《电动力学》习题解答7------带电粒子与电磁场相互作用.pdf

电动力学 习题解答 7 带电粒子与电磁场相互作用 1 1 一质量为m 电荷量为q的粒子以速度v v 从一电荷量为 1 q的静止点电荷旁边 飞过 瞄准距离为a 假设运动粒子的速度v v 很大 但 cv v 可以认为基本上 不偏离直线运动 而且其速度大小也基本上不变 试计算运动粒子因电磁辐射而 损失的能量 解 带电粒子以加速度a v 运动时 其辐射功率为 3 2 2 2 2 3 0 2 1 6 c v c av a c q P vv v 1 因为cv v 粒子因辐射而引起的能量变化率为 3 0 2 2 6c aq P dt dE v 2 在距离为r v 处 粒子由于受到 1 q的作用而产生的加速度为 r e mr qq m F a v v v 2 0 1 4 3 其中 r e v 是从 1 q到q方向上的单位矢量 将 3 式代入 2 式 42 3 0 3 2 1 4 4 2 0 3 0 2 1 4 43 2 46rmc qq rmc qq dt dE 4 依题意有 222 xar 5 22 ar r v v r x dt dx dx dr dt dr 6 又 22 ar r v dr dE dt dr dr dE dt dE 7 结合 4 式和 7 式有 223 23 3 0 2 1 4 22 42 3 0 3 2 1 4 1 43 2 43 2 arr vmc qq arv r rmc qq dr dE 8 积分上式 323 3 0 2 1 4 223 23 3 0 2 1 4 46 43 2 vamc qq arr dr vmc qq EE aa 9 粒子因电磁辐射而损失的能量为 电动力学 习题解答 7 带电粒子与电磁场相互作用 2 323 3 0 2 1 4 46 vamc qq EEE a 10 如果粒子从 来到 去 整个飞行过程中的能量损失为 323 3 0 2 1 4 223 23 3 0 2 1 4 2 43 43 2 vamc qq arr dr vmc qq EEE 11 讨论 因为q的速度v v 的大小和方向都可以看成是不变的 所以q至 1 q的距离可 以写成为 222 tvar 12 因此对 4 式直接积分可以能量损失 例如从 到 整个飞行过程中的能量损失为 vmca qq tva dt cm qq E 2 3 0 2 1 4 2 222 32 3 0 2 1 4 2 43 43 2 13 电动力学 习题解答 7 带电粒子与电磁场相互作用 3 2 根据经典模型 氢原子中的电子因受到氢原子核库仑力的作用而环绕核运动 其速度比光速小很多 设电子的质量为m 电子的电荷量为e 氢原子核的电 荷量为e 开始 0 t时电子的轨道半径为 0 a 且辐射阻尼力比库仑力小很多 求 1 电子因加速度而产生的辐射功率 2 假定辐射能量来源于电子的动能和系统的势能 试求电子轨道半径r 与时间t的关系 3 已知maCekgm 11 0 1931 103 5 106 1 101 9 试计算电子轨 道半径从 0 a减小到零所需要的时间 解 1 因氢原子核的质量比电子大很多 故可以认为氢原子核不动 而电 子则以速度v v 和加速度a v 环绕氢原子核运动 电子的辐射功率为 3 2 2 2 2 3 0 2 1 6 c v c av a c e P vv v 1 因为cv 于是得到 33 2 2 0 2 Rc e m T 10 代入数据得 sT 7 109 6 即 需要 7 109 6 s才能辐射出足够的能量达到基态 电动力学 习题解答 7 带电粒子与电磁场相互作用 7 4 一静质量为 0 m 电荷量为q的相对论粒子 在磁感应强度为B v 的磁场中作回 旋运动 由于发出辐射 它逐渐失去能量 设开始时 它的能量为 0 E 试求它 的能量E 轨道半径R以及回旋角频率 与时间t的关系 解 粒子的能量为 2 2 2 02 1 c v cm mcE 1 其运动方程为 qvB R v mma 2 2 它发出的辐射的功率为 3 2 2 2 2 3 0 2 1 6 c v c av a c q P vv v 3 因为粒子作回旋运动 即av vv 故 2 2 2 2 a c v c av vv 4 2 2 2 2 3 0 2 1 6 c v a c q P 5 根据能量守恒有 2 2 2 3 0 22 16 c v c aq P dt dE 6 结合 1 2 式有 42 0 2 24 22 42 2222 2 2 2 2 222 2 2 2 2 0 0 1 1 1 cmE cm Bq cm vEBq c v m vBq c v a 7 电动力学 习题解答 7 带电粒子与电磁场相互作用 8 42 0 2 54 0 24 0 6 cmE cm Bq dt dE 8 t cm Bq dt cm Bq cmE dE tE E54 0 24 054 0 24 42 0 2 00 0 66 9 而左边积分得 2 00 2 00 2 0 2 0 2 0 42 0 2 ln 2 1 0 cmE cmE cmE cmE cmcmE dE E E 10 结合 9 10 式得E与时间t之间的关系 33 00 24 33 00 24 32 00 2 00 32 00 2 002 0 cm tBq cm tBq ecmEcmE ecmEcmE cmE 11 由 1 2 式得轨道半径R 42 0 2 1 cmE qBcqB mv R 12 由 2 式得回旋角频率为 E qBc m qB R v 2 13 t时 2 0c mE 0 0 m qB R 结果表明 粒子最后趋于静止 电动力学 习题解答 7 带电粒子与电磁场相互作用 9 5 一电子 静止质量为m 电荷量为e 在一个垂直于均匀磁场的平面内运动 如果由辐射引起的能量损失可以忽略 则轨道便是个半径为R的圆 设E是电子 的总能量 考虑到相对论运动学 因而 2 mcE 4 用 上 述 参 数 表 示 出 所 需 要 的 磁 感 应 强 度B v 若 eVEcmR 9 105 2 30 试计算B v 的大小 5 电子之所以辐射电磁能量 是因为电子被磁场B v 被加速 但是可以假 定每走一圈的能量损失E 与E相比很小 试用以上参数表示出比率EE 并由前面给出的R和E计算出比率的值 解 1 电子的运动方程为 Bve dt pd v v v 1 式中 vmp vv 2 2 2 1 1 c v 3 依题意 粒子作匀速圆周运动 即v v 是常量 故 R v dt vd 2 v 4 则 1 式可以变成 evB dt vd c v m v 2 2 1 5 结合 4 5 式有 eR p eR c v mv B 1 1 2 2 6 422 cmEpc 7 电动力学 习题解答 7 带电粒子与电磁场相互作用 10 由 6 7 得 T ceR E ceR cmE B28 0 422 8 2 当v dt vd a v v v 辐射功率为 4 4 2 2 0 4 2 3 2 0 4 3 2 2 0 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 c v R ce dt vd c e c ae P v 9 2 mc E Q 10 4 2 4 2 2 0 3 2 4 1 mc E c v R ce P 11 在一周内辐射的能量为