（计算数学专业论文）求解模糊线性系统的一类迭代方法.pdf

求解模糊线性系统的一类迭代方法 中文摘要 自1 9 6 5 年z a d e h 在其发表的奠基性论文 f u z z ys e t s 中首次提出 模糊集后 模糊数学得到了迅速的发展 现在已经逐渐成为了一个新 的独立的数学分支 在工程分析 模糊识别 自动控制 经济和金融等 领域中有着广泛的应用 而这些应用中的许多问题最终都归结为模糊 线性系统的求解 f r i e d m a n 于1 9 9 8 年首次提出了一个模型用于求解模 糊线性系统 并得出了一些基本的结论 在此之后 一些经典迭代法 如l u 分解方法 r i c h a r d s o n 方法 j a c o b i 方法 g a u s s s e i d e l 方法 s o r 方法 u s s o r 方法 m s o r 方法和a o r 方法等被运用到这个模型 上形成了求解模糊线性系统的一系列迭代法 然而 由于这些方法中 含有参数r 所以他们不便于用计算机来实现 为了克服这一缺陷 f e n g 进一步对f r i e d m a n 的模型进行转化变为一矩阵方程 本文中 正 是利用这一新的模型 得到了一些求解n 阶非奇异模糊线性系统及广 义m n 模糊线性系统的方法 众所周之 f o m 方法和g m r e s 方法被认为是二十世纪解线性方 程组的最重要的技术 j b i l o u 等人将这类方法的主要思想用于求解形 如a x b 的矩阵方程 形成了求解矩阵方程的g l f o m 和g l g m r e s 方法 在第二章中我们用这两种方法求解f e n g 提出的模型 得到了求 解模糊线性系统的两种有效算法 并且通过理论分析知道 对于n 阶 非奇异模糊线性系统 在没有舍入误差的情况下 最多只需2 n 步即可 得到精确解 这比f e n g 的c g t y p e 算法从理论上讲快了一倍 并且越 是大型的系统效果越明显 对于广义m 佗的模糊线性系统 z h c n g 和w a n g 利用系数矩阵的 广义逆表示出了它的解或最 乘解 并就强模糊解存在的条件进行 了讨论 本文在此基础上 进一步对已有的结论进行推广 并避开广 义逆这一难于计算的问题 在第三章第一部分中尝试通过矩阵变换的 方法求出广义模糊线性系统解或最1 乘解的通式 该通式中仅含有 若干个自由数 如果这些自由数可以取遍所有实数 那么就能得到它 的全部的解或最j j 乘解 在该章节第二部分中 我们给出了一种迭 代法用于寻找具有极小范数的解或最小二乘解 这种方法的优越性在 于不需事先判断模糊线性系统是否相容而可以直接进行求解 在第四章中 我们给出了四个例子用于说明前两章中的方法的有 效性 并给出了数值结果 关键词 模糊线性系统 g l f o m 方法 g l g m r e s 方法 收敛 性 矩阵变换 迭代法 a b s t r a c t s i n c ez a d c hf i r s tp r e s e n t e dt h ec o n c e p to ff u z z ys e t si n 1 9 6 5 f u z z ym a t h e m a t i c sh a sm a d ear a p i dp r o g r e s s a n dh a sm a n ya p p l i c a t i o n si ne n g i n e e r i n g p a t t e r n r e c o g n i t i o n a u t o m a t i o n e c o n o m i c s f i n a n c ea n ds oo n m o s to ft h e p r o b l e m sm a yb o i ld o w nt of i n dt h es o l u t i o no ff u z z yl i n e a rs y s t e m si nt h ee n d s oi ti si m m e n s e l yi m p o r t a n tt od e v e l o pn u m e r i c a lp r o c e d u r e st h a tw o u l da p p r o p r i a t e l yt r e a tf u z z yl i n e a rs y s t e m s f l s a n ds o l v et h e m f r i e d m a ni n19 9 8 f i r s t l yp r o p o s e dam o d e lt os o l v ef l sa n dg e ts o m eb a s i cc o n c l u s i o n s b a s e do n t h i s s o m ew e l l k n o w ni t e r a t i v ea l g o r i t h m ss u c ha sl ud e c o m p o s i t i o n r i c h a r d s o n j a c o b i g a u s s s e i d e l s o r u s s o r m s o r a o ra n dc o n j u g a t eg r a d i e n t m e t h o d sh a v eb e e na p p l i e dt os o l v ei t h o w e v e r b e c a u s eo ft h ee x i s t e n c eo ft h e p a r a m e t e r s7 a l g o r i t h m sm e n t i o n e da b o v ea r e n te a s yt ob ei m p l e m e n t e db ye o m p u t e r i no r d e rt oc o n q u e rt h i sd r a w b a c k f e n gf u r t h e rt r a n s f o r m e df r i e d m a n s m o d e li n t oam a t r i xe q u a t i o n i nt h i sp a p e r w ea t t e m p tt oa p n yg l f o ma n d g l g m r e sm e t h o d st ot h i sm a t r i xe q u a t i o na n df o r mn e wm e t h o d st os o l v et h e nxnn o n s i n g u l a rf u z z yl i n e a rs y s t e m s b yt h et h e o r e t i c a la n a l y s i s w ef i n dt h a t t h ee x a c ts o l u t i o nc a nb eo b t a i n e di nm o s t2 ns t e p si nt h ea b s e n c eo fr o u n d i n g e r r o r a n dt h ei t e r a t i o ns t e p sd e c r e a s ee s p e c i a l l yf o rl a r g es p a r s es y s t e m s f o rt h e g e n e r a lm nf u z z yl i n e a rs y s t e m s w et r yt og e ti t ss o l u t i o n so rl e a s ts q u a l e s s o l u t i o n sb ym e a n so ft h ee l e m e n t a r i l yt r a n s f o r m i n go ft h em a t r i c e s a n dt h e s o l u t i o nw i t hm i n i m u mn o r mw i l lb es e l e c t e db ya ni t c r a t i v em e t h o d k e y w o r d s f u z z yl i n e a rs y s t e m s g l f o mm e t h o d g l g m r e sm e t h o d c o n v e r g e n c e e l e m e n t a r i l yt r a n s f o r m i n go ft h em a t r i c e s i t e r a t i v cm e t h o d c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n l i n e a rs y s t e m sp l a yam a j o rr o l ei nv a r i o u sa r e a ss u c ha sm a t h e m a t i c s p h y s i c s s t a t i s t i c s e n g i n e e r i n ga n ds o c i a ls c i e n c e s i nm a n ya p p l i c a t i o n s s o m eo p a r a m e t e r so ft h es y s t e ma r er e p r e s e n t e db yf u z z yr a t h e rt h a nc r i s pn u m b e r 8 0i t i s i m m e n s e l yi m p o r t a n tt od e v e l o pn u m e r i c a lp r o c e d u r e st h a tw o u l da p p r o p r i a t e l y t r e a tf u z z yl i n e a rs y s t e m s f l s a n ds o l v et h e m f r i e d m a n m aa n dk a n d e l i nf 1 0 1f i r s t p r o p o s eam o d e lf o rs o l v i n gt h ef u z z yl i n e a rs y s t e m s t h e yu s e d t i l ee m b e d d i n gm e t h o da n dr e p l a c e dt h eo r i g i n a lf u z z yl i n e a rs y s t e m sb yac r i s p l i n e a rs y s t e mw i t han o n n e g a t i v ec o e f f i c i e n tm a t r i xs t h e n s e v e r a lw e l l k n o w n a l g o r i t h m sf o rs o l v i n gl i n e a rs y s t e m ss u c ha sl ud e c o m p o s i t i o n r i c h a r d s o n j a c o b i g a u s s s e i d c l s o r u s s o r m s o r a o r c o n j u g a t eg r a d i e n tm e t h o d s a r ea p p l i e dt o 礼x 佗f l si n 1 4 j7 1 6 r e s p e c t i v e l y h o w e v e r ib e c a u s eo ft h e e x i s t e n c eo ft h ep a r a m e t e r s7 a l g o r i t h m sm e n t i o n e da b o v ea r e l l te a s yt ob ei m p l e m e n t c db yc o m p u t e r i no r d e rt oc o n q u e rt h i sd r a w b a c k f e n gi n 9 f u r t h e r t r a n s f o r m e df r i e d m a n sm o d e li n t oam a t r i xe q u a t i o na n da p p l i e dc g t y p ea l g o r i t h mo ni t b a s e do nt h i sn e wm o d e l i nt h i sp a p e r w ew a n tt oe x t e n dg l f o m a n dg l g m r e sm e t h o d sp r o p o s e di nf 1 3 1t oi tt of o r mt w on e wm e t h o d sf o r s o l v i n g 佗 佗n o n s i n g u l a rf l s u s i n gt h e s e t h ee x a c ts o l u t i o nc a nb eo b t a i n e d i nm o s t2 ns t e p si nt h ea b s e n c eo fr o u n d i n ge r r o ra n dt h ei t e r a t i o ns t e p sd e c r e a s e e s p e c i a l l yf o rt h el a r g es p a r s es y s t e m f o rt h eg e n e r a lmx 礼f u z z yl i n e a rs y s t e m s a s a d 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xsi s s t 三 b c b c b c 一 b c i 2 b c t 一 b c t b c b c b yu s i n gg i n v e r s eo ft h em a t r i x z h c n ge ta 1 e x p r e s s e dt h es o l u t i o nt ot h e c o n s i s t e n ts y s t e m 1 3 a n dp o i n t e do u tt h a tw h e ns i sn o n n c g a t i v c 圣 s 一雪 i saf u z z ys o l u t i o nv e c t o rf o ra r b i t r a r yv e c t o ry i nt h ef o l l o w i n g w ew a n tt o p r o m o t et h i sr c s u l ta n dp r o v ei t t h e o r e m1 8 f o rt h ec o n s i s t e n ts y s t e m m a t r i xs 岔 s 一雪i sas o l u t i o nt ot h e f u z z ys o l u t i o n1 0 ra r b i t r a r yf u z z yv e c t o r 雪 1 3 a n d9 一i n v e r s es o ft h ec o e f f i c i e n t s y s t e m a n d 圣 s 一雪a d m i t sas t r o n g 矿a n do n l yi fs i sn o n n e g a t i v e p r o o f z h c n ge ta 1 1 6 h a dp r o v e dt h a t 岔 s 一雪i sas o l u t i o nt ot h es y s t e m 1 3 t h e ya l s oc e r t i f i e dt h a ti fs i sn o n n e g a t i v c t h e nf o ra r b i t r a r yv e c t o r 雪 圣 s 一雪a d m i t sas t r o n gf 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