2016年全国高中数学联赛（湖北赛区）预赛试题（高一年级）及答案.pdf

2016 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛评分标准 高一年级 第1页 共 3 页 2016年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案和评分标准 高一年级 说明 1 评阅试卷时 请依据本评分标准 填空题只设9分和0分两档 其他各题的评阅 请严格按照本评分标准的评分档次给分 不要增加其他中间档次 2 如果考生的解答方法和本解答不同 只要思路合理 步骤正确 在评卷时可参考 本评分标准适当划分档次评分 解答题中5分为一个档次 不要增加其他中间档次 一 填空题 本大题共10小题 每小题9分 共90分 1 已知函数 f x满足 1 2f 1 1 1 f x f x f x 对定义域内任意x都成立 那么 2016 f 1 3 2 不等式 2 1 3328 xx 的解集为 2 1 3 从五个正整数 a b c d e中任取四个求和 得到的和值构成集合 44 45 46 47 则 abcde 57 4 求值 357 coscoscoscos 9999 1 2 5 ABC中 角 A B C的对边长分别为 a b c D是BC的中点 若4a ADcb 则 ABC的面积的最大值为2 3 6 如果存在实数a 使得关于x的不等式coscos21axbx 无实数解 则实数b的最大值为 1 7 已知质数 p q满足 52 21qp 则pq 14 8 已知实数 x y满足 2 31 5 1 22 2 xy 1 3x y 8328 xy 那么 xy 4 5 9 已知MN是边长为2 6的等边 ABC的外接圆的一条动弦 MN 4 P为 ABC的边 上的动点 则MP PN 的最大值为 4 10 设 a表示不大于a的最大整数 则方程 1 78 xx 的最大正整数解为 104 二 解答题 本二 解答题 本题题满分满分 6060 分分 每小每小题题 2020 分分 11 已知 ABC的三边长 a b c abc 均为整数 且满足 1 a b c构成等比数列 2 a b c中至少有一个等于 100 求符合要求的三元数组 a b c的个数 解解 首先 由题设可知 abc 且 2 bac 若100a 则100b 2 100bc 故10 b 2 100 b c 代入abc 得 2 100 100 b b 解得10050 51 b 故b的值可以为 100 110 120 130 140 150 160 相应的c的值分 别为 100 121 144 169 196 225 256 5 分 若100b 则100a 10000ac 故 10000a 1000 c a 代 入abc 得 10000 100a a 解得50 5 1 100a 故a的值可以为 80 100 相应的c的值分别为 125 100 10 分 2016 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛评分标准 高一年级 第2页 共 3 页 若100c 则100b 2 100ba 故10 b 2 100 b a 代入abc 得 2 100 100 b b 解得50 5 1 100b 故b的值可以为 70 80 90 100 相应的a的值分别为 49 64 81 100 15 分 综上所述 符合要求的三元数组 a b c共有 11 个 20 分 12 已知二次函数 2 f xaxbxc 满足条件 1 42aba 2 当 1x 时 1f x 证明 当 2x 时 5 4 f x 证明证明 设 0 2 b x a 由42aba 可知 0a 0 1 2 x 所以 当 2x f x的最小值为 0 f x 故只需证 0 5 4 f x 5 分 因为42aba 所以 42 bb a 2 4 0abab 所以 22 86baab 10 分 所以 22 2 0 413 86 2 4442 acbb f xccaabcab aaa 2424 bbbb cabaabcabc 15 分 又 1 fabc 1 fabc 所以 1 1 1 2 bff 所以 0 191915 1 1 1 1 1 4888884 b f xabcfffff 所以 5 4 f x 20 分 13 已知定义在R上的函数 f x满足 10 1 3 f 且对任意实数 x y 恒有 f x f yf xyf xy 若数列 n a满足3 1 n af nf n Nn 1 求数列 n a的通项公式 2 令 2 24 38 n n n a b a Nn n S是数列 n b的前n项和 求证 1 n S 解解 在 式中令1x 0y 得 1 0 2 1 fff 又 10 1 3 f 所以 0 2f 在 式中令xn 1y 1 1 1 f n ff nf n 所以 10 1 1 3 f nf nf n 5 分 所以 1 3 1 9 3 1 3 3 1 3 nn af nf nf nf nf nf na 2016 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛评分标准 高一年级 第3页 共 3 页 又 1 3 1 0 8aff 所以 1 8 3n n a 10 分 2 1 2122 2424 8 33 38 3 8 38 31 nn n n nn n a b a 容易证明 1 1 31 31 4 kk 对一切 Nk 恒成立 从而可得 211 34 3