数学奥林匹克初中训练题_108_.pdf

2n 1 1 2n 3 3n2 2n 1 由此 2n 1 2 2 2n 1 2 2n 1 4n 3 6n2 2n 1 an 1 2n 1 2 2 2n 1 2n 1 2n 3 3n2 2n 1 所以 2n 1 2 2 2n 1 1 a n 1 n p B n p m C p m n D m n p 3 在 v ABC 中 BD 平分 NABC 交AC 于 点 D CE 平分 NACB 交 AB 于点 E 若 BE CD BC 则NA 的度数为 A 30b B 45b C 60 b D 90b 4 凸四边形 A BCD 的四个顶点满足 每 一个顶点到其他三个顶点距离之积相等 则 四边形 ABCD 是 A 等腰梯形 B 菱形 C 矩形 D 正方形 5 若两个不同的自然数 a b 组成的数 对 a b 满足它们的算术平均数 A a b 2 和几何平均数 G ab均为两位数 且 A 和 G 中的一个可由另一个交换个位和十位数字 得到 则称这样的自然数对为 好数对0 那 么 满足条件的好数对有 对 A 1 B 2 C 3 D 4 图 1 6 如图 1 P 为正 v ABC 外接圆AB上一 点 则 BC 与 PC 的关 系是 A BC 3 2 PC B BC 3 3 PC 36中 等 数 学 C BC 3 2 PC D BC 3PC 二 填空题 每小题 7分 共 28 分 1 要使方程组 x 2 2ay 5 y x 6a 有正整数 解 则 a 的值是 2 v ABC 的内心为 I NB 的平分线交 AC 于点P 若 AP AB BC 且AB 3 BC 5 则 A I 的值为 3 已知 x 2 y z y 2 z x z 2 x y 0 则 x y z y z x z x y 4 在平面直角坐标系中 有抛物线 y x 2 5c 3 x c 和三个点A 1 2 c 5 2 c B 1 2 c 9 2 c C 2c 0 c 0 该抛物线上存 在点 P 使以 A B C P 为顶点的四边形为 平行四边形 则这样的点 P 有个 第 二 试 一 20 分 设0 x 0 BD 0 所以 AC BD 把式 分别代入式 得 A D BC AB CD 由此知四边形 ABCD 为平行四边形 又由式 知 ABCD 为矩形 5 A 由题意得 a b 2A ab G 2 则 a b 是关于x 的一元二次方程x 2 2Ax G 2 0的两根 解得 a b A A 2 G2 从而 A 2 G2是自然数 设 A 10p q 1 p q 9 则 G 10q p A 2 G2 A G A G 9 11 p q p q 要使 A 2 G2 为完全平方数 必须 11 p q 或 11 p q 但1 p q 8 故 118 p q 所以 11 p q 又 p q 9 8 17 故 p q 11 这就要求 p q 是完全平方数 而 p q 8 32 则可能有 p q 2 2 4 或 p q 1 2 1 当p q 4 p q 11 时 p q 均不为 整数 故 p qX4 当 p q 1 p q 11 时 得 p 6 q 5 此时 A G 分别为 65 和 56 进而求得 a b 为 98 32 故满足条件的好数对只有 1 对 6 C 首先证明 在v ABC 中 NA 60b 则 BC 2 AB2 AC2 AB AC 图 6 如图 6 作 CD LAB 则 A D 1 2 AC CD 3 2 AC 故 BC 2 BD2 CD2 AB A D 2 CD2 AB 1 2 AC 2 3 2 AC 2 AB 2 1 4 AC 2 AB AC 3 4 AC 2 AB 2 AC2 AB AC 在 v PAC 和 v PBC 中 由 NAPC NBPC 60b 有 AC 2 PA2 PC2 PA PC BC 2 PB2 PC2 PB PC 即 PA 2 PC PA PC2 AC2 0 PB 2 PC PB PC2 BC2 0 由 AC BC 知 PA PB 是关于 t 的一元 二次方程 t 2 PC t PC 2 BC 2 0 的两个 根 由 0 知 PC 2 4 PC2 BC2 0 化简即得 4BC 2 3PC 2 故 BC 3 2 PC 二 1 1 2 或 1 6 由第二个方程得 a y x 6 代入第一个 方程整理得 38中 等 数 学 y 2 xy 3x2 15 0 若此方程有正整数解 则 60 11x 2 为完全平方数 易知 x 1 2 从而 y 4 3 于是 可求得 a 1 2 或 1 6 2 2 图 7 如图 7 在 线段 BC 上截取BAc BA 延长 A I 交 BC 于 Q 联结 PAc 由 BAc BA NABP NA cBP BP BP 得 v ABP T v AcBP 则AcP A P BC BA BC BA c A cC 所以 NAcPC NC 因为 NBAC NBAcP NC NAcPC 2N C 所以 NAPB NPBC NC 1 2 NB NC 1 2 NB NA 又NA IP NIAB NIBA 1 2 NA NB 从而 NAPB NA IP AI AP 而 A P BC AB 5 3 2 故 A I 2 3 3或 1 由已知得 x 2 y z x y 2 z x y z 2 x y z x y z 即 x x y z y z y x y z z x z x y z x y x y z 则 x y z y z x z x y x y z x y z 当 x y z 0 时 y z x z x y x y z x y z y z x z x y x x y y z z 3 当 x y zX0 时 x y z y z x z x y 1 故 x y z y z x z x y 3 或 1 4 3 1 若以 A B 为对角线 则 P1 2c 7c 要 使 P1在抛物线上 必须 7c 2c 2 5c 3 2c c 解得 c1 0 舍 c2 1 故 c 1 此时 P1 2 7 2 若以 BC 为对角线 则 P2 3c 2c 同理可得 c 1 此时 P2 3 2 3 若以 AC 为对角线 则 P3 c 2c 可得 c 1 此时 P3 1 2 综上 存在三个点 P1 2 7 P2 3 2 P3 1 2 使以 A B C P 为顶点的四边 形为平行四边形 第 二 试 一 1 x 2 1 1 x 2 5 Z 1 1 x 2 5 1 x 2 Z1 1 x 2 5 1 x 2 2 5 1 x 2 Z 5 1 x 2 x 2 Z5 5x2 x 2 4x 4 Z4x2 4x 1 0 Z 2x 1 2 0 显然上式成立 又1 x 2 1 1 x 2 1 2 Z 1 1 x 2 1 2 1 x 2 Z3 x2 2x 2 1 1 x 2 3 x2 2 2 1 x 2 Z 2 1 x 2 x 1 1 x 2 Z2 1 x 2 x2 1 1 x 2 2x 1 1 x 2 Z1 1 1 x 2 显然成立 故 y 的取值范围为5 y b 则分三种情形 1 a n 1 b n c n 2 此时 RS 1 n 1 2 n 2 不为整数 2 a n 2 b n c n 1 此时 RS 2 n 1 2 n 1 1 这样的 n 有无数个 故满 足条件的三角形有无数个 3 a n 2 b n 1 c n 此时 RS n 3 2n 要