高中数学教学论文 例说构造“载体”在数学解题中的应用.pdf

例说构造 载体 在数学解题中的应用 例说构造 载体 在数学解题中的应用 数学知识之间是有紧密联系的 这就要求我们在解决数学问题时要有开阔的眼界 要善于利 用各种已学的知识 有时为了解决某个问题 不妨利用看似与其完全无关的其它数学知识当 载体 往往可以漂亮地解决某些棘手的问题 给人以耳目一新的感觉 现举几例 来说 明构造 载体 的独特功效 一 构造图形载体 根据问题条件中的数量关系的几何意义 以某种方式构作图形 将题设中的数量关系以形象 直观的方式直接在图形中得到体现 转而利用几何性质使问题得到解决 例 1 已知 0 x 1 0 y 1 0 z 1 求证 分析 本题局限在代数不等式范畴不易求解 但如果将题 目中的式子赋予 形 的载体 则问题迎刃而解 证明 构造一边长为 1 的等边 ABC 取 AB BC CA 上各一点 D E F 并令 AD x BE y CF z 其中 0 x 1 0 y 1 0 z 1 则 S ADF S BDE S CEF S ADF S BDE S CEF S ABC 即成立 例 2 在三棱锥中 PA PB PC 两两垂直 在底面 ABC 内有一点 M 点 M 到面 PAB 面 PBC 面 PAC 的距离分别为 1 2 3 求点 P 到点 M 的距离 分析 乍一看题目挺复杂 辅助线也要添好几条 给人很不舒服的感觉 但如果构造长方体 作载体 则点 M 到面 PAB 面 PBC 面 PAC 的距离分别成为长方体从同一顶点出发的 三条棱 而所求 PM 长即为长方体的体对角线 问题马上明朗化了 解 不妨构造长方体 1 长方体从同一顶点 M 出发的三条棱长分别为 1 2 3 所求结果为 PM 评注 构造图形载体能使模糊的题目变得清晰和明朗 给人酣畅淋漓的感觉 当然 是构造 平面图形作载体还是立体图形作载体 得视具体题目而定 二 构造数列载体 相当多的数学问题 尤其是证明不等式 尝试一下 构造数列 能产生意想不到的效果 例 3 已知求证 分析 此题证法很多 可以采用比较法 分析法 综合法等 但总给人感觉落了俗套 观察 式子的结构 频频出现的形式 让人不觉联想起无穷项等比数列的求和公式 若 则 于是尝试后构造等比数列作载体来求解 证明 同理 评注 实际上 如果题目需要 等差 等比数列的通项公式或求和公式都可以被当作载体来 用 三 构造向量载体 自从向量进入了高中教材之后 它的工具性的特点越来越明显了 代数 几何中的很多问题 都可以利用向量这一工具作载体来解决 例 4 求证不等式 分析 如果直接两边平方展开将会陷入复杂的计算泥潭中 分析后发现原式左边的结构与向 量的数量积公式中的有雷同之处 于是构造向量作载体 问题即可解决 证明 设 2 则 恒成立 也成立 评注 实际上 将上式拓展后就成为证明成立的问题了 即证明样本相关系数 这显然是正确的 四 构造排列组合载体 排列组合中有很多经典的模型 如果将其运用到其它知识中 那就实现了 建模 学会 建 模 也是新教材对学生能力的一个重要要求 例 5 求方程有多少组正整数解 分析 直接求解情况比较复杂 但如果构造一排列组合模型作载体 题目本质没有改变 而 求解却方便多了 解 原题可等价翻译为 将 6 个形状 大小 颜色完全相同的球放入四个不同的盒子中 每 盒至少一个 共有多少种放法 一种放法对应着方程的一组解 反之 方程的任一组正整数 解也对应着球在盒中的一种放法 于是采用 隔板法 即 6 个球之间有 5 个空挡 从中选 出 3 个空挡来放入隔板 共有种放法 即原方程有 10 组正整数解 评注 如果将原题改为 有多少组非负整数解 则可构造如下排列组合模型 从 6 个球 和 3 块隔板组成的 9 个位置中选 3 个放入隔板 有几种放法 显然答案为种 五 构造函数载体 所谓构造函数 就是从问题本身的特点出发构作一个新的辅助函数 再利用函数的性质去求 得问题的解决 很多数学命题要么难寻入口 要么繁冗复杂 若巧妙利用函数作载体 会使 解答别具一格 例 6 已知 求证 分析 此题是一道不等式证明题 变量较多 难以突破 但如果寻找一主元 并以其为自变 量构造一个二次函数作载体 情况就不一样了 证明 要证原不等式 只要证 不妨以为主元构造二次函数 3 此函数开口向上 其判别式0 故其图象在轴上方或轴上 显然 即成立 也即原不等式成立 例 7 由 10 个元素组成的集合 M 1 99 0 25 19 11 记 M 的所有非空子集为 M 每一个 M中所有元素的乘积为 且 求 分析 此题如果把它纯粹当作集合题来做 考虑情况太多 而且很容易重复或遗漏 但观察 到所求结果无非是所有单元素集合 两元素集合 三元素集合 十元素集合的元素的乘积 很有规律 不妨构造一个 10 次函数作载体 我们可以控制这个函数 让其展开式和所求答 案建立起一一对应 解 设集合 M 中 10 个元素分别为 构造函数 则就是所有单元素集合中元素之和 是所有两元素集合中元素乘积之和 是 十