲解 运用勾股定理的逆定理进行计算运用勾股定理的逆定理进行计算 例例 1 如图 等腰 ABC 中 底边 BC 20 D 为 AB 上一点 CD 16 BD 12 求 ABC 的周长 针对训练 针对训练 已知 如图 四边形 ABCD AD BC AB 4 BC 6 CD 5 AD 3 求 四边形 ABCD 的面积 10 例例 2 如图 3 正方形 ABCD 中 E 是 BC 边上的中点 F 是 AB 上一点 且ABFB 4 1 那么 DEF 是直角三角形吗 为什么 四 综合训练 与勾股定理逆定理有关的探究和应用四 综合训练 与勾股定理逆定理有关的探究和应用 例例 1 阅读下列解题过程 已知 a b c 为 ABC 的三边 且满足 a2c2 b2c2 a4 b4 试判断 ABC 的形 状 解 a2c2 b2c2 a4 b4 A c2 a2 b2 a2 b2 a2 b2 B c2 a2 b2 C ABC 是直角 三角形 问 上述解题过程是从哪一步开始出现错误的 请写出该步的代号 错误的原因是 本题的正确结论是 例例 2 2 学习了勾股定理以后 有同学提出 在直角三角形中 三边满足 222 cba 或许其他的三角 形三边也有这样的关系 让我们来做一个实验 1 画出任意的一个锐角三角形 量出各边的长度 精确到 1 毫米 较短的两条边长分别是 a mm b mm 较长的一条边长 c mm 比较 222 cba 填写 或 2 画出任意的一个钝角三角形 量出各边的长度 精确到 1 毫米 较短的两条边长分别是 a mm b mm 较长的一条边长 c mm 比较 222 cba 填写 或 3 根据以上的操作和结果 对这位同学提出的问题 你猜想的结论是 对你猜想 22 ab 与 2 c的两个关系 任选其中一个结论利用勾股定理证明 1 C B A 2 CB A 3 C B A 11 例例 3 如图 南北向 MN 为我国的领海线 即 MN 以西为我国领海 以东为公海 上午 9 时 50 分 我 国反走私艇 A 发现正东方有一走私艇 C 以每小时 13 海里的速度偷偷向我领海开来 便立即通知 正在线上巡逻的我国反走私艇 B 密切注意 反走私艇 A 通知反走私艇 B A 和 C 两艇的距离是 13 海 里 A B 两艇的距离是 5 海里 反走私艇 B 测得距离 C 艇是 12 海里 若走私艇 C 的速度不变 最早会在什么时间进入我国领海 针对训练 针对训练 1 1 观察下列各式 3 2 42 52 82 62 102 152 82 172 242 102 262 你有没有发 现其中的规律 请用含n的代数式表示此规律并证明 再根据规律写出接下来的式子 2 喜欢爬山的同学都知道 很多名山上都有便于游人观光的索道 如图所示 山的高度AC为800 m 从山 上A与山下B处各建一索道口 且BC 1 500 m 一游客从山下索道口坐缆车到山顶 已知缆车每分钟 走 50 m 那么大约多长时间后该游客才能到达山顶 说明理由 五 总结提高 五 总结提高 1 满足下列条件的三角形中 不是直角三角形的是 A 三内角之比为 1 2 3 B 三边长的平方之比为 1 2 3 C 三边长之比为 3 4 5 D 三内角之比为 3 4 5 12 2 如图 2 4 所示 有一个形状为直角梯形的零件 ABCD AD BC 斜腰 DC 的长为 10 cm D 120 则该零件另一腰 AB 的长是 cm 结果不取近似值 图 2 4 图 2 5 图 2 6 3 如图 2 5 以 Rt ABC 的三边为边向外作正方形 其面积分别为 S1 S2 S3 且 S1 4 S2 8 则 AB 的长为 4 如图 2 6 已知正方形 ABCD 的边长为 4 E 为 AB 中点 F 为 AD 上的一点 且 AF 4 1 AD 试 判断 EFC 的形状 5 已知 ABC 的三边分别为 k2 1 2k k2 1 k 1 求证 ABC 是直角三角形 6 已知 a b c 是 Rt ABC 的三边长 A1B1C1的三边长分别是 2a 2b 2c 那么 A1B1C1是直 角三角形吗 为什么 7 如图所示 在平面直角坐标系中 点 A B 的坐标分别为 A 3 1 B 2 4 OAB 是直角 三角形吗 借助于网格 证明你的结论 13 8 若 ABC 的三边长为 a b c 且 a2 b2 c2 200 12a 16b 20c 试判断 ABC 的形状 9 如图 在 ABC 中 D 为 BC 边上的一点 已知 AB 13 AD 12 AC 15 BD 5 求 CD 的 长 10 已知 如图 四边形 ABCD 中 AB BC AB 1 BC 2 CD 2 AD 3 求四边形 ABCD 的面积 11 已知 如图 在正方形 ABCD 中 F 为 DC 的中点 E 为 CB 的四等分点且 4 1 CBCE 求证 AF FE 14 练习练习 4 平行四边形的性质与判定平行四边形的性质与判定 一 知识梳理一 知识梳理 1 1 平行四边形的性质 平行四边形的性质 1 平行四边形的对边平行且相等 2 平行四边形的对角相等 邻角互补 3 平行四边形的对角线互相平分 2 2 平行四边形的判别方法 平行四边形的判别方法 1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 3 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 4 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 5 对角线互相平分的四边形是平行四边形 二 基本题型二 基本题型 例例 1 1 如图 EF 过平行四边形 ABCD 对角线的交点 O 并交 AD 于 E 交 BC 与 F 若 AB 4 BC 5 OE 1 5 那么四边形 EFCD 的周长是 A 16 B 14 C 12 D 10 2 如图 在平行四边形 ABCD 中 EF BC GH AB EF GH 的交点 O 在 BD 上 则图 中面积相等的平行四边形有 A 1 对 B 2 对 C 3 对 D 4 对 3 如图 在四边形ABCD中 E是BC边的中点 连结DE并延长 交AB的延长线于F点 ABBF 添加一个条件 使四边形ABCD是平行四边形 你认为下面四个条件中可选择的是 A ADBC B CDBF C AC D FCDE 第 1 题 第 2 题 第 3 题 例例 2 如图 在平行四边形 ABCD 中 点 E F 是对角线 AC 上两点 且 AE CF 求证 EBF FDE G C O D B A E H F E C O D B A F E F C D A B 15 例例 3 3 1 请在图中如图 已知 ABC 是等边三角形 D E 分别在边 BC AC 上 且 CD CE 连结 DE 并延长至点 F 使 EF AE 连结 AF BE 和 CF 1 BDE FEC 2 判断四边形 ABDF 是怎样的四边形 并说明理由 3 若 AB 6 BD 2DC 求四边形 ABEF 的面积 例例 4 4 已知平行四边形 ABCD 中 对角线 AC 和 BD 相交于点 O AC 10 BD 8 1 若 AC BD 试求四边形 ABCD 的面积 2 若 AC 与 BD 的夹角 AOD 60 求四边形 ABCD 的面积 3 试讨论 若把题目中 平行四边形 ABCD 改为 四边形 ABCD 且 AOD 90 AC a BD b 试求四边形 ABCD 的面积 用含a b的代数式表示 例例 5 5 如图所示 已知 AD 与 BC 相交于 E 1 2 3 BD CD ADB 90 CH AB 于 H CH 交 AD 于 F 1 求证 CD AB 2 求证 BDE ACE 3 若 O 为 AB 中点 求证 OF 1 2 BE 16 P MBC N A 三 拓展题型三 拓展题型 例例 1 1 如图 已知四边形 ABCD 的对角线 AC BD 交于点 P 过点 P 作直线 交 AD 于 E 点 交 BC 于 F 点 若 PE PF 且 AP AE CP CF 证明 四边形 ABCD 是平行四边形 例例 2 2 已知如图 在 ABC 中 C 900 点 M 在 BC 上 且 BM AC 点 N 在 AC 上 且 AN MC AM 和 BN 相交于 P 求 BPM 的度数 例例 3 3 如图 1 在 ABO 中 OAB 90 AOB 30 OB 8 以 OB 为一边 在 OAB 外作等 边三角形 OBC D 是 OB 的中点 连接 AD 并延长交 OC 于 E 1 求点 B 的坐标 2 求证 四边形 ABCE 是平行四边形 3 如图 2 将图 1 中的四边形 ABCO 折叠 使点 C 与点 A 重合 折痕为 FG 求 OG 的长 17 四 课后作业四 课后作业 1 如图 已知 M 是 ABCD 的 AB 边的中点 CM 交 BD 于 E 则图中阴影部分的面积与 ABCD 的面积之比是 A 6 1 B 4 1 C 3 1 D 12 5 2 如图 ABCD 中 BD CD C 700 AE BD 于 E 则 DAE A 200 B 250 C 300 D 350 3 在 ABCD 中 AB 6 AD 8 B 是锐角 将 ACD 沿对角线 AC 折叠 点 D 落在 ABC 所在平面内的点 E 处 如果 AE 过 BC 的中点 O 则 ABCD 的面积等于 A 48 B 610 C 712 D 224 4 将一张平行四边形的纸片折一次 使得折痕平分这个平行四边形的面积 则这样的折纸方法共有 A 1 种 B 2 种 C 4 种 D 无数种 5 如图 四边形 ABCD 为平行四边形 AD a BE AC DF FE DE 交 AC 的延长线于 F 点 交 BE 于 E 点 1 求证 BE AC 2 若 AC 2CF ADC 60 o AC DC 求 BE 的长 3 在 2 的条件下 求四边形 ABED 的面积 A B C D E F 第 3 题图 M E D C BA 第 1 题 第 4 题图 E DC B A 第 2 题 第 7 题图 O E D C B A 第 3 题 18 练习练习 5 5 特殊的平行四边形特殊的平行四边形 一 知识梳理一 知识梳理 1 矩形 有一个角是直角的平行四边形 菱形 有一组邻边相等的平行四边形 正方形 有一个角是直角并且有一组邻边相等的平行四边形 注 矩形 菱形 正方形的定义既是性质又是判定 2 矩形的性质 矩形的四个角都是直角 矩形的对角线相等 矩形是轴 对称图形 菱形的性质 菱形的四条边都相等 菱形的对角线互相垂直 并且每 一条对角线平分一组对角 正方形的性质 正方形既是矩形又是菱形 它具有矩形和菱形的全部性质 3 矩形的判定 有三个角是直角的平行四边形是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形 菱形的判定 四边都相等的四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 正方形的判定 先判定是矩形 再判定是菱形 或者先判定是菱形 再判定是矩形 4 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 菱形的面积等于对角线乘积的一半 二 基础题型二 基础题型 例例 1 1 1 如图 1 菱形 ABCD 的对角线的长分别为 2 和 5 P 是对角线 AC 上任一点 不与 A C 重 合 且 PE BC 交 AB 于 E PF CD 交 AD 于 F 则阴影部分的面积是 2 如图 2 用直尺和圆规作一个菱形 能得到四边形 ABCD 是菱形的依据是 A 一组邻边相等的四边形是菱形 B 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C 四边相等的四边形是菱形 D 每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 3 如图 在矩形 ABCD 中 已知 AD 12 AB 5 P 是 AD 边上任意一点 PE BD PE AC E F 分别是垂足 则 PE PF 为 图1 图2 图 3 例例 2 2 如图 在 ABC 中 D 是 AB 的中点 E 是 CD 的中点 过点 C 作 CF AB 交 AE 的延长线于 点 F 连接 BF 1 求证 DB CF 2 如果 AC BC 试判断四边形 BDCF 的形状 并证明你的结论 19 例例 3 3 如图 以 ABC 的边 AB AC 为边的等边三角 ABD 和等边三角形 ACE 四边形 ADFE 是平行四边 形 1 当 BAC 满足什么条件时 四边形 ADFE 是矩形 2 当 BAC 满足什么条件时 平行四边形 ADFE 不存在 3 当 ABC 分别满足什么条件时 平行四边形 ADFE 是菱形 正方形 例例 4 4 如图 菱形 ABCD 中 E 是 AB 的中点 且 DE AB AB a 求 1 ABC 的度数 2 对角线 AC 的长 3 菱形 ABCD 的面积 例例 5 5 如图 平行四边形ABCD中 ABAC 1AB 5BC 对角线ACBD 相交于点 O 将直线AC绕点O顺时针旋转 分别交BCAD 于点EF 1 证明 当旋转角为90时 四边形ABEF是平行四边形 2 试说明在旋转过程中 线段AF与EC总保持相等 3 在旋转过程中 四边形BEDF可能是菱形吗 如果不能 请说明理由 如果能 说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数 B C E D A 20 拓展题型拓展题型 例例 1 如图 3 所示 正方形ABCD的面积为 12 ABE 是等边三角形 点E 在正方形ABCD内 在对角线AC上有一点P 使PDPE 的和最小 则 这个最小值为 A 2 3 B 2 6 C 3 D 6 例例 2 操作 将一把三角尺放在边长为 1 的正方形 ABCD 上 并使它的直角顶点 P 在对角线 AC 上 滑行 直角的一边始终经过点 B 另一边与射线 DC 相交于点 Q 探究 设 A P 两点间的距离为x 1 当点 Q 在边 CD 上时 线段 PQ 与线段 PB 之间有怎样的关系 试证明你观察得到的结论 2 当点 Q 在边 CD 上时 设四边形 PBCQ 的面积为y 求y与x之间的函数关系式 并写 出x的取值范围 3 当点 P 在线段 AC 上滑行时 PCQ 是否可能成为等腰三角形 如果可能 指出所有能使 PCQ 成为等腰三角形的点 Q 的位置 并求出相应的x值 如果不可能 请说明理由 题目中的图 形形状大小都相同 供操作用 D CB A D CB A D CB A 例例 3 如图 过正方形 ABCD 的顶点 B 作 BE CA 作 AE AC 又 CF AE 求证 BCF 2 1 AEB 第 4 题图 F E AB CD 21 例例 4 4 在 ABCD中 BAD的平分线交直线BC于点E 交直线DC于点F 1 在图 1 中证明CE CF 2 若 ABC 90 G是EF的中点 如图 2 直接写出 BDG 的度数 3 若 ABC 120 FG CE FG CE 分别连接DB DG 如图 3 求 BDG的度数 课后作业课后作业 1 如图 1 长方形 ABCD 中 E 为 BC 中点 作 AEC 的角平分线交 AD 于 F 点 若 AB 6 AD 16 则 FD 的长度为 A 4 B 5 C 6 D 8 2 如图 2 在 ABCD 中 AD 5 AB 3 AE 平分 BAD 交 BC 边于点 E 则线段 BE EC 的长 度分别为 A 2 和 3 B 3 和 2 C 4 和 1 D 1 和 4 3 把一张长方形的纸片按如图 3 所示的方式折叠 EM FM 为折痕 折叠后的 C 点落在 MB 或 MB 的延长线上 那么 EMF 的度数是 4 正方形 ABCD 中 如图 在对角线 AC 上取点 E 使 CD CE 过点 E 作 EF AC 交 AD 于 F 求证 AE EF DF 图 2 图 3 图 1 A B C D E F 22 第 2 题图 H F E D CB A 练习练习 6 6 梯梯 形形 一一 知识梳理知识梳理 1 等腰梯形的性质 1 同一底边上的两个底角相等 2 对角线相等 2 等腰梯形的判定 1 利用定义 2 同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 3 对角线相等的梯形是等腰梯形 3 解决梯形问题常用的方法 1 平移腰 把梯形分成一个平形四边形和一个三角形 图 1 2 平移对角线 使两条对角线在同一个三角形中 图 2 3 作高 使两腰在两个直角三角形中 图 3 4 延腰 构造具有公共角的两个等腰三角形 图 4 5 过梯形一腰的中点作中心对称图形 图 5 6 将梯形补成平行四边形 二 基础题型二 基础题型 例例 1 1 1 已知如图 梯形 ABCD 中 AD BC B 450 C 1200 AB 8 则 CD 的长为 A 6 3 8 B 64 C 2 3 8 D 24 2 如图 直角梯形 ABCD 中 AB BC AD 1 BC 3 CD 4 EF 为梯形的中位线 DH 为梯形的高 下列结论 BCD 600 四边形 EHCF 是菱形 CEHBEH SS 2 1 其中正确的结论有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 0 个 例例 2 如图 在梯形 ABCD 中 AB DC 中位线 EF 7 对角线 AC BD BDC 300 求梯形 的高 AH 0 120 0 45 第 3 题图 D CB A 图1 AD B C E 图2 A D B CE 图3 A D B C EF 图4 E G AB D C F 图5 NM A B D C P D H E F B A C 23 F E D CB A M DC BA 例例 3 3 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC E F 分别是 AD BC 的中点 若 AD 7 BC 15 求 EF 例例 4 已知 在在梯形 ABCD 中 AD BC D 90 CAB ABC BE AC 于 E 求证 BE CD 例例 5 5 如图 梯形 ABCD 中 AB CD M 为腰 BC 的中点 求证 24 D CB A M C N D F B A N M D C BA 拓展题型拓展题型 例 1 如图所示 ABCD 是梯形 AD BC AD BC AB AC 且 AB AC BD BC AC BD 交 于 O 求 BCD 的度数 例 2 如图所示 直角梯形 ABCD 中 AD BC A 90 ADC 135 CD 的垂直平分线交 BC 于 N 交 AB 延长线于 F 垂足为 M 求证 AD BF 例 3 已知 梯形 ABCD 中 DC AB A 36 B 54 M N 分别是 DC AB 的中点 求证 1 2 MNABCD 25 例 4 如图 等腰梯形 ABCD 中 AB CD 对角线 AC BD 相交于点 O ACD 600 点 S P Q 分别是 OD OA BC 的中点 1 求证 PQS 是等边三角形 2 若 AB 8 CD 6 求 PQS S 的值 3 若 PQS S AOD S 4 5 求 CD AB 的值 提示 方程 2 51150 xx 的解为 1121 10 x 作业布置 作业布置 1 等腰梯形的上底是 2cm 腰长是 4cm 一个底角是 60 则等腰梯形的下底是 A 5cm B 6cm C 7cm D 8cm 2 如图所示 在梯形 ABCD 中 AB CD E 是 BC 的中点 EF AD 于点 F AD 4 EF 5 则梯形 ABCD 的面积是 A 40 B 30 C 20 D 10 3 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC AD AB 过点 A 作 AE DB 交 CB 的延长线于点 E 1 求证 ABD CBD 2 若 C 2 E 求证 AB DC 第 4 题图 S Q P O DC BA 26 练习练习 7 7 二次根式二次根式 一一 本周教学内容 本周教学内容 二次根式总结 教学目标 教学目标 1 掌握二次根式的概念及体现其性质的重要公式 2 了解它们与算术平方根的关联 3 应用法则进行二次根式的计算与化简 进一步培养运用化归类比方法的能力和主动探究的学习 习惯 二二 重点 难点 重点 难点 重点 应用法则进行二次根式的计算与化简 难点 二次根式的性质的应用及各概念之间的联系 课堂教学 课堂教学 一 知识要点 一 知识要点 1 知识结构 2 二次根式的化简及运算的要求 根式运算的结果中 被开方数应不含有能开得尽因数或因式 根号不含有分母 分母中不含有 根号 3 分母有理化 把分母中的根号化去叫分母有理化 若两个含有二次根式的代数式相乘 积不含有二次根式 则称这两个代数式互为有理化因式 如 就称 3 25 25 25 与 25 是互 为有理化因式 4 二次根式的化简及运算的题型 27 二次根式的乘除法 依据二次根式的性质 要求 系数相乘除 被开方数相乘除 除法 一般转化为分母有理化 运算结果要化成最简 二次根式的加减法 二次根式化成最简二次根式以后 合并同类二次根式与整式乘法中的 合并同类项相似 合理运用去括号和运算律 分母有理化 依据分式的其本性质 有理化因式概念要清楚 为了需要有时须分子有 理化 如 1223 与 比较大小等 典型例题 典型例题 例例 1 化简 22 1 4 1 4 a a a a 例例 2 函数的取值范围是 自变量中x xx x y 2 2 2 例例 3 化简下列各式 1 3 2 2 2 48 0 3 0 121 22 ba baba a 例例 4 化简 2 2 1 2 x x 01 xx且 例例 5 已知 1xx 13 2 x 2 求的值 例例 6 设的值 试求小数部分是的整数部分是 22 13 13 baba 28 例例 7 计算 523 523 例例 8 已知 x y y x 57 2 1 y 57 2 1 x 求的值 例例 9 计算 3225 65 的值 例例 10 已知最简根式 y9 yx3 y62x5 和 是同类根式 求 x y 的值 例例 11 比较下列两个数的大小 1 3453 和 2 3234 和 的大小和 3 2 27 25 3 的大小和314116 4 nnnn 213 5 和 29 自我检测 一一 选择题选择题 1 若 a3 1 有意义 则 a 的取值范围是 A a 3 B a 3 C a 3 D a 3 2 若 的取值范围是则aaa 1 1 2 A a 1 B a 1 C a 0 D a 1 3 二次根式 的大小关系是 5 2 5 2 5 2 A 5 2 5 2 5 2 B 2 5 5 2 5 2 C 5 2 5 2 5 2 D 5 2 5 2 5 2 4 下列计算中正确的是 A xxx523 B xxx532 C xbaxbxa D 52349 2 818 5 下列各组根式其中属于同类二次根式的是 A a a 1 2和 B 3 24aa和 C a a 2 1 12 和 D 2 8 3 a a 和 6 当 0 x 2 时 化简 的结果是2 2 4 2 2 x x A x x x 2 2 B x x x 2 2 C x x x 2 2 2 D x x x 2 2 7 的值等于 20072008 23 23 A 2 B 2 C 23 D 32 8 若 ab 0 则化简 ba2 的结果是 A ba B ba C ba D ba 二 填空题二 填空题 9 计算 3 4 4 3 18 25 25 10 若 m 1 化简 的结果是12 1 1 2 mm m 30 11 已知 xy 的值是则 1 1 125 2 yxyx 12 已知 的值可以是则是同类二次根式与aa 1113 写出两个即可 13 已知 a b 在数轴上的位置如图所示 是化简 ab ba a 22 的结果是 三 计算题三 计算题 14 54 1 92463 15 y x x y xyx15510 2 16 80 3 2 10 5 1 10 3 2 4 17 10412 102 2 四四 解答题解答题 18 15 25 4 1 4 1 223223 yxxyyxxxyyxx其中 19 一个直角三角形的两条直角边长分别是 cm 23 cm 23 求这个三角形的面积和周长 31 练习练习 8 一元二次方程一元二次方程 一 选择题一 选择题 1 下列四个说法中 正确的是 A 一元二次方程 2 2 45 2 xx 有实数根 B 一元二次方程 2 3 45 2 xx 有实数根 C 一元二次方程 2 5 45 3 xx 有实数根 D 一元二次方程 x2 4x 5 a a 1 有实数根 3 关于 x 的方程 a 5 x2 4x 1 0 有实数根 则 a 满足 A a 1 B a 1 且 a 5 C a 1 且 a 5 D a 5 5 一元二次方程 0 0 2 acbxax有两个不相等 的实数根 则acb4 2 满足的条件是 acb4 2 0 acb4 2 0 acb4 2 0 acb4 2 0 6 如果关于 x 的一元二次方程 x2 px q 0 的两根分别为 x1 2 x2 1 那么 p q 的值分别是 A 3 2 B 3 2 C 2 3 D 2 3 7 已知方程 2 520 xx 的两个解分别为 1 x 2 x 则 1212 xxxx 的值为 A 7 B 3 C 7 D 3 8 若 a 为方程式 x 17 2 100 的一根 b 为方程式 y 4 2 17 的一根 且 a b 都是正数 则 a b 之值为何 A 5 B 6 C 83 D 10 17 9 方程 x2 x 1 0 的一个根是 A 1 5 B 2 51 C 1 5 D 2 51 10 已知nm 是方程012 2 xx的两根 且8 763 147 22 nnamm 则a的值等 于 A 5 B 5 C 9 D 9 11 已知一元二次方程 x2 x 1 0 下列判断正确的是 A 该方程有两个相等的实数根 B 该方程有两个不相等的实数根 C 该方程无实数根 D 该方程根的情况不确定 12 已知方程 2 0 xbxa 有一个根是 0 a a 则下列代数式的值恒为常数的是 A ab B a b C ab D ab 13 若 12 x x是方程 2 x 4 的两根 则 12 xx 的值是 A 8 B 4 C 2 D 0 14 一元二次方程 x2 kx 3 0 的一个根是 x 1 则另一个根是 A 3 B 1 C 3 D 2 32 15 关于 x 的一元二次方程 x2 6x 2k 0 有两个不相等的实数根 则实数 k 的取值范围是 A k 9 2 B k 9 2 C k 9 2 D k 9 2 16 方程 2 560 xx 的两根为 A 6 和 1 B 6 和 1 C 2 和 3 D 2 和 3 17 一元二次方程 x2 4 0 的解是 A x1 2 x2 2 B x 2 C x 2 D x1 2 x2 0 18 方程 2 30 x 的根是 A 3x B 12 3 3xx C 3x D 12 3 3xx 19 一元二次方程 2 20 xx 的两根之积是 A 1 B 2 C 1 D 2 20 方程 x x 1 2 的解是 A x 1 B x 2 C x1 1 x2 2 D x1 1 x2 2 21方程 11 2 022xxxx下面对的一较小根为 的估计正确的是 A 12 1 x B 01 1 x C 10 1 x D 21 1 x 22 关于x的一元二次方程 2 210 xmxm 的两个实数根分别是 12 xx 且 22 12 7xx 则 2 12 xx 的值是 A 1 B 12 C 13 D 25 23 一元二次方程 2 340 xx 的解是 A 1 1x 2 4x B 1 1x 2 4x C 1 1x 2 4x D 1 1x 2 4x 24 已知 x 0 是方程 x2 2x a 0 的一个根 则方程的另一个根为 A 1 B 1 C 2 D 2 25 方程 x 5 x 6 x 5 的解是 A x 5 B x 5 或 x 6 C x 7 D x 5 或 x 7 二 填空题二 填空题 1 已知关于 x 的一元二次方程 01 1 2 xxm 有实数根 则 m 的取值范围是 2 若一元二次方程 x2 a 2 x 2a 0 的两个实数根分别是 3 b 则 a b 2 已知 x1 x2为方程 x2 3x 1 0 的两实根 则 x12 8x2 20 3 设 x1 x2 是一元二次方程 x2 4x 3 0 的两个根 2x1 x22 5x2 3 a 2 则 a 4 方程 x2 2x 1 0 的两个实数根分别为 x1 x2 则 x1 1 x1 1 5 一元二次方程 2 260 x 的解为 6 已知关于x的一元二次方程的一个根是 1 写出一个符合条件的方程 7 方程 2 310 xx 的解是 8 2010 年上海 方程 x 6 x 的根是 33 9 若关于 x 的方程 x2 mx 3 0 有实数根 则 m 的值可以为 任意给出一个符合条 件的值即可 10 已知 x 1 是一元二次方程0 2 nmxx的一个根 则 22 2nmnm 的值为 11 如果方程 ax2 2x 1 0 有两个不等实数根 则实数 a 的取值范围是 12 设 1 x 2 x是一元二次方程 2 320 xx 的两个实数根 则 22 1122 3xx xx 的值为 13 已知 是一元二次方程 x2 4x 3 0 的两实数根 则代数式 3 3 14 方程04 2 xx的解是 15 若实数 m 满足 m2 10m 1 0 则 m4 m 4 16 已知一元二次方程 2 313 10 xx 的两根为 1 x 2 x 则 12 11 xx 17