高考数学 8.6双曲线配套课件 文 新人教A版 .ppt

第六节双曲线 三年13考高考指数 1 了解双曲线的定义 几何图形和标准方程 知道它的简单几何性质 2 了解双曲线的实际背景 了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 3 理解数形结合的思想 1 双曲线的定义 标准方程 几何性质是高考的重点 双曲线的离心率 渐近线或与其他知识结合是高考的热点 2 多以选择题 填空题为主 属中低档题目 1 双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 1 在平面内 2 动点到两定点的距离 为一定值 3 这一定值一定要 两定点的距离 之差的绝对值 小于 即时应用 判断下列点的轨迹是否为双曲线 请在括号内填写 是 或 否 1 平面内到点a 0 2 b 0 2 距离之差等于2的点的轨迹 2 平面内到点a 0 2 b 0 2 距离之差的绝对值等于3的点的轨迹 3 平面内到点a 0 2 b 0 2 距离之差等于4的点的轨迹 4 平面内到点a 0 2 b 0 2 距离之差的绝对值等于4的点的轨迹 5 平面内到点a 0 2 b 0 2 距离之差等于6的点的轨迹 6 平面内到点a 0 2 b 0 2 距离之差的绝对值等于6的点的轨迹 解析 由双曲线的定义可知 1 点的轨迹是以a b为焦点 实轴长为2的双曲线的一支 2 点的轨迹是以a b为焦点 实轴长为3的双曲线 3 点的轨迹是以b为端点方向向下的一条射线 4 点的轨迹是分别以a b为端点方向向上 下的两条射线 5 距离之差大于 ab 所以点的轨迹不存在 6 距离之差的绝对值大于 ab 所以点的轨迹不存在 答案 1 否 2 是 3 否 4 否 5 否 6 否 2 双曲线的标准方程和几何性质 即时应用 1 思考 双曲线离心率的大小与双曲线 张口 大小有怎样的关系 提示 因为离心率 所以 离心率越大 就趋近于 即两条渐近线所形成的角 双曲线所在的区域 就越大 即双曲线的 张口 就越大 离心率越小即接近1 就趋近于0 即两条渐近线所形成的角 双曲线所在的区域 就越小 即双曲线的 张口 就越小 2 已知曲线2x2 y2 6 0上一点p到一个焦点的距离为4 则它到另一个焦点的距离为 解析 曲线2x2 y2 6 0的方程可化为 所以a2 3 又因为点p到一个焦点的距离为4 所以到另一焦点的距离为4 2或4 2 答案 4 2或4 2 3 已知双曲线 a 0 b 0 的虚轴长为2 焦距为2 则双曲线的渐近线方程为 解析 依题意知 2b 2 2c 2 所以b 1 c a 因此 双曲线的渐近线方程为 答案 双曲线的定义 标准方程 方法点睛 1 应用双曲线定义的注意事项利用双曲线的定义解题时 要注意以下几点 1 距离之差的绝对值 2 2a f1f2 3 双曲线上任意一点与两焦点围成的 焦点三角形 中的数量关系 双曲线的标准方程 1 当已知双曲线的焦点在x轴上时 其标准方程为 a 0 b 0 当已知双曲线的焦点在y轴上时 其标准方程为 a 0 b 0 2 当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时 其标准方程可设为 mn 0 这样可避免讨论和复杂的计算 也可设为ax2 by2 1 ab 0 这种形式在解题时更简便 3 当已知双曲线的渐近线方程bx ay 0 求双曲线方程时 可设双曲线方程为b2x2 a2y2 0 据其他条件确定 的值 4 与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程可设为 0 据其他条件确定 的值 3 求双曲线标准方程的方法及步骤 1 定义法 根据题设条件得出或已知曲线为双曲线 可直接求出a b c 得出双曲线方程 2 待定系数法 先设出双曲线的标准方程 将题设条件代入方程确定相关系数 最后得出方程 提醒 用定义法求双曲线方程时 要注意焦点所在坐标轴的位置 例1 1 与双曲线有相同的渐近线 且过点 3 的双曲线方程为 2 已知定点a 0 7 b 0 7 c 12 2 以c为一个焦点作过a b的椭圆 求另一个焦点f的轨迹方程 解题指南 1 先设出双曲线的方程 用待定系数法求解 2 由椭圆定义得出关于点f的等式 化简后可得出点f的轨迹 进而得出轨迹方程 规范解答 1 因为所求双曲线与有相同的渐近线 所以设所求双曲线方程为 0 又因为双曲线过点 3 所以 解得 所以所求双曲线方程为 即 答案 2 由椭圆的定义知 ac af bc bf 又因为a 0 7 b 0 7 c 12 2 所以 ac 13 bc 15 因此 af bf 2 所以f的轨迹是双曲线的一支 其中c 7 a 1 b2 48 因此所求轨迹方程为 y 0 互动探究 本例 1 中 有相同的渐近线 改为 有相同的焦点 结果如何 解析 双曲线中 c 5 焦点坐标为 5 0 5 0 又因为所求双曲线与双曲线有相同的焦点 所以可设双曲线方程为 又因为双曲线过点 3 2 所以 解得a2 23 4 舍去 或a2 23 4 所以双曲线方程为 反思 感悟 1 第一小题有相同渐近线的双曲线方程的设法只有一个参数 再需一个条件即可求解 2 第二小题是借助于椭圆的定义 得出一个等式 再由双曲线的定义得出轨迹为双曲线的一支 变式备选 过双曲线x2 y2 8的左焦点f1有一条弦pq交左支于p q两点 若 pq 7 f2是双曲线的右焦点 则 pf2q的周长为 解析 因为x2 y2 8 所以2a 4 由题设及双曲线的定义得 pf2 pf1 4 qf2 qf1 4 所以 pf2 qf2 pf1 qf1 8 即 pf2 qf2 pq 8 又因为 pq 7 所以 pf2 qf2 7 8 因此 pf2q的周长为 pf2 qf2 pq 14 8 答案 14 8 双曲线的几何性质 方法点睛 1 双曲线的几何性质的关注点双曲线的几何性质从以下三点关注 1 六点 两焦点 两顶点 两虚轴端点 2 四线 两对称轴 实 虚轴 两渐近线 3 两形 中心 顶点 虚轴端点构成的三角形 双曲线上的一点 不包括顶点 与两焦点构成的三角形 2 双曲线的离心率与渐近线斜率的关系 1 已知双曲线的离心率e求渐近线方程要注意及判断焦点的位置 2 已知渐近线方程y mx m 0 求离心率时 若焦点不确定时 m 或m 因此离心率有两种可能 提醒 双曲线中a b c之间的关系为c2 a2 b2 不要和椭圆之间的关系混淆 例2 1 2011 福建高考 设圆锥曲线c的两个焦点分别为f1 f2 若曲线c上存在点p满足 pf1 f1f2 pf2 4 3 2 则曲线c的离心率等于 a 或 b 或2 c 或2 d 或 2 2011 天津高考 已知双曲线 a 0 b 0 的左顶点与抛物线y2 2px p 0 的焦点的距离为4 且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为 2 1 则双曲线的焦距为 a 2 b 2 c 4 d 4 解题指南 1 由于已知圆锥曲线的两个焦点 所以该圆锥曲线为椭圆或双曲线 再由离心率的定义即可求解 2 由交点坐标和抛物线方程可求出p的值 再由双曲线顶点坐标和抛物线的焦点坐标列方程求解 规范解答 1 选a pf1 f1f2 pf2 4 3 2 可设 pf1 4k f1f2 3k pf2 2k k 0 其中 f1f2 2c 3k c 若圆锥曲线c为椭圆 则 pf1 pf2 2a 6k a 3k e 若圆锥曲线c为双曲线 则 pf1 pf2 2a 2k a k e e的取值为或 2 选b 双曲线的渐近线为y x 由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为 2 1 得 2 即p 4 又 a 4 a 2 将 2 1 代入y x得b 1 c 2c 2 互动探究 在本例 1 中 若圆锥曲线为双曲线且c 6 其他条件不变 求双曲线的焦点到其渐近线的距离 解析 因为圆锥曲线为双曲线且c 6 又因为 pf1 f1f2 pf2 4 3 2 所以 pf1 16 pf2 8 2a 16 8 8 即a 4 所以b 当双曲线的焦点在x轴上时 一个焦点为 6 0 一条渐近线方程为x 2y 0 焦点到渐近线的距离为2 当双曲线的焦点在y轴上时 一个焦点为 0 6 一条渐近线方程为2x y 0 焦点到渐近线的距离为2 反思 感悟 1 第一小题首先是讨论曲线的类型 然后再根据相应曲线的定义 求出离心率的值 2 正确写出双曲线的渐近线方程和顶点坐标是解题的关键 要注意双曲线中a b c的关系 变式备选 双曲线 a 0 b 0 中 f为右焦点 a为左顶点 点b 0 b 且ab bf 则此双曲线的离心率为 解析 由题意可知 ab c af a c bf ab bf ab 2 bf 2 af 2 c2 b2 c2 a c 2 化简得b2 ac c2 a2 ac 两边同时除以a2得e2 e 1 0 解得e 又e 1 e 答案 与双曲线有关的综合问题 方法点睛 1 直线与双曲线的位置关系判断直线l与双曲线c的位置关系时 通常将直线l的方程ax by d 0 a b不同时为0 代入双曲线c的方程f x y 0 消去y 也可以消去x 得到一个关于变量x 或变量y 的一元方程 即 消去y后得ax2 bx c 0 直线与双曲线 方程特征 交点个数 位置关系 a 0 a 0 0 a 0 0 a 0 0 1 2 1 0 直线与双曲线的渐近线平行 两者相交 相交 相切 相离 2 解决与双曲线有关的参数的取值范围或最值问题的常用方法 1 当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义时 可考虑利用数形结合法求解或构造参数满足的不等式 组 通过解不等式 组 求得参数的取值范围 2 当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系时 则可先建立目标函数 进而转化为求解函数的值域 提醒 解决直线与双曲线相交问题时 若涉及到弦的中点或斜率 一般用点差法求解 例3 2012 北京模拟 设圆c的圆心为双曲线 a 0 的右焦点且与此双曲线的渐近线相切 若圆c被直线l x y 0截得的弦长等于2 则a的值为 a b c 2 d 3 解题指南 求出圆心坐标和双曲线的渐近线方程 由圆与渐近线相切可求出圆的半径 再由弦心距 半径 弦的一半组成的直角三角形求a的值 规范解答 选a 圆c的圆心c 0 双曲线的渐近线方程为x ay 0 圆心c到渐近线的距离为故圆c的方程为 x 2 y2 2 由l被圆c截得的弦长是2及圆c的半径为可知 圆心c到直线l的距离为1 即 反思 感悟 1 本题是双曲线 圆与直线相交的综合问题 由双曲线的几何性质易得双曲线的焦点坐标和渐近线方程 再利用直线与圆的位置关系可列方程解决 2 这类问题中 常用到点到直线的距离公式 方程思想是常用的思想方法 变式训练 2012 台州模拟 若点o和点f分别为的中心和左焦点 点p为双曲线右支上的任意一点 则的取值范围是 解析 a2 3 b2 1 c2 a2 b2 4 c 2 f 2 0 o 0 0 设点p x y 为双曲线右支上任意一点 且y 0 则 x p x x x 2 x x 2 2x 1 由于x 时 y 2x 1为增函数 ymin 2 2 1 3 2 答案 3 2 易错误区 双曲线几何性质的解题误区 典例 2011 山东高考 已知双曲线 a 0 b 0 和椭圆有相同的焦点 且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍 则双曲线的方程为 解题指南 先求椭圆焦点 即双曲线的焦点 再由双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍求出b 然后写出双曲线的方程 规范解答 由题意知双曲线的焦点为 0 0 即c 又因为双曲线的离心率为 所以a 2 故b2 3 所以双曲线的方程为 答案 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下误区警示和备考建议 1 2011 安徽高考 双曲线2x2 y2 8的实轴长是 a 2 b 2 c 4 d 4 解析 选c 将双曲线2x2 y2 8化成标准方程 则a2 4 所以实轴长2a 4 2 2011 湖南高考 设双曲线 a