华理高数答案第4章.pdf

49 第第 4 4 章章 之 之 1 1 第第 1818 次作业次作业 教学内容教学内容 4 1 1 函数的单调性 4 1 2 函数的极值 1 填空题 1 3 3sin 3 1 sin axxxaxf则处有极值在若 答 2 2 的单调减少区间是xxy 答 4 1 0写开区间也可以 2 选择题 1 上有内则在且上可导在区间设 baxgxfbaxgxf g 0 0 aafxgxfDbgbfxgxfC xgxfBxgxfA 答 D 2 之值为则常数处有极值在已知baxbxaxxxf 21 23 2 0 3 0 1 1 1 2 baDbaC baBbaA 答 C 3 00 处必有在处连续且取得极大值则在点函数xxfxxxfy 或不存在 且 0 0 0 0 0 000 00 xfDxfxfC xfBxfA 答 D 3 求下列函数的单调区间 1 的单调区间求函数 x xy 6 2 解 函数在及内连续 00 y x x 23 3 2 解得驻点 x 3 3 x 0 3 0 3 3 3 3 3 y 0 y 50 3 0 0 3 33 单调减区间为函数的单调增区间为 2 的单调区间求函数 3 22 1 5 xxy 解 1 13 2 1 5 8 3 x x xx y 内连续 函数在 不存在 时 而当 得 令 yxxxy 1 2 1 50 21 x 1 1 2 1 1 2 1 5 2 1 5 5 y x 0 0 y 5 1 5 1 2 1 2 1 单调减区间为函数的单调增区间为 4 证明下列不等式 1 x xx 1 321 时 证明当 证明 令f xx x 23 1 fx xx 11 2 f x xfxf x 在 上连续 当时 故在 上单调增 1 101 当时恒有xf xf 110 即23 1 x x 2 当eab 时 ab ba 解 设 axxaaxxf lnln x aax x a axf ln ln 1ln aea 当ax 时 0 x f eab 时 afbf 0lnln baab ab ba 3 当 2 0 x时 xxx2sintan 解 设 xxxxf2sintan 2cossec2 xxxf 2 00 cos coscoscos1 cos cos2cos1 2 43 2 2 2 23 x x xxx x xx 51 00 fxf 即 xxx2sintan 5 求下列函数的极值 1 3 2 1 xxxf 注 本题说明讨论极值时不可忽略导数不存在的点 解 3 1 3 1 3 2 3 2 3 5 3 2 3 5 x x xxxf 令 0 x f 得驻点 5 2 x 及不可导点为0 x 当0 x时 0 f 当 5 2 0 x时 0 f 当 5 2 x时 0 f 0 x时 xf取极大值0 5 2 x时 xf取极小值 3 2 5 2 5 3 2 xxxfcos42cos2 解 xxxfsin42sin22 令 0 x f 0sin4cossin24 xxx 0sin x或 2 1 cos x nx Znnx 4 2 又 xxxfcos42cos24 而 0 nf 0 4 2 nf 极大值 242 nf 422 nf 极小值22 4 2 nf 6 设 xf在 0 x的某邻域内具有n阶连续导数 且 0 0 1 0 xfxf n 而 0 0 xf n 试证明 当n为奇数时 0 xf不是极值 当n为偶数时 若 0 0 xf n 或0 则 0 xf是极大值 或极小值 证 xf在 0 x的某邻域内具有n阶连续导数 由1 n阶泰勒公式 52 n n n n xx n f xx n xf xxxfxfxf 0 1 0 0 1 000 1 n n xx n f xf 00 在 0 x与x之间 不妨设 0 0 xf n 根据连续函数的局部保号性定理 可知存在 0 x点的某个邻域 0 xN 当x在该邻域内时总有有 0 xf n 由于 在 0 x与x之间 可知 也必然在该邻域内 所以 有 0 n f 于是 n为奇数时 只要 00 xxx 就有 000 xfxx n f xfxf n n 当 00 xxx 时 000 xfxx n f xfxf n n 0 x不是极值点 当n为偶数时 只要 0 0 xx 就有 000 xfxx n f xfxf n n 0 xf为极小值 第第 4 4 章章 之 之 2 2 第第 1919 次作业次作业 教学内容教学内容 4 1 3 最大值与最小值 4 1 4 方程根的个数 1 内 在方程 10 013 3 xx 有三个实根 有两个实根 有唯一实根 无实根 DC BA 答 B 2 求函数xxy 1在指定区间 1 5 上的最大值和最小值 解 x x x y 12 112 12 1 1 临界点为 4 3 x 1 x 考虑 4 5 4 3 1 4 3 4 3 y 11111 y 在端点处 655155 y 11 y 53 最大值为 4 5 4 3 y 最小值为 655 y 3 求函数在时的最大值 最小值yxxx 2 3210 解 由于所给函数与函数 222 23 xxyg 有相同的最大值与最小值点 得令 而 2 3 210 32 23 2 321 2 xxx dx dg xxx dx dg 原来函数值 故所给函数的最大值为 yyy yy y 120 3 2 1 4 101321072 10132 最小值为yy 120 4 设 0 0 2 aaA 在心形线 cos1 a 的第一象限部分上找一点P 使 OPA 的面积最大 解 由于线段aOA2 为一个确定的值 所以本问题本质上是求P点纵坐标 2 0 sin cos1 ay 的最大值 1coscos2 2 a d dy 令0 d dy 可得 2 0 上的唯一驻点 3 根据实际意义可知 所求之点就是对应于 3 的点 4 33 4 3 aaP 5 欲造一个有上 下底的圆柱形铁桶 容积为定值V 试问当铁桶的底半径R和高度H取 何值时 才能使用料最省 解 所需材料为HRRA 22 2 定值HRV 2 2 R V H R V R R V RRA 2 222 2 2 2 54 2 3 2 242 4 R VR R V RA 得到唯一驻点 3 2 V R 此时 3 3 2 2 42 V V V R V H 根据问题的实际情况 当 3 2 V R 3 4 V H 时 所需材料最省 6 在铁道线 假设是直线 上有一点A与原料供应站B相距km100 在铁道线外有一 应选在何处问省运货到工厂所用运费最原料供应站 使向工厂修建一条公路之间选一点现准备在 元 的运费为 火车 元 已知汽车运费为相距且如图垂直于且工厂 20 DB DBAnm kmt n kmt m kmACABCAC 解 100 400 2 xBDxCDxAD 则设 1000 100 400 2 xxnxmy 于是总运费 22 2 2 20 0 400 400 nm n xy x xnmx y 得唯一驻点 令 0 400 400 2 3 2 x m y 可见 在距 点处 修公路至 可使总费用最省 A n mn kmC 20 22 7 64 8 0 8 8 0 2 BAOABxyxy 这里围成的曲线边三角形由 使得过上求一点在曲边 OB所围成的的切线与此点所作的ABOAxy 2 三角形 面积最大 解 则过该点的切线为 上任取一点为设曲边 80 2 xxxMOB 2 2 xXxxY 55 80 16 4 8 2 2 8 2 1 8 28 8 0 2 22 2 xx x xxx x S PAQ xxxQx x Px 的面积为 于是所围的三角形 的交点与 轴的交点切线与 唯一驻点 3 16 316 16 4 1 6416 4 3 2 xxxxxS SxS x 3 2 160 16 3 大处作切线 所围面积最 在点 9 256 3 16 8 讨论方程05 5 Cxx实数根的个数 解 设 Cxxxf 5 5 则 xf在 上可导 且 1 5 4 xxf 当 1 x 时 有 0 x f 所以 xf 当 1 x 时 有 0 x f 所以 xf 所以 xf 有极大值 4 1 Cf 和极大值 4 1 Cf 由于还有 ff 所以综合起来有 当 4 C 时 方程有三个实数根 当 4 C 时 方程有两个实数根 当 4 C 时 方程有一个实数根 第第 4 4 章章 之 之 3 3 第第 2020 次作业次作业 教学内容教学内容 4 2 函数的凸性与拐点 1 填充题 1 曲线 xxysin321 的拐点是 答案 3 2 1 0 21 nnn 2 31 23 babxaxy则数组为拐点 以点设曲线 2 9 2 3 答 ba 3 xxfarctan 是区间 上的凸函数 是区间 上的凹函数 答案 0 0 说明 也可以填 0 0 56 2 选择题 1 在定义区间内函数112 3 xxy 是凸函数 是凹函数 单调减少 单调增加 DC BA 答 A 2 近邻是 在点曲线 21 ln 42 2 ee Pxxy 右侧的近邻凸 左侧近邻凹 右侧近邻凹 左侧近邻凸 凹的 凸的 D CBA B答 xxxy ln2 01 1 21 3ln2 242 连续 在 e y ee xy根据连续 函数的局部保号性可得结论 3 的拐点情况是曲线 2 x ey 有三个拐点 有两个拐点 有一个拐点 没有拐点 DC BA 答 C 3 求函数 2 1lnxy 的凸凹区间和它图形上的拐点 解 2 2 1 2 1ln x x xy 2 2 2 2 2 2 1 22 1 2212 x x x xxx y 当1 x或1 x时 0 f 当11 x时 0 f 函数在区间 1 1 上是凸函数 在区间 1 1上是凹函数 其图形上的拐点为 2ln 1 2ln 1 4 试决定常数k的值 使曲线 2 2 3 xky在拐点处的法线通过坐标原点 解 xxky232 2 334 2 xky 令10 xy ky4 此时 ky8 过拐点处的法线为 1 8 1 4 x k ky 或 1 8 1 4 x k ky 将 0 0 yx代入 解得 8 2 k 57 5 证明 无论实数ba 取何值 曲线 baxxxy 35 103的三个拐点总在同一条直 线上 证明 1 1 606060 3015 324 xxxxxyaxxy 当 1 x 或 10 x 时 0 y 当 01 x 或 1 x 时 0 y 所以曲线有三个拐点 7 1 0 7 1 babba 它们都在直线 bxay 7 上 6 若0 0 00 xfxf 证明 点 00 xfx 必是曲线 xfy 的拐点 证明 不妨设 0 0 x f 由三阶导数的定义可知 0 lim lim 0 0 0 0 00 xf xx xfxf xx xf xxxx 再根据局部保号性定理可知 0 当 0 0 xx 时 x f 与 0 xx 同号 可 知点 00 xfx 确是曲线 xfy 的拐点 第第 4 4 章章 之 之 4 4 第第 2 21 1 次作业次作业 教学内容教学内容 4 3 1 曲率的概念 4 3 2 曲率的计算公式 4 3 3 曲率半径 1 处的曲率为 在点曲线 3 4 2 aaxaxy aD a CaB a A2 2 1 1 答 C 2 填充题 1 曲线 2 2x exy 在点 1 0 处的曲率 K和曲率半径 R 答 4 1 4 RK 2 抛物线34 2 xxy在其顶点处的曲率 K和曲率半径 R 答 2 1 2 RK 3 椭圆44 22 yx在点 2 0 处的曲率 K和曲率半径 R 答 2 1 2 RK 58 3 求曲线 0 cos1 sin a tay ttax 在 2 t对应点处的曲率和曲率半径 解 t t ttad tad y cos1 sin sin cos1 3 222 2 cos1 sincoscos cos1 cos1 sincos1cos sin cos1 sin ta ttt ta t ttt ttad t t d y 1 2 cos1 2 sin 2 t y aa y t 1 01 100 3 2 a a y y K 4 2 11 1 1 2 3 2 2 3 2 aR22 4 求曲线2 xy 在点 1 2 处的曲率 解 x y 2 2 12 2 2 x y x y 2 1 8 44 2 3 x y x y 曲率为 55 4 2 1 1 2 1 1 2 3 2 2 3 2 y y K 5 证明曲线 0 ch a a x ay在点 yx处的曲率半径为 a y R 2 证明 a x a y a x ych 1 sh 2 2 2 3 2 ch 1 sh1 ch 1 y a a x a a x a x a K a y K R 2 1 6 求曲线 0 sin xxy上曲率半径最小的点 并求出该最小值 解 2 3 2 2 3 2 cos1 sin 1 x x y y K 显然 2 x时 分子最大 分母最小 曲线上曲率在点 1 2 处有最大值 所以在此点有 59 1 min R 第第 4 4 章章 之 之 5 5 第第 2 22 2 次作业次作业 教学内容教学内容 4 4 5 函数图形的的描绘 4 5 相关变化率 小结 1 曲线 xx x y 3 3 1 的渐近线的条数为 A 2 条 B 3 条 C 4 条 D 5 条 答 C 2 画出下列函数的图形 1 2 1x x y 解 y的定义域为 且为奇函数 2 2 2 2 2 2 1 1 1 21 x x x xxx y 令0 y 可知1 x为驻点 4 2 22 2 2 1 11412 x xxxxx y 3 2 3 2 3 3 2 33 1 332 1 26 1 4422 x xxx x xx x xxxx 令0 y 拐点为 0 0 4 3 3 x 0 10 x 1 31 x 3 3 x y 0 y 0 0 y 拐点 0 0 单调增加 凹函数 极大值 2 1 单调减少 凹函数 拐点 4 3 3 单调减少 凸函数 又0 1 lim 2 x x x 有水平渐近线0 y y 如图示 3 o 3 x 60 2 x xy 1 2 解 2 3 2 121 2 x x x xy 3 3 3 1 22 2 x x x y x 1 1 0 1 0 2 1 0 3 3 2 1 2 1 3 y 0 y 0 y 单调减少 凸函数 拐点 0 1 单调减少 凹函数 垂直 渐近线 单调减少 凸函数 极小值 3 4 3 单调增加 凸函数 y y x0 lim 0 x为垂直渐近线 1 o 1 x 3 求曲线xxxy 2 4的斜渐近线 解 x时 xxyh x y k xx 2 5 lim 5lim时 2 3 lim 3lim xyh x y k xx 所以斜渐近线有两条 25 xy 和 23 xy 4 求曲线 3 2 3 1 3 1 3 t t y t t x 的斜渐近线 解 x等价于1 t 1limlim 1 t x y k tx 1 1 33 lim lim 3 2 1 t tt xyh tx 所以斜渐近线为 01 yx 5 设球的体积以常数速率变化 证明 其表面积的变化速率与半径成反比 证 k dt dV 1 61 3 3 4 RV 2 4 RS 对 3 3 4 RV 两边求导 dt dR R dt dV 2 3 3 4 22 44 1 R k dt dV Rdt dR 对 2 4 RS 两边求导 dt dR R dt dS 8 R k R k R dt dS2 4 8 2 6 一小球从坐标原点出发 沿着曲线 xfy 0 0 0 0 xfxff 往下滚 已知其铅直速度C dt dy 为常数 求它在任一点 0 xyxM处的运动速度 与运动方向 解 由 dt dx xf dt dy 可得 1 xf C dt dy xfdt dx 所以 所以运动速度为 1 1 2 22 xf C dt dy dt dx v 而运动方向为 tanxf dx dy 注意 这里常数C必定是一个负数 7 水从底半径为 cm R高为 cm H开