西电微波技术基础Ch.ppt

第24章 介质格林函数法 DielectricGreen sFunctionMethod 先归纳一下前面有关方法论的工作 图24 1研究问题的方法 一 Green函数的基本概念 1 函数函数是广义函数 24 1 24 3 24 2 函数有各种物理解释 其中之一是 概率论 中必然事件的概率密度 2 Green函数Green函数解决一类普遍问题 不仅是电磁场 而且在力学 流体 空气动力诸方面都有应用 其问题提法是 复杂区域V 在内部有任意源g 已知场u服从 24 4 一 Green函数的基本概念 图24 2 x 函数 一 Green函数的基本概念 图24 3Green函数问题 一 Green函数的基本概念 对于 r r 特殊源所对应的是Green函数 有 24 5 为了普遍化 我们把函数的归一性积分写成 24 6 Dirac内积符号 表示积分或 注意 对起作用 L对起作用 可以建立恒等式 一 Green函数的基本概念 24 7 根据Operater的线性有 24 8 对比可以得到 24 9 一 Green函数的基本概念 归结出 只要求出某一类 特定支配方程和边界条件 问题的Green函数 那么 这一类问题中任意源在点造成的场只需由和函数的广义内积求得 最简单的如三维静场 24 10 若简洁写成 一 Green函数的基本概念 可知对应的Green函数是 24 11 一 Green函数的基本概念 从更广义的物理方法论来理解 式 24 5 可以看成是 24 4 即原问题的伴随问题 若令且La L 术语上称之为自伴 也即 24 12 按这一观点 一 Green函数的基本概念 由于函数的特殊性质 实际上式 24 13 可进一步写成 24 14 而式 24 14 正是互易定理的表达形式 24 13 如果问题的区域是分层媒质 则可用镜象法求出Green函数 采用镜象法的基础是Maxwell方程组的唯一性定理 它可以叙述为 在给定区域符合微分方程和边界条件的解是唯一的 因此 也可以反过来说 只要符合方程和边界条件 则这个解必定正确 所谓镜像法 其第一要点是分区求解 第二要 二 镜象法 点是在求解区域之外添加镜象电荷代替边界 使之符合求解区域之内的方程及边界条件 例1 半无限空间导体前的点电荷 也即源 解 先写出分区解和分区边界条件支配方程 24 15 二 镜象法 边界条件 图24 4导体镜像法 分区求解 二 镜象法 其中 为导体面电荷 很明确 解是分区的 现在采用镜像法根据图24 5 很易看出 24 17 式 24 17 满足支配方程 24 15 是显然的 二 镜象法 下边考察其边界条件情况 1 当x 0 二 镜象法 2 再研究导数条件 求解 时 在Region 加镜像电荷 q 求解 时 在Region 加镜像电荷 q 图24 5镜像电荷 均加在求解区域之外 二 镜象法 对比边界条件式 24 16 易知 24 18 为了验证 的面电荷密度性质 验证下列积分 采用yoz的极坐标 即dydz rdrd 24 19 二 镜象法 作为副产品易知 这种问题的Green函数于是 24 21 上面整个过程即采用镜像法求取Green函数 二 镜象法 图24 6yoz的极坐标 二 镜象法 二维问题的介质Green函数的一般模型如图24 7 在右半空间d处放一无限长线电荷 密度为 三 二维介质Green函数 图24 7介质镜像法 同样 分区域求解支配方程 24 22 边界条件 24 23 三 二维介质Green函数 求解Regiou 在 假设 求解Region 在 假设 镜像图24 8介质分区域求解 三 二维介质Green函数 所有镜像均在求解区域外 Note 在我们假设中 两空间均是 0 当然也可以是 0 r 求解Region 时 实际上包括真实电荷 和镜像 这样模型满足支配方程是没有问题的 现写出 24 24 三 二维介质Green函数 也可以改写为 24 25 式中 24 26 三 二维介质Green函数 现在 让我们考察解与边界条件的关系 于是由函数边界条件有 24 27 三 二维介质Green函数 导数边界条件 三 二维介质Green函数 又得到 24 28