“数学归纳法(第一课时)”教学设计与点评.pdf

圆园15 年第 4 期 摘要 本节课的教学设计引入问题新颖别致 归 纳方法细致自然 方法本质剖析到位 解题教学层次 清晰 使学生经历数学归纳法思想方法的形成过程 理解数学归纳法 并能解决一些简单证明问题 教学 点评则指出本节课的亮点和需改进的问题 关键词 数学归纳法 教学设计 教学点评 教学内容解析 人教版 普通高中课程标准试验教科书 数学 A 版选修 2 2 第六章 推理与证明 的主要内容是 数学的基本思维过程 也是人们生活和学习中经常使 用的思维方式 推理一般包括合情推理和演绎推理 证明通常包括逻辑证明和实验 实践证明 数学结论 的正确性必须通过逻辑证明来保证 即在前提正确的 基础上 通过正确使用推理规则得出结论援 数学归纳法 安排在证明的最后 本章证明前面 已经学过的知识有合情推理 演绎推理中的综合法与 分析法等 现在要解决一类特殊问题 与正整数 n 有 关的命题 的证明 而前面学习过的方法已无法进行 证明 从而我们产生要学习 数学归纳法 的必要性 并且 本节内容是培养学生严密的推理能力 训练学 生的抽象思维能力 体验数学内在美的好素材援 基于上述分析 本节课的教学重点确定为 领会 数学归纳法原理 体会数学归纳法的形成过程援 教学目标设置 1 通过具体问题情境 经历数学归纳法思想和 方法的形成过程 2 理解数学归纳法 并能用于解决一些简单的 证明问题援 学生学情分析 高二学生具备一定的抽象思维能力和逻辑推理能 力 此前刚学习过合情推理和基本的证明方法 但数 学归纳法毕竟是数学家们经历长期的数学研究与探索 出来的 是在生产 生活实践中得到验证的产物 学 生必须在教师的引导下进行再发现 再认识援 所以这对 学生的数学素养 学习能力提出了较高的要求援 所教班 级的学生基础比较好 能力也比较强援 因此 确定本 节课的难点如下 1 如何类比多米诺骨牌解决具体数学问题的证 明 亦步亦趋 2 理解数学归纳法中第二步的本质 并能完成 第二步中命题的证明援 教学策略分析 基于对教学内容和学生学情的分析 我们采取以 下的教学策略 策略 1 先行组织者 教学策略援 在本节课的开 头 通过一个具体的 递推数列 问题 引导学生观 察式子的结构特征 归纳出 第二步 的命题形式援 一是明确本节课的主要学习任务 二是明确了学习新 方法的必要性援 策略 2 设置问题串 教学策略援 设置递进的具 有启发性的数学问题 这样数学味道更浓 逐层深入 体现出师生之间思维的碰撞 在碰撞中质疑 逐步推 进对思想方法的理解援 策略 3 多元展示 教学策略援 通过多种教学手 段和现代媒体资源 如板演 投影 视频 问答等 收稿日期 2015 02 20 作者简介 张志华 1984 男 中学一级教师 主要从事高中数学课堂教学研究援 数学归纳法 第一课时 教学设计与点评 张志华 重庆市第一中学校 特 别 报 道 TEBIEBAODAO 7 圆园15 年第 4 期 相结合 多方面 多角度地展示思维的原始状态 展 示思想方法的发生 发展过程援 策略 4 螺旋上升 教学策略援 先通过一个具体 数学问题的探究 让学生欲罢不能 再通过多米诺骨 牌初步体会和认识数学归纳法的雏形 然后类比这种 思想 去解决这个特殊的数学问题 从中提炼出一般 的方法 即数学归纳法 再对方法的本质进行剖析 然后又通过例题进行体会和理解 这样逐步完成对数 学归纳法本质的深刻理解援 下面结合具体的教学过程 对问题设置 学生学 习机会创设和学习反馈处理进行分析援 教学过程设计 1 创设问题 明确任务 1 提出问题 已知数列 an a1 1 an 1 an 1 an n 1 2 3 计算 a2 a3 a4 并猜想其通项公式 试证明你 的猜想援 我们可以用不完全归纳法得到数列的通项公式 但是无法用前面学过的方法进行严格证明援 设计意图 设置具体问题 体现出用现有的方法 不能证明涉及一切正整数都成立的命题 从而需要研 究新的证明方法 即解决了学习数学归纳法的必要性援 2 分析问题 引导学生回顾刚才 找到 数列通项公式 an 1 n n沂N 的过程 a2 1 2 由 a2及递推关系 a3 1 3 a3 1 3 由 a3及递推关系 a4 1 4 学生不愿意一直写下去 从而归纳出式子的一般 结构特征 ak 1 k 能推出 ak 1 1 k 1 如果能够解决这个命题的证明 那么猜想 an 1 n n沂N 的问题就迎刃而解了援 设计意图 通过式子的结构特征的形式化表达 直接触碰到问题的本质和核心 开门见山 数学味浓 后面围绕着这个问题展开 自然引出本节课学习的内容援 点评 执教者通过教材前面学习过的一个具体例 子引入 从学生解决过的最熟悉的问题入手 虽然前 面已经归纳得出该数列的通项公式 但能否证明对一 切正整数都成立呢 这就在学生思维上形成认知冲突 自然引起学生的探究欲望 接着教师引导学生提炼 归纳 猜想证明数列通项公式成立的过程的一般结构特 征 如果 p k 成立 那么 p k 1 也成立援 让学生初步 感知递推的思想 形成正确的数学观 这恰好就是数 学归纳法最关键的第二步 如何证明它呢 再次激起 学生的学习兴趣 进一步增强了学生继续探索的愿望援 2 生活经验 提炼探究 1 先让学生看一段视频 展示 多米诺骨牌效 应 让学生感受到 骨牌可以全部倒下去 初步体 验递推到无穷 援 2 学生活动 截取其中一段视频来分析 让学 生观察并思考 要保证骨牌全部倒下去 需要具备哪 些条件呢 学生自由讨论援 3 师生进行对话交流 总之 要让学生探索出骨 牌全部倒下去必须具备两个条件 而且缺一不可 淤要 推倒第一张骨牌 于 如果某一张倒下 要能保证后一 张也倒下援 特别是对条件于的挖掘 要让学生尽量用 数学语言表述 如果第 k 张倒下 则要使得第 k 1 张 也倒下 即对 某一张 的任意性的挖掘 援 4 总结 只要满足这两个条件 就可以保证 骨牌可以全部倒下去 援 设计意图 方法的探究过程 来源于生活实践的 经验 开展探索和交流对话 不但使学生体会到知识 的形成过程 而且可以体会到从特殊到一般的归纳方 法援 让学生觉得非常自然 并体验到 再发现 再创 造 的快乐援 点评 教师通过生活中的 多米诺骨牌效应 让 学生继续确认从有限能够递推到无穷所需要的两个充分 条件 让学生亲身经历数学科学方法的提炼过程 方 法来源于数学实践 也服务于生活 并得到生活的验证援 3 类比规律 生成原理 1 回到一开始的数学问题 类比 骨牌可以全 部倒下去的原理 去解决猜想 an 1 n n沂N 的证明援 2 采用左右两边对照的模式 把 骨牌可以全 特 别 报 道 TEBIEBAODAO 8 圆园15 年第 4 期 部倒下去的原理 摆在左边 先让学生类比左边把右 边的 an 1 n n沂N 翻译出来 再逐步深入 具体一句 句剖析 目标是突出第二步 假设 的作用及第二步 的本质是一个命题 最后再回顾解题过程 进行归纳 总结 水到渠成地得出数学归纳法原理 方法 援 类比 骨牌可以全部倒下去 相当于 猜想对一 切正整数都成立 淤 要推倒第一张骨牌 相当于 当 n 1 时 猜 想 a1 1 1 成立 于 如果第 k 张倒下 则能保证第 k 1 张也倒下 相当于 假设当 n k 时猜想成立 能推出当 n k 1 时猜想 n沂N 也成立 根据淤和于知 骨牌可以全部倒下去 相当于 根据淤和于知 对于一切 n沂N 猜想都成立 援 设计意图 这一环节是本节课的重中之重 如何 能从骨牌原理中自然流畅地得出问题的解答 应当是一个 出彩点 所以这一环节要做得细致 特别是证明第二步 这个命题时 要留足时间让学生思考 力争突破难点援 点评 教师在这一环节中通过类比 多米诺骨牌 效应 提炼出 方法 的两个条件 将前面提出的数 学问题进行完全证明 是否可行 关键在于第二步这 个命题是否成立 需要证明它为真 这样才能保证一 直能够递推下去援 这需要考量教师的教学智慧 此时 教师恰时恰点地指导至关重要 这样才能突破难点 浸润递推思想 让学生真正理解方法的本质援 4 小结原理 初步剖析 1 结合具体问题的证明过程 让学生归纳出数 学归纳法的原理 在证明某些与正整数 n 有关的命题 时 可以采用以下两个步骤 淤 证明 当 n 1 时 命题成立 于 证明 假设当 n k 时命题成立 那么当 n k 1 时命题也成立援 完成这两个步骤以后 那么就可以断定命题对于 任何正整数 n 都成立援 2 设置问题串 结合框图 逐层剖析 突破 难点 淤 数学归纳法的适用范围是什么 于 第一步的作用是什么 盂 第二步的作用是什么 榆 揭示第二步的本质 它是一个命题 条件 是 什么 结论 是什么 加上 k 的任意性 所以第二步 本质上是证明递推性援 虞 强调两步缺一不可 最后 下结论 援 对数学归纳法剖析的框图如下图所示 1 验证 当 n 1 时 命题成立 2 证明 假设当 n k 时命题成 立 那么当 n k 1 时命题也成立 结论 对一切正整数 n 命题都成立 两者缺一不可 归纳奠基归纳递推 设计意图 本环节应该是本节课浓墨重彩的一 段 如何突破难点 是本节课的重中之重 所以要有 层次感 要抽丝剥茧 逐步深入 直到揭示出定义的 本质 问题串 的设置及结合具体数学问题与骨牌进 行剖析应该是一个较好的突破口援 点评 教师引导学生类比骨牌对具体数学问题进 行证明 从证明过程中归纳出数学归纳法原理的形式 化表达援 然后设置问题串 抓住学生思维的起点 引 领学生深入思考 再结合框图 逐层剖析 让学生明 白第一步是证明奠基性 第二步是证明递推性 这样 既突破了难点 又突出了重点援 5 典例精析 评析强化 例 1用数学归纳法证明 如果 an 是一个等差数 列 那么 an a1 n 1 d 对一切 n沂N 都成立援 1 先回顾前面 找到 an a1 n 1 d 的过程 不完全归纳法 援 设计意图 回顾不完全归纳法得出的结论不一定 正确 从而引出必须用数学归纳法进行 补救性 证 明的必要性援 2 请学生来分析题意及解题步骤 主要是让学 生明白接下来要证明的目标是什么 关键是证明第二 步的命题 条件是什么 结论是什么援 3 学生活动 先给五分钟左右的时间让学生做 教师进行巡视 寻找一些解题中出现代表性错误的学 生 如 未写淤于的 忽视第一步的 第二步未写 假设的 第二步未用假设的 等 为后面的点评做准备援 特 别 报 道 TEBIEBAODAO 9 圆园15 年第 4 期 4 可考虑多角度 多方式进行展示 例如 让学 生上台板演和把学生的解题过程进行投影相结合 并 做好追问和点评 总而言之 目的是在应用中深化对 方法的理解 特别是对第二步的理解援 5 最后 让学生归纳小结出解题步骤 力争做 到程序化 这样知识方法就具有迁移性援 设计意图 先让学生去应用 展示学生对知识 理解的原始状态 教师再进行有方向的引导 这样 既强调了学生的主体地位 又突出了教学具有针对 性 而且也体现了对知识方法的理解是一个螺旋上 升的过程援 6 反例辨析 深化理解 辨析 1 下面是某同学用数学归纳法证明命题 2 4 6 2n n2 n 1 n沂N 的过程 证明 假设当 n k k沂N 时 等式成立 即 2 4 6 2k k2 k 1援 则当 n k 1 时 2 4 6 2k 2k 2 k2 k 1 2k 2 k 1 2 k 1 1 即当 n k 1 时 等式也成立援 根据淤和于知 对于一切 n沂N 等式成立援 你认为他的证明过程正确吗 为什么 设计意图 由于缺少第一步 未证明奠基性 所 以不符合数学归纳法的要求 从而小结 找准起点 奠基要稳 辨析 2 下面是某同学用数学归纳法证明命题 1 3 5 2n 1 n2 n沂N 的过程 证明 1 当 n 1 时 左边 越 1 右边 越 1 等式 成立援 2 假设当 n k k沂N 时 等式成立 即 1 3 5 2k 1 k2援 则当 n k 1 时 1 3 5 2k 1 2k 1 1 2k 1 k 1 2 k 1 2 即当 n k 1 时 等式也成立援 根据淤和于知 对于一切 n沂N 等式成立援 你认为他的证明过程正确吗 为什么 若不正确 该如何修改 设计意图 由于第二步未用 归纳假设 所以 就没有证明到递推性 因此也不符合数学归纳法的要 求援 从而小结 用上假设 递推才真援 最后小结 两个步骤 缺一不可援 从而得出数学 归纳法的实质 第一步是为命题成立提供了一个可靠的基础 第二步是在第一步基础上证明命题成立具有递推 性 以逻辑的推理代替了无限的验证过程 这样建立起一个无穷递推机制 间接地验证了 命题对所有正整数都成立 从而实现了有限到无限的 飞跃 点评 教师选择学生熟悉的问题作为例题 容易 激发学生的挑战欲望 让学生运用数学归纳法尝试证 明等差数列的通项公式 这样既可以帮助学生熟练运 用数学归纳法去解决问题 又可以检查学生对数学归 纳法的理解程度 特别是学生在解决问题的过程中必 然会出现各种各样的错误 此时教师恰好利用这些错 误帮助学生进一步深刻理解数学归纳法的本质 教师 的小结也道出了数学归纳法的真谛 找准起点 奠基 要稳 用上假设 递推才真 两个步骤 缺一不可援 7 盘点收获 梳理小结 1 通过本节课的学习 我们发现 归纳并运用 了一种新的证明方法 数学归纳法援 结合以下几个 问题 谈谈你的收获和体会援 淤 数学归纳法的内容是什么 你是怎么理解的 于 我们是怎么发现和归纳出这种方法的 盂 你觉得数学归纳法可以有哪些变式 例如 n 一定要从 1 开始吗 等等 榆 你认为需要继续与同学或教师探讨的问题是 什么 2 最后 教师画龙点睛 归纳出一首打油诗 让学生齐声朗读 整数命题问解法 奠基递推融归纳 两步一论化 无穷 方法思想行天下援 这首诗将本节课推向高潮 在学生的惊叹声中结 束本节课的学习援 设计意图 结合具体问题来谈收获和体会 有的 放矢 让学生回顾本节课的知识和方法 最后画龙点 睛 在琅琅的诗歌声中结束本节课 余味无穷援 点评 本小结既让学生明白数学归纳法的内容 又让学生知道数学归纳法的发生 发展过程 还让学 生了解数学归纳法的其他变式 提出一些仍不理解的 问题 最后让学生在琅琅的诗歌声中结束本节课学习 特 别 报 道 TEBIEBAODAO 10 圆园15 年第 4 期 带着希望和更深的问题走出教室援 8 分层作业 巩固拓展 1 基础作业 普通高中课程标准实验教科书 数学 选修 2 2 第 132 页 习题 6援 2 提高作业 已 知 数 列 1 1 伊 4 1 4 伊 7 1 7 伊 10 1 3n 2 3n 1 设 S n为数列前 n 项和 计算 S1 S2 S3 S4 根据计算结果 猜想 Sn的表达式 并 用数学归纳法进行证明援 设计意图 采用分层作业 使 人人都能获得良 好的数学教育 不同的人在数学上得到不同的发展 援 基础作业是帮助学生巩固基础知识和基本技能的 提 高作业是为学有余力的学生设置的 主要是培养学生 的综合运用能力 凸显 归纳 猜想 证明 解决问 题的思路 为后续的学习做准备援 教学反思 2014 年全国高中数学青年教师优秀课展示与培训 活动于 2014 年 12 月 8 日在山城重庆圆满落幕 作为 唯一一堂现场展示观摩课 数学归纳法 的教学过 程和教学设计 引起了听课教师的较大反响援 中国教 育学会中学数学教学专业委员会理事长 本次活动学 术委员会主席章建跃博士做了现场点评援 1 引入问题新颖别致 有数学味 好的开头是成功的一半援 如何引出问题 这值得我 们认真思考援 是开门见山式 情境引入式 还是温故知 新式 这要由所选择的课题及内容来决定援 本节课定位 为方法思想课 为什么要引入这种方法 引入新方法的 必要性 这是我们首先要面对的问题援 本节课通过 设置具体问题猜想 an 1 n 对一切正整数都成立 蓸蔀 体 现出用现有的方法不能证明涉及任意自然数都成立的 命题 从而需要研究新的证明方法援 再引导学生反思 猜想过程 通过式子的结构特征的形式化表达 直接 触碰到问题的本质和核心 从而开门见山地提出所要 解决的问题 然后围绕着这个问题展开 自然引出本 节课学习的内容援 这样做别开生面 数学味道浓 学 生学习新方法的热情和积极性高涨援 章建跃博士评价 90 的教师都没有这么做过 这样做体现出了代数的 力量 这与章建跃博士一贯倡导的 发挥数学内在的 力量 着眼于学生的长远利益 的观点不谋而合援 2 归纳方法细致自然 水到渠成 一种新的方法不是从天而降的 而是根植于人们 平时的数学实践与生活经验中的援 本节课首先由一段 多米诺骨牌的视频入手 让学生从熟悉的生活经验中 去汲取思维的灵感 从而提炼出 骨牌全部倒下去 的两个条件 再让学生类比多米诺骨牌的原理 亦步 亦趋地去解决对一切正整数都成立的证明 这一环节 是本节课设计的重中之重 如何能从骨牌原理中自然 流畅地得出问题的解答 这需要考验教师的教学智慧 这一环节应当是一个出彩点 最后再由这个具体问题 的解决 上升到一般的对一切正整数都成立的命题的 证明 数学归纳法援 所以这一环节要做得细致自然 方法的探究过程 来源于生活实践的经验 开展探索 和对话交流 逐步抽象为数学表达形式 不但使学生 体会到知识的形成过程 而且体会到从特殊到一般的 归纳方法援 让学生觉得非常自然 并体验到 再发现 再创造 的快乐援 3 方法本质剖析到位 突破难点 很多教师在教授 数学归纳法 时都有这种经验 学生用数学归纳法解题时总是在依葫芦画瓢 但是对 为什么要 归纳假设 为什么要用 归纳假设 都 没能深入理解 甚至于对数学归纳法的可靠性都表示 怀疑援 这是本节课的难点 所以在这里浓墨重彩 设 置问题串 逐层深入 抽丝剥茧 直到揭示出方法的 本质 章建跃博士指出第二步的本质就是证明一个命 题 以当 n k 时命题成立为条件 去证明当 n k 1 时命题也成立的结论援 这样就深化了对数学归纳法的 理解 而且也为下面的解题教学 即方法的应用 埋 下了伏笔 学生非常明确所要解决的问题是什么援 这 一环节也是本节课的一大亮点 对很多教师也应该有 借鉴意义援 4 解题教学层次清晰 评析透彻 如何进行解题教学 这也是中学数学教学面临的 一大难题援 首先 例题的选择就非常考究 本节课选 择从学生最熟悉的等差数列的通项公式入手 之前我 们只是 找到 其通项公式 但未给出其严格的证明 特 别 报 道 TEBIEBAODAO 下转第 24 页 11 圆园15 年第 4 期 这样学生就有挑战的欲望 而且也想试试新方法是否 可行 接着请学生来分析题意及解题步骤 主要是让 学生明白接下来要证明的目标是什么 关键是证明第 二步的命题 条件是什么 结论是什么 然后是学生活 动 先给五分钟左右的时间让学生做 教师进行巡视 寻找一些解题有代表性错误的学生 为后面的点评做 准备 最后 让学生上台板演和把学生的解题过程进行 投影相结合 并做好追问和点评援 总而言之 目的是 在应用中深化对方法的理解 特别是对第二步的理解 最终做到让学生归纳小结出解题步骤 力争做到程序 化 这样知识方法就具有迁移性援 这样做展示出学生对 知识理解的原始状态 教师再进行有方向的引导 既强 调了学生的主体地位 又突出了教学具有针对性 而 且也体现了对知识方法的理解是一个螺旋上升的过程援 当然 本节课的教学也有很多值得商榷和改进的 地方援 章建跃博士也提出了一些非常有见地的意见 引起了同行们的思考和共鸣援 例如 如何体现出学生的 主体地位 教师应该讲多少更合适 如何落实面向 全体学生 是否有人举手就喊他回答问题 如何评 价学生作业 教师直接修改好不好 总之 通过本次大赛的磨练 特别是章建跃博士 的精彩点评 让笔者受益匪浅 这是一笔宝贵的人生 财富 需要慢慢消化和认真反思援 在此 特别感谢人 民教育出版社资深专家章建跃博士的亲自指导 特别 感谢重庆市教育科学研究院张晓斌老师的指导和帮助 还要感谢学校教研组全体同仁的辛苦付出和无私帮助 参考文献 1 华罗庚 数学归纳法 M 上海 上海教育出 版社 1965 行思考 通过举反例获得了一致的否定性结论 问题 5 和问题 6 是训练学生对 数学符号刻画 的形象思维 同时让全班学生用挑剔的眼光看待由学生自主对问题 5 和问题 6 的回答 这里的辨析是在培养学生的质疑精 神 全体学生是用批判性思维既审视他人的结论 又检 验自己的学习效果 可以说教师用足了学生关于函数单 调性认知的最近发