许爱国_LB动理学理论与应用.pdf

1 Modeling and Simulation of Nonequilibrium and Multiphase Complex Systems Lattice Boltzmann kinetic Theory and Application Aiguo Xu1 Guangcai Zhang1 Yingjun Li2 Hua Li1 1National Key Laboratory of Computational Physics Institute of Applied Physcis and Computational Mathematics P O Box 80009 26 Beijing 100088 P R China 2State Key Laboratory for GeoMechanics and Deep Underground Engineering China University of Mining and Technology Beijing 100083 P R China Corresponding author Email Xu Aiguo Received 2013 Abstract Nonequilibrium and multiphase complex systems are ubiquitous in natural and engineering fields The Lattice Boltzmann LB method model originated from the lattice gas or automata model which was proposed to investigate complex behaviors in various complex systems The current Lattice Boltzmann Kinetic Model LBKM is rooted in the fundamental equation of the nonequilibrium statistical physics the Boltzmann equation The LB model is reviewed from a physical point of view A unified theory for the single relation time and multiple relaxation time LBKMs is presented The modeling and simulating various nonequilibrium and multiphase complex systems are introduced Firstly we briefly review the progress in modeling nultiphase flows compressible flows soild material kinetics etc Then we give more space to the progress in studying hydrodynamic interfacial instabilities combustion phenomena etc It is stressed that via the LBKM one can probe the nonequilibrium behavior through analyzing the high order moments which are macroscopic quantities The LBKM can be used to investigate the macroscopic behaviors of the system due to its deviations from the thermodynamic equilibrium which is beyond the traditional modeling based on continuum assumption Besides the deeper physical insights into the kinetic procedures such a methodology and such observations are indicative for improving the physical models from a macroscopic level Keywords lattice Boltzmann kinetic model non equilibrium effects complex systems 2 非平衡与多相复杂系统模拟研究非平衡与多相复杂系统模拟研究 Lattice Boltzmann 动理学理论与应用动理学理论与应用 许爱国许爱国 1 张广财 张广财 1 李英骏 李英骏 2 李华 李华 1 1北京应用物理与计算数学研究所计算物理重点实验室 北京 100088 2中国矿业大学 北京 深部岩土力学与地下工程国家重点实验室 北京 100083 Corresponding author Email Xu Aiguo 收稿日期 摘摘 要 要 在自然界和工程物理领域存在大量的非平衡 多相等复杂系统和复杂行为 Lattice Boltzmann LB 方法起源于复杂系统复杂行为研究的格子气或元胞自动机模型 其中 现代版的 Lattice Boltzmann Kinetic Model LBKM 植根于非平衡统计物理学的基本方程 Boltzmann 方程 本文从物理学视角评述 LB 方法 给出单松弛因子和多松弛因子 LBKM 构建的统一理论 介绍其在非平衡与多相复杂系统研究方面的应用 简 单列举 LB 在多相流 可压流 材料动理学等方面的进展 重点介绍使用 LB 研究流体界面不稳定性 燃烧等 问题的工作 本文所重点传递的信息为 可以通过宏观量研究系统的非平衡行为 可以提供系统偏离热力学 平衡引发的宏观效应是 LBKM 建模优越于宏观连续介质建模的地方 除了可以从更基本的层面理解相应物理 系统的特征 机制和规律外 这类研究结果可以为现有程序或软件中宏观模型的改进 例如修正项的构造 提供物理参考 关键词 关键词 格子玻尔兹曼 动理学模型 非平衡效应 复杂系统 中图分类号 中图分类号 O41 1 引言引言 除了日常生活中常见的各类复杂流动过程 外 工业领域存在大量的种类各异 起源不同的 非平衡与多相复杂流体系统 首先 强冲击与爆 轰产生的压强可以达到数十万个大气压 是多数 固体材料屈服应力的几十倍 当如此强的冲击波 在固体材料 包括炸药 内进行传播时 波后物 质表现出流体行为 相当一部分动力学 动理学 特征可采用流体模型来描述 由于实际材料内往 往存在着大量的孔隙 杂质 颗粒等局部微介观 结构 冲击波作用过的区域属于典型的复杂 多 相 可压流体系统 这一系统的演化涉及到高应 变率 多尺度和动态物理场 动力学非平衡和热 力学非平衡效应显著 其物理建模 模拟和分析 均具有较强的挑战性 燃烧 爆炸等化学反应过 程的介入使得系统的复杂程度进一步剧增 1 其次 在新能源领域 核聚变能在利用过程 中不会产生二氧化碳等有害物质 不存在原料问 题 不存在发生裂变的危险 是一种安全 清洁 原料蕴藏丰富 对环境污染少 能最大程度为人 类所利用的优质能源 有效利用核聚变能的前提 是实现可控的核聚变反应 为了实现这一理想 世界各国的科学家们已奋斗了大约半个世纪 提 出了多种可控核聚变模式 其中 ICF Inertial 3 Confined Fusion 惯性约束聚变 的关注度最高 2 ICF 内爆过程同时涉及多种非平衡与多相等 复杂动力学行为 其中最典型的就是三种流体界 面不稳定性及其引发的混合行为 ICF 的驱动源 可以是高强度的激光 也可以利用高强度的粒子 束 以脉冲的形式向外输出能量 作用对象是充 满氘氚燃料的球状靶丸 其基本物理图像如下 激光或粒子束均匀照射靶丸外表面 外表面的物 质由固体转变为等离子体 由此产生的高压和动 量守恒会对内部的氘氚燃料产生高强度冲击压 缩以达到聚变反应条件 在反应和放能过程中燃 料自身的惯性起到了约束燃料飞散的作用 ICF 所用的靶丸通常是由多层介质组成 在内爆过程 中产生的各种冲击波和稀疏波使靶丸内部介质 的各个界面的扰动相互耦合 烧蚀冲击波在通过 靶 丸 每 层 界 面 的 时 候 都 会 引 起RM Richtmyer Meshkov 瑞奇迈尔 莫西科夫 不 稳定性的增长 而 RM 不稳定性的发展又会带来 其它不稳定性的增长 在内爆加速阶段 轻材 料 包 层 加 速 重 材 料 金 属 会 引 发RT Rayleigh Taylor 瑞利 泰勒 不稳定性 在反 弹阶段 气芯的轻材料加速重材料壳层 同样引 发 RT 不稳定性 在 RT 不稳定性发展的后期 轻重流体两侧的大变形切向流又会导致 KH Kelvin Helmholtz 开尔文 亥姆霍兹 不稳定 性的增长 出现卷曲 翻滚的现象 局部界面加 速 轻介质推重介质时 同样又会进一步引发小 波长的 RT 不稳定性 伴随产生的许多短波长扰 动会加剧界面两侧附近等离子体的混合 流体不 稳定性的存在与发展 极大地影响 ICF 的内爆过 程 在核武器内爆过程中存在类似的物理图像和 流体界面不稳定性等复杂问题 3 因此 流体 不稳定性研究是 ICF 点火研究 核武器物理研究 中的关键问题 鉴于相分离 混合 多相流动 流体界面不 稳定性 燃烧等复杂动力学问题在许多工业过 程 自然现象和武器物理当中的普遍性 其研究 具有重要的基础与现实意义 由于这些复杂流体 系统的非线性发展往往涉及强非线性和多尺度 在燃烧和流体界面不稳定性等演化过程中甚至 会涉及到湍流等老大难问题 所以复杂流体系统 的理论研究进展缓慢 在实验研究方面 三维流 体系统中的各种复杂特征和结构对诊断技术要 求较高 所以 数值模拟是这些复杂流体系统研 究的重要手段 上述复杂系统在演化过程中存在大量的动 力学与热力学非平衡过程和效应 而传统数值模 拟依赖的是 Euler 方程 Navier Stokes 方程等宏 观连续动力学模型 这些模型是基于平衡态或近 平衡态近似的 与平衡态动力学模型 Euler 方程 相比 Navier Stokes 方程中包含了黏性和热传导 效应 根据气体动理学理论 热传导和黏性的出 现本身就是系统偏离热力学平衡的表现和效应 但流体系统偏离热力学平衡的效应非常丰富 非 常复杂 仅仅靠在动力学方程中引入热传导项和 黏性项来描述是远远不够的 LB Lattice Boltzmann 格子玻尔兹曼 方法基于非平衡统 计物理的基本方程 Boltzmann 方程 可以通过宏 观量研究系统的非平衡行为 提供系统偏离热力 学平衡引发的宏观效应是LB动理学建模优越于 传统宏观流体力学建模的地方 5 2 LB 方法的诞生与发展概述方法的诞生与发展概述 LB 方法或模型是近三十年以来迅速发展起 来的一种全新的复杂系统建模方式和模拟工具 6 7 8 由于它基于非平衡统计物理的基本方 程 Boltzmann 方程 所以对于系统中那些局域 的 动态的 偏离热力学平衡不同程度的复杂动 力学 动理学行为具有物理描述上的自适应性 目前 LB 理论和应用研究已渗透到诸多学科和 研究领域 成为国际热点研究课题之一 5 9 10 11 12 13 14 15 16 17 LB 方法的前身为 格子气 或 元胞自动 机模型 格子气模型的早期研究可以追溯到上 世纪六十年代 其基本思路如下 真实流体是由 大量粒子组成的 但是流体力学微分方程的形式 并不依赖于微观过程的细节 而仅仅决定于微观 守恒律和对称性 只有一些输运系数如粘滞性依 赖于微观的细致情况 基于这一设想 人们开 始使用较简单的离散模型来作为连续流体系统 4 的理想化模型 为能模拟连续流体系统 特别是 为了让在微观层次上破缺的对称性在宏观上得 到恢复 元胞自动机的结构需满足一定的条件 对称性约束 与现代 LB 研究直接相关的格子 气模型出现于 1986 年 Frisch Hasslacher 和 Pomeau 给出了一个后来以他们名字命名的六角 模型 18 这个模型只在动量空间中选取六个离 散的点 就在连续极限下恢复了流体动力学方 程 它的出现使人们认识到 系统的许多宏观动 力学行为只取决于局域的对称性和守恒律 而对 具体分子的运动细节不敏感 这种介观模拟手段 随后快速发展为基于统计物理并与热力学自恰 的 LB 方法 到目前为止 在二十多年的时间里 欧美日 等发达国家的科学家已经在这一新兴领域进行 了较密集型的研究 通过 google 学术搜索关键 词 Lattice Boltzmann 可获得约 282 000 条结 果1 仅美国物理学会的 Phys Rev 和 Phys Rev Lett 系列就已发表相关研究论文数百篇2 其中 发表在 Phys Rev Lett 的研究论文有 50 余篇 在 LB 发展过程中 一些工作于国内外的华人科 学 家 也 做 出 了 重 要 的 贡 献 5 7 8 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 45 46 47 48 49 50 51 52 粗略地说 文献中 的 LB 模型可以分为两个大类 其中一类工作是 将LB模型作为恢复或求解Navier Stokes等偏微 分方程的一种全新的思路和方法 另外一类工作 是将 LB 模型与传统流体力学模型并列 将其视 为一种全新的 微介观动理学模型 在目前已有 的文献中 第一种类型的 LB 模型研究占了绝大 多数 在这些研究中 LB 在算法方面的性质和 特点是主要研究内容 在第二种类型的 LB 模型 研究中 基于连续介质建模的传统流体模型所不 能描述 或描述不好 的高 Knudsen 数效应 非 平衡效应是关注的重点3 从应用角度来说 除 1 搜索时间为 2013 年 11 月 19 日下午 16 00 2 LB 涉猎的范围是如此之广 参考文献是如此之多 本 文重在突出研究思路 列出的参考文献仅仅是例子 3 物理系统的动力学模型通常用偏微分方程表示 在本文 中 LB 动理学模型与作为解法器或替代品的 LB 模型的 了常见的复杂流体之外 LB 方法已被推广应用 于连续介质建模失效的高 Kn 数流体系统 53 54 55 已被推广应用于晶体生长动力学 56 57 58 59 半导体动力学 60 固体力学 61 62 63 64 声子动力学 65 金属泡沫生 长动力学 66 裂纹生成与发展动力学 61 玻 色 爱因斯坦凝聚 67 等领域 LB 思想已被移植 应用于量子力学 6 68 69 相对论 15 70 电 动力学 71 量子场论 72 为学科建设提供了 新的思路 LB 技术已启发产生了正在兴起的 LFP Lattice Fokker Planck 技术 73 74 75 如果将LB视为求解偏微分方程的新思路 52 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 那么LB适用的范围几乎含盖了我们所关心的绝 大多数物理系统 因为几乎所有物理系统的演化 都遵循偏微分方程 LB 方法的快速发展已经 催生了新的商业软件 PowerFlow 89 和开源软件 OpenLB 90 Palabos 91 等 3 LB 理论与应用理论与应用 3 1 整体评述整体评述 美国国家基金会理事会成员 总统科学顾 问 工程院院士 文理学院院士 中国科学院院 士 已故著名学者田长霖曾有过如下评述 尽 管许多物理现象和工程问题是在宏观或 人 的 尺度上体现出来的 但其根源仍然始于分子尺 度 建立跨越多个时空尺度的物理模型有一定困 难 lattice Boltzmann 方法可望能够为此提供有 效的手段 92 LB 方法具有如下属性 1 LB 基 于 非 平 衡 统 计 物 理 学 的 基 本 方 程 Boltzmann 方程 对于复杂流体系统中的一些 多尺度 不同 Knudsen 数 行为具有物理描述上 的自适应性 因而经常被称为 多尺度方法 2 一个好的离散速度模型可以看做是对分子运动 细节做了某种平均化处理 因而它比分子动力学 方法要粗糙 但与宏观 Navier Stokes 模型相比 区别为 前者包含相应的连续模型所没有包含的更底层信 息 可以用于研究传统模型所不能描述的一些现象和行 为 而后者在描述的物理行为上等同于对应的宏观连续模 型 5 又含有更多的微介观动理学信息 经常被称为 介观方法 3 从离散的网格来说 LB 具有 Euler 方法的属性 从离散的粒子观点来说 标 准 LB 方法又具有 Langrange 方法的属性 因而 是一种 混合方法 4 该方法实现了用本来 就不连续的模型去描述连续的客观对象并进行 直接计算的设想 尽管 LB 起源于物理 复杂系统研究的格子 气或元胞自动机模型 但随着对算法细节要求 的逐步提高 越来越多的计算数学家介入 越来 越多的对算法不太熟悉同时又有其他关心问题 的物理学家逐渐转移了兴趣 在 LB 领域 目前 的现状是数学家远多于物理学家 因而将 LB 作 为偏微分方程的一种全新的模拟方法的研究 结 构与非结构网格研究 离散格式研究 精度与误 差等的研究占了绝大多数 从物理学角度来看 LB 基 于 非 平 衡 统 计 物 理 学 的 基 本 方 程 Boltzmann 方程 可以视为 Boltzmann 方程的一 个特殊的离散化 因此 合理的 LB 动理学建模 应该能够有效地继承 Boltzmann 方程描述的部 分功能 例如 其适用的物理范围应该比传统计 算 流 体 力 学 CFD Computational Fluid Dynamics 更宽广 应该可以用于研究与我们关 心的动力学行为关系最密切的一部分非平衡特 征及其演化规律 或许 可以借助于 LB 动理学 模型发展出一套新的非平衡行为描述方法或测 量手段 LB 从其前身格子气 元胞自动机模型开始 就受到了我国一大批科学家 例如 北京应用物 理与计算数学研究所的陈式刚院士 19 沈隆均 研究员 52 复旦大学的陶瑞宝院士 94 北京 师范大学的黄祖洽院士 95 中科院过程工程研 究所的李静海院士 96 西安交通大学的陶文铨 院士 8 北京大学的赵凯华教授 97 等 的高度 关注 在 LB 国际会议或文献中出现频率较高的 华人学者名单正在迅速延长 LB 起源于物理 服务于物理 物理应用是 目的和归宿 下面我们简单列举 LB 在几类复杂 系统研究方面的进展 多相复杂流体系统方面 多相复杂流体系统方面 多相复杂流体系统 一直是 LB 研究的重要领域 多相流 LB 模型构 造的核心是如何将非理想气体效应合理地加入 演化方程 虽然模型的具体形式各异 但其最终 目的都是将理想气体状态方程更换为合适的非 理想气体状态方程 其中的周期性等特征尺度通 过界面项来描述或控制 由于 LB 模型的早期研 究主要集中在等温 低速 不可压流体系统 所 以早期的多相流模型也主要集中在等温 低速 不可压流体系统 主要有着色模型 伪势模型 自由能模型和 Enskog 型外力模型 着色模型最 初由 Gunstensen 等 98 99 100 提出 这是源于 Rothman 和 Keller 101 的一个二元格子气模型 在该模型中 使用红色和蓝色粒子来代替两种不 同的流体 两相间的分离和混合通过控制基于颜 色梯度的粒子间相互作用力来实现 伪势模型最 初由 Shan 和 Chen 27 提出 该模型通过引入粒 子间非局域相互作用势即伪势来模拟两相流系 统 相互作用的形式决定了状态方程的形式 只 要其选取合理 两相间的分离与混合就可以合理 地实现 除表面能外 相互作用势 或力 描述 状态方程描述和自由能表述是等价的 自由能模 型最初由牛津大学 Yeomans 课题组的 Swift 等 102 103 提出 在自由能模型中 系统的基态 由自由能极小值来决定 在高温条件下 系统自 由能只有一个极小值 系统处于均匀混合态 当 系统温度降低至二相共存温度时 自由能的形式 转变为具有两个相等的极小值 这时原来的均匀 混合态失稳 从而发生相分离现象 1997 年 同一课题组的Gonnella等 104 在Swift等模型的 基础上引入序参数的二阶空间导数平方项 构造 了层状相生成和演化的自由能 LB 模型 Gonnella 课题组的许爱国等修正了原 Swift 等模 型中压强和迁移率等矩关系的定义式和平衡态 分布函数计算公式4 34 提出通过负反馈等机制 来提高 LB 模拟过程中的数值稳定性 36 在原 层状相生长LB模型的基础上给出了修正的压强 和迁移率定义式以及平衡态分布函数计算公式 4 在相变动理学专著 Kinetics of Phase Transitions Edited by S Puri and V Wadhawan CRC Press Taylor 10th France 2001 11th China 2002 Chairman of Local Organizing Committee 12th Lebnon 2003 13th USA 2004 14th Japan 2005 95 黄祖洽 丁鄂江 输运理论 第二版 M 北京 科学出版社 2008 96 多相复杂系统国家重点实验室与多尺度离散模拟项目组著 基于 GPU 的多尺度离散模拟并行计算 M 北京 科学出版 社 2009 97 俞慧丹 用格子玻耳兹曼方法模拟复杂流动现象 北京大学 博士研究生学位论文 导师 赵凯华 北京 2001 98 Gunstensen A Rothman D Zaleski S and Zanetti G Lattice Boltzmann model of immiscible fluids Phys Rev A 43 8 4320 1991 99 Gunstensen A K and Rothman D H Microscopic modeling of immiscible fluids in three dimensions by a lattice Boltzmann method Europhys lett 18 2 157 1992 100 Gunstensen A K and Rothman D H Lattice Boltzmann studies of two phase flow through porous media J Geophys Res 98 B4 6431 1993 101 Rothman D H and Keller J M Immiscible cellular automaton fluids J Stat Phys 52 3 4 1119 1988 102 Swift M R Osborn W R and Yeomans J M Lattice Boltzmann simulation of nonideal fluids Phys Rev Lett 75 5 830 1995 103 Swift M R Orlandini E Osborn W R and Yeomans J M Lattice Boltzmann simulations of liquid gas and binary fluid systems Phys Rev E 54 5 5041 1996 104 Gonnella G Orlandini E and Yeomans J Spinodal decomposition to a lamellar phase effects of hydrodynamic flow Phys Rev Lett 78 9 1695 1997 105 He X Y Chen S Y and Zhang R Y A lattice Boltzmann scheme for incompressible multiphase flow and its application in simulation of Rayleigh Taylor instability J Comp Phys 152 2 642 1999 106 http www thphys physics ox ac uk people JuliaYeomans 107 闫铂 燃烧与爆轰问题的 LB 建模与模拟 北京应用物理与 计算数学研究所博士后出站报告 合作导师 许爱国 张广 财 北京 2013 108 Gonnella G Lamura A and Sofonea V Lattice Boltzmann simulation of thermal nonideal fluids Phys Rev E 76 3 036703 2007 109 Xu A G Zhang G C Pan X F Zhang P and Zhu J S Morphological characterization of shocked porous material J Phys D Applied Phys 42 7 075409 2009 110 Xu A G Zhang G C Ying Y J Zhang P and Zhu J S Shock wave response of porous materials from plasticity to elasticity Phys Scr 81 5 055805 2010 111 Xu A G Zhang G C Li H and Zhu J S Comparison study on characteristic regimes in shocked porous materials Chin Phys Lett 27 2 026201 2010 112 Xu A G Zhang G C Li H Ying YJ Yu X J and Zhu J S Temperature pattern dynamics in shocked porous materials Sci China Phys Mech 53 8 1466 2010 113 Xu A G Zhang G C Li H Ying YJ and Zhu J S Dynamical similarity in shock wave response of porous material From the view of pressure Comput Math Appl 61 12 3618 2011 114 Alexander F J Chen H Chen S and Doolen G D Lattice Boltzmann model for compressible fluids Phys Rev A 46 4 1967 1992 115 Yan G W Chen Y S and Hu S X Simple lattice Boltzmann model for simulating flows with shock wave Phys Rev E 59 1 454 1999 116 Sun C H Lattice Boltzmann models for high speed flows Phys Rev E 58 6 7283 1998 117 Sun C H Adaptive lattice Boltzmann model for compressible flows Viscous and conductive properties Phys Rev E 61 3 2645 2000 118 Sun C H and Hsu A T Three dimensional lattice Boltzmann model for compressible flows Phys Rev E 68 1 016303 2003 119 Sun C H and Hsu A T Multi level lattice Boltzmann model on square lattice for compressible flows Comput Fluids 33 10 1363 2004 120 Shan X W Yuan X F and Chen H D Kinetic theory representation of hydrodynamics a way beyond the Navier Stokes equation J Fluid Mech 550 1 413 2006 121 Qu K Shu C and Chew Y T Alternative method to construct equilibrium distribution functions in lattice Boltzmann method simulation of inviscid compressible flows at high Mach number Phys Rev E 75 3 036706 2007 122 Nie X B Shan X W and Chen H D Thermal lattice Boltzmann model for gases with internal degrees of freedom Phys Rev E 77 035701 R 2008 123 Ran Z Lie symmetry preservation and shock capturing methods SIAM J Numer Anal 46 1 325 2008 124 Ran Z Note on Invariance of one dimensional lattice Boltzmann equation Chin Phys Lett 24 12 3332 2007 125 Ran Z Thermo hydrodynamic lattice BGK schemes with Lie symmetry preservation Chin Phys Lett 25 11 3867 2008 126 Ran Z Thermal equation of state for lattice Boltzmann gases Chin Phys B 18 6 2159 2009 127 Watari M and Tsutahara M Two dimensional thermal model of the finite difference lattice Boltzmann method with high spatial isotropy Phys Rev E 67 3 036306 2003 128 Watari M and Tsutahara M Possibility of constructing a multispeed Bhatnagar Gross Krook thermal model of the lattice Boltzmann method Phys Rev E 70 1 016703 2004 129 Kataoka T and Tsutahara M Lattice Boltzmann method for the compressible Euler equations Phys Rev E 69 5 056702 2004 130 Ansumali S and Karlin I V Entropy function approach to the lattice Boltzmann method J Stat Phys 107 1 2 291 2002 131 Ansumali S Karlin I V and ttinger H C Minimal entropic kinetic models for hydrodynamics Europhys lett 63 6 798 2003 132 Ran Z and Xu Y P Entropy and weak solutions in the lattice Bhatnagar Gross Krook model Chin Phys B 20 11 114702 2011 40 133 Ran Z and Xu Y P Entropy and weak solutions in the thermal model for the compressible Euler equations Int J Mod Phys C 20 10 1493 2009 134 Li Y B Shock R Zhang R Y and Chen H D Numerical study of flow past an impulsively started cylinder by the lattice Boltzmann method J Fluid Mech 519 1 273 2004 135 Sofonea V Lamura A Gonnella G and Cristea A Finite difference lattice Boltzmann model with flux limiters for liquid vapor systems Phys Rev E 70 4 046702 2004 136 Asinari P Semi implicit linearized multiple relaxation time formulation of lattice Boltzmann schemes for mixture modeling Phys Rev E 73 5 056705 2006 137 Dellar P J Incompressible limits of lattice Boltzmann equations using multiple relaxation times J Comput Phys 190 2 351 2003 138 Pan X F Xu A G Zhang G C and Jiang S Lattice Boltzmann approach to high speed compressible flows Int J Mod Phys 18 1747 2007 139 Gan Y B Xu A G Zhang G C Yu X J and Li Y J Two dimensional lattice Boltzmann model for compressible flows with high Mach number Physica A 387 8 1721 2008 140 Chen F Xu A G Zhang G C Gan Y B Cheng T and Li Y J Highly efficient lattice Boltzmann model for compressible fluids two dimensional case Commun Theor Phys 52 681 2009 141 Chen F Xu A G Zhang G C and Li Y J Three dimensional lattice Boltzmann model for high speed compressible flows Commun Theor Phys 54 1121 2010 142 Chen F Xu A G Zhang G C and Li Y J Flux limiter lattice Boltzmann for compressible flows Commun Theor Phys 56 2 333 2011 143 Gan Y B Xu A G Zhang G C and Li Y J Flux limiter lattice Boltzmann scheme approach to compressible flows with flexible specific heat ratio and Prandtl number Commun Theor Phys 56 3 490 2011 144 Lin C D Xu A G Zhang G C Li Y J and Succi S Polar coordinate lattice Boltzmann modeling of compressible flows arXiv 1302 7104 145 林传栋 许爱国 张广财 李英骏 使用极坐标格子玻尔兹曼 方法研究冲击过程 凝聚态物理学进展 2 88 2013 146 Lin Z F Fang H P and Tao R B Improved lattice Boltzmann model for incompressible two dimensional steady flows Phys Rev E 54 6 6323 1996 147 Fang H P Wan R Z and Lin Z F Lattice Boltzmann model with nearly constant density Phys Rev E 66 3 036314 2002 148 Li H B Fang H P Lin Z F Xu S X and Chen S Y Lattice Boltzmann simulation on particle suspensions in a two dimensional symmetric stenotic artery Phys Rev E 69 3 031919 2004 149 Wang Z W Fang H P Lin Z F and Zhou L W Simulation of field induced structural formation and transition in electromagnetorheological suspensions Phys Rev E 61 6 6837 2000 150 Fang H P Wang Z W Lin Z F Liu M R Lattice Boltzmann method for simulating the viscous flow in large distensible blood vessels Phys Rev E 65 5 051925 2002 151 Li H B Lu X Y Fang H P and Qian Y H Force evaluations in lattice Boltzmann simulations with moving boundaries in two dimensions Phys Rev E 70 2 026701 2004 152 Wen B H Li H B Zhang C Y and Fang H P Lattice type dependent momentum exchange method for moving boundaries Phys Rev E 85 1 016704 2012 153 Wan R Z Fang H P Lin Z F and Chen S Y Lattice Boltzmann simulation of a single charged particle in a Newtonian fluid Phys Rev E 68 1 011401 2003 154 Fan L W Fang H P and Lin Z F Simulation of contact line dynamics in a two dimensional capillary tube by the lattice Boltzmann model Phys Rev E 63 5 051603 2001 155 Lin Z F Fang H P Xu J J and Zi J Lattice Boltzmann model for photonic band gap materials Phys Rev E 67 2 025701 R 2003 156 曹亮 非平衡系统的涨落理论与自由能关系 北京师范大学 博士学位论文 导师 郑志刚 Michael Cross 北京 2012 157 Ji Y P Kang X Y and Liu D H Simulation of non newtonian blood flow by lattice Boltzmann method Chin Phys Lett 27 9 p094701 2010 158 Ji Y P Kang X Y and Liu D H The blood flow at arterial bifurcations simulated by lattice Boltzmann method Chin Phys Lett 26 7 074702 2009 159 Kang X Y Ji Y P Liu D H and Jin Y J Three dimensional lattice Boltzmann method simulating blood flow in aortic arch Chin Phys B 17 1041 2008 160 Kang X Y Liu D H Zhou J and Jing Y J Simulation of blood flow at vessel bifurcation by lattice Boltzmann method Chin Phys Lett 22 11 2873 2005 161 Kang X Y Liu D H Zhou J and Jing Y J Simulating high Reynolds number flow by lattice Boltzmann method Chin Phys Lett 22 6 1456 2005 162 Xu Y Q Tian F B Li H J and Deng Y L Red blood cell partitioning and blood flux redistribution in microvascular bifurcation Theor Appl Mech Lett 2 2 024001 2012 163 Xu Y Q Tian F B Deng Y L An effici