从考研数学阅卷来分析考生的学习质量及应对策略.pdf

第3 0 卷第5 期 2 0 1 4 年1 0 月 大学数学 C O L L E G EM A T H E M A T I C S V 0 1 3 0 5 0 c t 2 0 1 4 从考研数学阅卷来分析考生的学习质量及应对策略 苏德矿 童雯雯 周利平 浙江大学数学系 杭州3 1 0 0 2 7 摘要 通过2 0 1 4 年考研数学阅卷 分析考研数学试卷的质量 分析考生的学习质量 通过2 8 年的考 研数学题目可以看出 考研数学的题型和难度已经比较稳定 事实告诉考生 不要过分追求那些技巧性的偏题 与怪题 要真正把教材内容理解透彻 这就要求准备考研的同学更要打好基础 在掌握基本的概念 性质 定 理 公式 方法 知识点后 更要善于把知识融会贯通 熟练运用所掌握的概念 知识 综合运用 并要求有一定 的计算能力 才能取得高分 关键词 考研数学 阅卷 分析 考生 中圈分类号 G 4 2 4 7 4 文献标识码 C 文章编号 1 6 7 2 1 4 5 4 2 0 1 4 0 5 0 0 8 7 0 5 通过2 0 1 4 年考研数学阅卷及对真题的内容做了一些简单分析 从考研数学2 0 1 4 年数一 数二 数 三整体来看 2 0 1 4 年考研试题难度平稳 围绕考研数学大纲的要求 在重视基础的原则下 考察的形式 更加灵活 新颖 更能检查考生的学习质量 反映考生的学习效果 对教师的教学有很大的帮助 在这里 我们对某地区考生的试卷进行分析 仅对2 0 1 4 年数一 数二 数三中考生感到最困难的题 目进行分析 可管中窥豹略见一斑 数一考生感到最困难的题目 数一 1 9 题 满分l O 分 设数列O a 吾 O b c o s b 且0 n 5 0 b 一 号 由c s z 在 o 号 上严格递减 得o 口一 玩 由蚤k 收敛 推出璺玩一0 由夹逼定 理得l i m a 0 收稿日期 2 0 1 4 0 3 2 7 万方数据 8 8大 学 数 学第3 0 卷 i i 因为 鲤爵a n2 墅丽 急耵一号墅i 订 1 一百溉i 1 一c o s a 一虿 F 且级数蚤6 一收敛 J 6 i I r A i i 蚤赉收敛 数二 三 1 9 题证明 i 因为0 g 工 1 由定积分不等式性质 有 r zr zr 2 0 l0 d t Ig t d t I l d t z 一口 JaJaJf i t r 口 I 口 d tr o i i 令F z 一I f t d t I g d t 贝 F 7 z 一 厂 口 f g d 一 z g z 由 i 知口 Ig t d t X 且 z 单调增加 g z 0 可推出F z 0 从而知F z 在区间 n 6 上递减 又F 口 一0 故F 6 0 即 0 r 叫 山厂 z d r r 厂 z g z d z 考生考得差的原因是什么呢 由于数一 1 9 平均得了1 9 5 分 第一小题是5 分 说明这 d 题做 得也很差 实际上数一 1 9 的第一小题是中学的三角函数题目与高数没有关系 说明考生对中学的三角 函数掌握的不好 因为中学删去了很多的三角函数内容 如反三角函数 而三角函数中的和差化积 积化 和差公式在高中不作要求 但是 在高等数学中经常涉及三角函数或反三角函数的求导及积分运算 如 果学生没有学反三角函数和熟练掌握三角函数的恒等变形就很难熟练地求三角函数 反三角函数的导 数或积分 说明中学三角函数的削弱 极大地影响了高等数学的学习与效果 第 d 题是典型的用级数 的比较判别法的极限形式 归结到求极限问题 这是一个常见的求极限并不难 需要对极限的思想要 理解 1 i mL 二堕望 l i mi 1 一X 2 0 根据归结原则 由l i m 口 0 从而l i m I c o s a n 一0 第二小题就 是利用了这一结果 要求考生对书本知识要理解的透彻 不是死记硬背 要灵活应用 即使第一小题不会 做 也不影响做第 d 题 这题得分如此低 令人匪夷所思 归根到底考生所学知识不扎实 数二 三 1 9 题的第 d 题由定积分不等式性质 有 0 fO d z r g d r l d z z 一口 JqJ 口J4 是所有考生都应当做出来的 但是有不少考生这题是0 分 第二小题看起来复杂 其实典型 就是用比较 函数值的大小 利用单调性定理 这样的题目在历年的研究生数学考试中也多次考过 例如 例I 设 z 在 o 1 上连续且递减 证明当o I 1 时 If x d x A If x d x I z d xr lI z 如 证 要证原不等式成立 只要证业 If x d x 成立 令F 一业 一 由F A AJ0 l z d xr l 业 F 1 Ij r x d x 只要证A o 1 时 F J I F 1 1 成立 由F 在 o 1 上连续 在 o 1 内可导 且 F 1 一 二 三 三一 二 2 1 一 二 7 f 一 一一坐竺L 坐竺一丛旦 坐 万方数据 第5 期苏德矿 等 从考研数学阅卷来分析考生的学习质量及应对策略 8 9 其中0 f t 知 c 有F 7 0 知F 在 o 1 上递减 又o A 口得F 6 F 口 即 2 式成立 由每一步可逆 故原不等式成立 例3 设 z 在区间 o 1 上可导 且满足0 z 1 及 o 一0 证明 J z d z 2 j l E l z 3 d z 广广112r l广r 12 证要证原不等式成立 只要证L J 厂 z d x j j 厂 z 3 d x 0 成立 设F 一l J l s 00dz d z JL JjJLJ I z 3 d x 由 F 1 一 厂 z d z 2 一 厂 z 3 d z F o 一0 只要证 F 1 F O 3 成立 由F 在 o 1 上连续 在 o 1 内可导 且 F7 2J f x dx 77 z Jp 2J f x dx00 J 心 7 2 厂 z 一尸 厂 I2 I一尸 l J LJJ 由于0 1 知 在 o 1 上递增 当t o 1 时 厂 z 厂 o 一0 令 g 一2 If x d x 一尸 o 1 g o 一0 则 g7 f 一2 f t 一2 f t f 7 一2 f t 1 一 0 知g 在 o 1 上递增 当t o 1 1 时 g g o 一0 从而F 7 0 因此F 在 o 1 上递增 由1 0 得F 1 F O 即不等式 3 成立 且每一步可逆 故原不等式成立 实际上 在考研数学中的证明题不论是微分中的证明题还是积分中的证明题 都是围绕下列七大类 型 希望考生要认真总结 活学活用 一 证明方程根的存在性 把要证明的方程转化为f C r 一0 的形式 对方程 z 0 用下述方法 1 根的存在定理 若函数 z 在闭区间 口 胡上连续 且厂 口 厂 6 0 则至少存在一点 拿 口 6 使厂 e 一0 2 若函数 z 的原函数F z 在 口 6 上满足罗尔定理的条件 则厂 z 在 口 6 内至少有一个 零值点 3 看到高阶导数 证明方程根的存在性 用泰勒公式证明方程根去尝试 万方数据 9 0大 学数学第3 0 卷 4 实常系数的一元行次方程ao z a l z 州 口 r x a 一0 口 O 当扎为奇数时 至少有 一个实根 5 实系数的一元 z 次方程在复数范围内有咒个复数根 至多有规个不同的实数根 6 若厂 z 在区间I 上连续且严格单调 则 z 一0 在I 内至多有一个根 若函数在两端点的函数 或极限 值同号 则厂 z 一0 无根 若函数在两端点的函数 或极限 值异号 则f a c 一0 有一个根 7 求具体连续函数厂 z 一0 在其定义域内零值点的个数 首先求出 z 的严格单调区间的个 数 若有m 个严格单调区间 则至多有m 个不同的根 至于具体有几个根 按照6 研究每个严格单调区 间是否有一个根 8 若函数 z 的原函数F z 在某点z 处取极值 在z 处导数也存在 由费马定理知 F z 一0 即f x 一0 用的较少 9 方程中含有字母常数 讨论字母常数取何值时 方程根有几个根的方法 i 把要证明的方程转 化为g z 一k 的形式 求出g z 的单调区间 极值 求出每个严格单调区间两端函数 极限 值 画草 图 讨论曲线与Y k 轴相交的情况 确定方程根的个数 i i 把要证明的方程转化为 z 一 的形式 求出厂 z 的单调区间 极值 求出每个严格单调区间两端函数 极限 值 画草图 讨论曲线与z 轴相交 的情况 确定方程根的个数 二 证明适合某种条件下车的等式 1 常用的方法有罗尔定理 泰勒公式 根的存在定理 柯西定理 拉格朗日定理 2 如果证明适合某种条件下拿 f 的等式 要用两次上面的定理 3 证明存在 n 6 使厂 车 厂 9 7 拿 一0 这等价于方程f 7 z f x 9 7 z 一0 在区间 n 6 内有一个根 而厂 b f x g 曲一0 可以变形为等等一一g l b 积分之 有J 睾署d z r 一一1 9 7 z d x l n C 所以 l n f x 一一g z l n C z C e g h f x e g h C 令F z 一f x e 则F 7 z 一 c 7 从而 z f x 9 7 z 一0 故对F z 在 z z 上满足 罗尔定理条件 至少存在一点车 z z 使F 7 S 一0 即 f p e g7 e 一0 三 证明不等式的方法 1 拉格朗日定理适用于已知函数导数的条件 证明涉及函数 值 的不等式 2 泰勒公式适用于已知函数的高阶导数的条件 证明涉及函数 值 或低阶导函数 值 的不等式 3 单调性定理 i 对于证明数的大小比较的不等式 转化为同一个函数在区间两端点函数 或极 限 值大小的比较 利用函数在区间上的单调性进行证明 i i 对于证明函数大小比较的不等式 转化为同一个函数在区间内上任意一点函数值与区间端点 函数 或极限 值大小的比较 利用函数在区间上的单调性进行证明 4 利用函数最大值 最小值证明不等式 把待证的不等式转化为区间上任意一点函数值与区间上某点上 处的函数值大小的比较 然后证晌 f x 为最大值或最小值 即可证不等式成立 5 利用函数取到唯一的极值证明不等式 把待证的不等式转化为区间上任意一点函数值与区间内某点z 处的函数值大小的比较 然后证明 f x 为唯一的极值且为极大值或极小值 即f z 为最大值或最小值 即可证不等式成立 6 用柯西定理证明不等式 7 利用曲线的凹凸性证明不等式 四 涉及到定积分的方程根的存在性的方法 利用积分中值定理 定积分的性质 尤其是变上限积分求导定理及微分中值定理 证明方法与技巧 与微分中值定理应用的证明思想完全类似 万方数据 第5 期苏德矿 等 从考研数学阅卷来分析考生的学习质量及应对策略 9 1 五 涉及到定积分的适合某种条件亭的等式的方法 利用积分中值定理 定积分的性质 尤其是变上限积分求导定理及微分中值定理 证明方法与技巧 与微分中值定理应用的证明思想完全类似 六 涉及到定积分的不等式的方法 利用积分中值定理 定积分的性质 尤其是变上限积分求导定理及微分中值定理 证明方法与技巧 与微分中值定理应用的证明思想完全类似 七 涉及到定积分的等式证明的方法 用变量代换较多或定积分的条件性质 周期函数积分的性质 2 0 1 4 年的考研数学题目还是强调了 三基本 即数学考试的目的就是对基本概念 基本性质 基本 原理的考察 这类考试性质没有变 应该说偏题怪题没有出现 但今年的考题包括一些选择题 如果平常 复习仅仅是死记硬背 对于知识点不能灵活掌握运用 这种题做起来会有困难 作为考生来说 复习肯定要扎扎实实的 有所侧重的做题型复习也是有必要的 要 抓重点 抓住重 点就可以提高复习的效率 要是侧重掌握某些题型 加深印象 这与全面复习掌握基础是不矛盾的 命题 老师没有把以前考过的一模一样的题拿过来 但很多题型是重复的 像是今年考的题型 以前都考过 但 题目和以前不一样 如果是只会死记硬背的考生 这样的题你还是做不出 总之 2 0 1 4 年试卷的命题是合理的 题目难度不大 相对于去年难度持平 连续几年降低或平稳 没 有偏题 怪题 强调基础 但是题目的灵活性 综合性 计算量和技巧性有一定的深度 通过2 8 年的考研 数学题目可以看出 考研数学的题型和难度已经比较稳定 要求考生掌握数学的基本概念 基本理论 基 本方法和具有比较熟练的运算技能与证明技巧 事实告诉考生 不要过分追求那些技巧性的偏题与怪 题 要真正把教材内容理解透彻 性质 定理会证 这就要求准备考研的同学更要打好基础 在掌握基本 的概念 性质 定理 公式 方法 知识点后 更要善于把知识融会贯通 熟练运用所掌握的概念 知识 综 合运用 并要求有一定的计算能力 才能取得高分 A n a l y z i n gt h eS t u d e n t s Q u a l i t yo fL e a r n i n ga n dC o p i n gS t r a t e g i e sf r o m S c o r i n gt h eT e s tP a p e ro fP o s t g r a d u a t eE n t r a n c eE x a m s S UD p k u a n g T O N GW e n w e n Z H O UL i p i n g D e p a r t m e n to fM a t h e m a t i c s Z h e j i a n gU n i v e r s i t y H a n g z h o u3 1 0 0 2 7 C h i n a A b s t r a c t T h r o u g hs c o r i n gt h e2 0 1 4p o s t g r a d u a t ee n t r a n c ee x a mt e s tp a p e r t h i sa r t i c l ea i m sa ta n a l y z i n gt h eq u a l i t y o fb o t ht e s tp a p e r sa n ds t u d e n t s W ec a nc o n c l u d ef r o mt h e2 8y e a r s m a t h e m a t i cp r o b l e m si nt h et e s tt h a tt h ed i f f i c u l t i e s a n dt y p e so fq u e s t i o n sh a v eb e e nr e l a t i v e l ys t a b l e W h a tc a nb es e e nf r o mt h ef a c tt h a td on o to v e r p u r s u et h o s et r i c k y q u e s t i o n sw i t ht h es t r a n g et i t l eb u tt ot h o r o u g h l yu n d e r s t a n dt h ec o n t e n to f t h et e x t b o o k s w h i c hr e q u i r e sah i g h e r s t a n d a r do fb a s i cl e a r n i n g A f t e rm a s t e r i n gt h eb a s i cc o n c e p t s n a t u r e s t