考试点专业课：自动控制原理习题及解答.pdf

自动控制原理习题及其解答 第一章 略 第二章 例 2 1 弹簧 阻尼器串并联系统如图 2 1 示 系统为无质量模型 试建 立系统的运动方程 解 1 设输入为yr 输出为y0 弹簧与阻尼器并联平行移动 2 列写原始方程式 由于无质量按受力平衡方程 各处任何时刻 均满 足 0F 则对于A点有 0 21 KKf FFF 其中 Ff为阻尼摩擦力 FK1 FK2为弹性恢复力 3 写中间变量关系式 022 011 0 yKF YYKF dt yyd fF K rK r f 4 消中间变量得 02011 0 yKyKyK dt dy f dt dy f r r 5 化标准形 r r Ky dt dy Ty dt dy T 0 0 其中 21 5 KK T 为时间常数 单位 秒 21 1 KK K K 为传递函数 无量纲 例 2 2 已知单摆系统的运动如图 2 2 示 1 写出运动方程式 考试点w w w ka o s h id ia n c o m 2 求取线性化方程 解 1 设输入外作用力为零 输出为摆角 摆球质量为m 2 由牛顿定律写原始方程 hmg dt d lm sin 2 2 其中 l为摆长 l 为运动弧长 h为空气 阻力 3 写中间变量关系式 dt d lh 式中 为空气阻力系数 dt d l 为运动线速度 4 消中间变量得运动方程式 0sin 2 2 mg dt d al dt d ml 2 1 此方程为二阶非线性齐次方程 5 线性化 由前可知 在 0 的附近 非线性函数 sin 故代入式 2 1 可得线 性化方程为 0 2 2 mg dt d al dt d ml 例 2 3 已知机械旋转系统如图 2 3 所示 试列出系统运动方程 图 2 2 单摆运动 图 2 3 机械旋转系统 考试点w w w ka o s h id ia n c o m 解 1 设输入量作用力矩Mf 输出为旋转角速度 2 列写运动方程式 f Mf dt d J 式中 f 为阻尼力矩 其大小与转速成正比 3 整理成标准形为 f Mf dt d J 此为一阶线性微分方程 若输出变量改为 则由于 dt d 代入方程得二阶线性微分方程式 f M dt d f dt d J 2 2 例 2 4 设有一个倒立摆安装在马达传动车上 如图 2 4 所示 图 2 4 倒立摆系统 考试点w w w ka o s h id ia n c o m 倒立摆是不稳定的 如果没有适当的控制力作用在它上面 它将随时可能 向任何方向倾倒 这里只考虑二维问题 即认为倒立摆只在图 2 65 所示平面 内运动 控制力u作用于小车上 假设摆杆的重心位于其几何中心A 试求该 系统的运动方程式 解 1 设输入为作用力u 输出为摆角 2 写原始方程式 设摆杆重心A的坐标为 XA yA 于是 XA X lsin Xy lcos 画出系统隔离体受力图如图 2 5 所示 图 2 5 隔离体受力图 考试点w w w ka o s h id ia n c o m 摆杆围绕重心A点转动方程为 cossin 2 2 HlVl dt d J 2 2 式中 J为摆杆围绕重心A的转动惯量 摆杆重心A沿X轴方向运动方程为 H dt xd m A 2 2 即 Hlx dt d m sin 2 2 2 3 摆杆重心A沿y轴方向运动方程为 mgV dt yd m A 2 2 即 mgVl dt d m cos 2 2 小车沿x轴方向运动方程为 Hu dt xd M 2 2 方程 2 2 方程 2 3 为车载倒立摆系统运动方程组 因为含有 sin 和 cos 项 所以为非线性微分方程组 中间变量不易相消 3 当 很小时 可对方程组线性化 由 sin 同理可得到 cos 1 则 方程式 2 2 式 2 3 可用线性化方程表示为 考试点w w w ka o s h id ia n c o m Hu dt xd M mgV H dt d ml dt xd m HlVl dt d J 2 2 2 2 2 2 2 2 0 用 2 2 2 dt d S 的算子符号将以上方程组写成代数形式 消掉中间变量V H X得 ugmMsJ ml mM Ml 2 将微分算子还原后得 u dt d gmM dt d l J ml MJ Ml 2 2 此为二阶线性化偏量微分方程 例 2 5 RC无源网络电路图如图 2 6 所示 试采用复数阻抗法画出系统结 构图 并求传递函数Uc s Ur s 解 在线性电路的计算中 引入了复阻抗的概念 则电压 电流 复阻抗之间 的关系 满足广义的欧姆定律 即 sZ sI sU 如果二端元件是电阻R 电容C或电感L 则复阻抗Z s 分别是R 1 C s或L s 图 2 6 RC无源网络 考试点w w w ka o s h id ia n c o m 2 用复阻抗写电路方程式 sC SISV R SUSUSI sC SISISU R SUSUSI c cc c Cr 2 22 2 212 1 211 1 11 1 1 1 1 3 将以上四式用方框图表示 并相互连接即得RC网络结构图 见 图 2 6 a 4 用结构图化简法求传递函数的过程见图 2 6 c d e 图 2 6 RC无源网络结构图 a b c d 考试点w w w ka o s h id ia n c o m 5 用梅逊公式直接由图 2 6 b 写出传递函数Uc s Ur s KG G K 独立回路有三个 SCRSCR L 111 1 111 SCRSCR L 2222 2 111 SCRRSC L 1221 3 111 回路相互不接触的情况只有L1和L2两个回路 则 2 2211 2112 1 SCRCR LLL 由上式可写出特征式为 2 2211 122211 21321 1111 1 1 SCRCRSCRSCRSCR LLLLL 通向前路只有一条 2 21212211 1 11111 SCCRRSCRSCR G 由于G1与所有回路L1 L2 L3都有公共支路 属于相互有接触 则余子式为 1 1 代入梅逊公式得传递函数 考试点w w w ka o s h id ia n c o m 1 1 1111 1 1 212211 2 2121 2 2211 122211 2 221111 sCRCRCRsCCRR sCRCR sCRsCRsCR sCRCRG G 例 2 6 有源网络如图 2 7 所示 试用复阻抗法求网络传递函数 并根据 求得的结果 直接用于图 2 8 所 示 PI 调节器 写出传递函数 解 图 2 7 中Zi和 Zf表示运算放大器外部电路 中输入支路和反馈支路复阻抗 假设A点为虚地 即UA 0 运算放大器输入阻 抗很大 可略去输入电流 于是 I1 I2 则有 2 1 sZsIsU sZsIsU fc ii 故传递函数为 sZ sZ sU sU sG i f i c 2 4 对于由运算放大器构成的调节器 式 2 4 可看作计算传递函数的一般公式 对于图 2 8 所示 PI 调节器 有 1 RsZi CS RsZf 1 2 故 CSR CSR R CS R sZ sZ sG i f 1 2 1 2 1 1 图 2 8 PI 调节器 图 2 7 有源网络 考试点w w w ka o s h id ia n c o m 例 2 7 求下列微分方程的时域解x t 已知3 0 0 0 xx 063 2 2 x dt dx dt xd 解 对方程两端取拉氏变换为 0 6 0 3 3 0 0 2 sXxsSXxSxsXS 代入初始条件得到 3 63 2 sXSS 解出X s 为 22 2 2 15 5 1 2 15 5 32 63 3 S SS sX 反变换得时域解为 2 15 sin 5 32 5 1 tetx t 例 2 8 已知系统结 构图如图 2 9 所示 试用化 简法求传递函数C s R s 图 2 10 系统结构图的简化 图 2 9 系统结构图 考试点w w w ka o s h id ia n c o m 解 1 首先将含有G2的前向通路上的分支点前移 移到下面的回环之外 如图 2 10 a 所示 2 将反馈环和并连部分用代数方法化简 得图 2 10 b 3 最后将两个方框串联相乘得图 2 10 c 例2 9 已知系统结构图如图2 11所示 试用化简法求传递函数C s R s 解 1 将两条前馈通路分开 改画成图 2 12 a 的形式 2 将小前馈并联支路相加 得图 2 12 b 3 先用串联公式 再 用并联公式 将支路化简为图 2 12 c 图 2 11 系统结构图 图 2 12 系统结构图 考试点w w w ka o s h id ia n c o m 例 2 10 已知机械系统如图 2 13 a 所示 电气系统如图 2 13 b 所 示 试画出两系统结构图 并求出传递函数 证明它们是相似系统 解 1 若图 2 13 a 所示机械系统的运动方程 遵循以下原则并联 元件的合力等于两元件上的力相加 平行移动 位移相同 串联元件各元件受 力相同 总位移等于各元件相对位移之和 微分方程组为 yKF yxfF xxKxxfFFF ii 2 02 010121 取拉氏变换 并整理成因果关系有 1 1 2 0 2 011 sysF sf sx sF K sy SxsxKsfsF i 画结构图如图 2 14 图 2 13 系统结构图 a 机械系统 b 电气系统 考试点w w w ka o s h id ia n c o m 求传递函数为 s k f s k f s k f s k f s k f sfk sfk sfk sfk sX sX i 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 22 11 22 11 0 1 1 1 1 11 1 11 2 写图 2 13 b 所示电气系统的运动方程 按电路理论 遵循的定律 与机械系统相似 即并联元件总电流等于两元件电流之和 电压相等 串联元 件电流相等 总电压等于各元件分电压之和 可见 电压与位移互为相似量电 流与力互为相似量 运动方程可直接用复阻抗写出 1 1 22 20 2 01 1 21 sEsCsI sEsE R sI sEsEsCsEsE R sIsIsI C c iii 整理成因果关系 图 2 14 机械系统结构图 考试点w w w ka o s h id ia n c o m 1 1 220 2 2 01 1 sEIRsE sI SC sE sEsEsC R sI C c i 画结构图如图 2 15 所示 求传递函数为 SCRsCRSCR SCRSCR SC R SCR SC RsC R sE sE i212211 2211 2 2 11 2 21 10 1 1 1 1 1 11 1 1 1 对上述两个系统传递函数 结构图进行比较后可以看出 两个系统是相似 的 机一电系统之间相似量的对应关系见表 2 1 表 2 1 相似量 机械系 统 xi x0 y F F1 F2 K1 1 K2 f1 f2 电气系 统 ei e0 ec2 i i i 1 R R C1 C2 例 2 11 RC网络如图 2 16 所示 其中u1为网络输入量 u2为网络输出 图 2 15 电气系统结构图 考试点w w w ka o s h id ia n c o m 量 1 画出网络结构图 2 求传递函数U2 s U1 s 解 1 用复阻抗写出原始方程组 输入回路 sC IIIRU 2 21111 1 输出回路 sC IIIRU 2 21222 1 中间回路 2 1 211 1 I sC RRI 3 整理成因果关系式 sC IIU R I 2 211 1 1 1 1 1 12 1 112 sCR sC RII sC IIIRU 2 21222 1 即可画出结构图如图 2 17 所示 4 用梅逊公式求出 332211 1 2 GGG U U sCsCR sC sCR R sCR sC sCsCR sC sCR 212 1 21 2 12 1 212 1 21 1 1 1 1 1 1 1 1 图 2 16 RC网络 图 2 17 网络结构图 考试点w w w ka o s h id ia n c o m 1 1 111221 2 2121 121 2 2121 sCRCRCRsCCRR sCRRsCCRR 例 2 12 已知系统的信号流图如图 2 18 所示 试求传递函数C s R s 解 单独回路 4 个 即 21321 GGGGGLa 两个互不接触的回路有 4 组 即 321323121 GGGGGGGGGLL cb 三个互不接触的回路有 1 组 即 321 GGGLLL fed 于是 得特征式为 321323121321 221 1 GGGGGGGGGGGG LLLLLL fedcba 从源点R到阱节点C的前向通路共有 4 条 其前向通路总增益以及余因子 式分别为 KGGGP 3211 1 1 KGGP 322 12 1G KGGP 313 23 1G KGGGP 3214 1 4 因此 传递函数为 44332211 PPPP sR sC 图 2 18 信号流图 考试点w w w ka o s h id ia n c o m 321323121321 231132 221 1 1 GGGGGGGGGGGG GKGGGKGG 考试点w w w ka o s h id ia n c o m 第三章 例 3 1 系统的结构图如图 3 1 所示 已知传递函数 12 0 10 ssG 今欲采用加负反馈的办法 将过渡过 程时间ts减小为原来的 0 1 倍 并保证总放大系数不变 试确定参数Kh和K0的 数值 解 首先求出系统的传递函数 s 并整理为标准式 然后与指标 参 数的条件对照 一阶系统的过渡过程时间ts与其时间常数成正比 根据要求 总传递函数应为 110 2 0 10 s s 即 HH Ks K sGK sGK sR sC 1012 0 10 1 00 1 101 2 0 101 10 0 s s K K K H H 比较系数得 10101 10 101 10 0 H H K K K 解之得 9 0 H K 10 0 K 解毕 例 3 10 某系统在输入信号r t 1 t 1 t 作用下 测得输出响应为 考试点w w w ka o s h id ia n c o m t ettc 10 9 0 9 0 t 0 已知初始条件为零 试求系统的传递函数 s 解 因为 22 111 s s ss sR 10 1 10 10 9 09 01 22 ss s sss tcLsC 故系统传递函数为 11 0 1 ssR sC s 解毕 例 3 3 设控制系统如图 3 2 所示 试分析参数b的取值对系统阶跃响应动态性能的影响 解 由图得闭环传递函数为 1 sbKT K s 系统是一阶的 动态性能指标为 3 2 2 69 0 bKTt bKTt bKTt s r d 因此 b的取值大将会使阶跃响应的延迟时间 上升时间和调节时间 都加长 解毕 例 3 12 设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图 3 34 所示 试确定系 统的传递函数 考试点w w w ka o s h id ia n c o m 解 首先明显看出 在单位阶跃作用下响应的稳态值为 3 故此系统的增 益不是 1 而是 3 系统模型为 22 2 2 3 nn n ss s 然后由响应的 p M p t及相应公式 即可换算出 n 33 3 34 c ctc M p p 1 0 p t s 由公式得 33 2 1 eM p 1 0 1 2 n p t 换算求解得 33 0 2 33 n 解毕 例 3 13 设系统如图 3 35 所示 如果要求系统的超调量等于 15 峰值 时间等于 0 8s 试确定增益K1和速度反馈系数Kt 同时 确定在此K1和Kt数 1 Ts K bs 4 3 0 0 1 t 图 3 34 二阶控制系统的单位阶跃 响应 h t 考试点w w w ka o s h id ia n c o m 值下系统的延迟时间 上升时间和调节时间 解 由图示得闭环特征方程为 0 1 11 2 KsKKs t 即 2 1n K n nt t K 2 1 2 由已知条件 8 0 1 15 0 2 1 2 tn p p t eM tt 解得 1 588 4 517 0 s nt 于是 05 21 1 K 178 0 2 1 1 K K nt t st n tt d 297 0 2 06 01 2 st tn t tn r 538 0 1 arccos 1 22 st nt s 476 1 5 3 R s C s 图 3 35 1 1 ss K 1 Kts 考试点w w w ka o s h id ia n c o m 解毕 例 3 14 设控制系统如图 3 36 所示 试设计反馈通道传递函数H s 使 系统阻尼比提高到希望的 1值 但保持增益K及自然频率 n不变 解 由图得闭环传递函数 2 222 2 sHKss K s nnn n 在题意要求下 应取 sKsH t 此时 闭环特征方程为 0 2 22 nnnt sKKs 令 1 22 nt KK 解出 nt KK 2 1 故反馈通道传递函数为 n K s sH 2 1 解毕 例 3 15 系统特征方程为 0205102030 23456 sssss 试判断系统的稳定性 R s C s 图 3 36 例 3 14 控制系统结构图 H s 22 2 2 nn n ss K 考试点w w w ka o s h id ia n c o m 解 特征式各项系数均大于零 是保证系统稳定的必要条件 上述方程中 s一次项的系数为零 故系统肯定不稳定 解毕 例 3 16 已知系统特征方程式为 0516188 234 ssss 试用劳斯判据判断系统的稳定情况 解 劳斯表为 4 s 1 18 5 3 s 8 16 0 2 s 16 8 161188 5 8 0158 1 s 5 13 16 581616 0 0 s 5 5 13 01655 13 由于特征方程式中所有系数均为正值 且劳斯行列表左端第一列的所有项 均具有正号 满足系统稳定的充分和必要条件 所以系统是稳定的 解毕 例 3 17 已知系统特征方程为 05322 2345 sssss 试判断系统稳定性 解 本例是应用劳斯判据判断系统稳定性的一种特殊情况 如果在劳斯行 列表中某一行的第一列项等于零 但其余各项不等于零或没有 这时可用一个 很小的正数 来代替为零的一项 从而可使劳斯行列表继续算下去 考试点w w w ka o s h id ia n c o m 劳斯行列式为 5 s 1 2 3 4 s 1 2 5 3 s 0 2 2 s 22 5 1 s 22 544 2 0 s 5 由劳斯行列表可见 第三行第一列系数为零 可用一个很小的正数 来代 替 第四行第一列系数为 2 2 当 趋于零时为正数 第五行第一列系数 为 4 4 5 2 2 2 当 趋于零时为2 由于第一列变号两次 故有两个根在右半s平面 所以系统是不稳定的 解毕 例 3 18 已知系统特征方程为 01616201282 23456 ssssss 试求 1 在s右半平面的根的个数 2 虚根 解 如果劳斯行列表中某一行所有系数都等于零 则表明在根平面内存在 对原点对称的实根 共轭虚根或 和 共轭复数根 此时 可利用上一行的系 数构成辅助多项式 并对辅助多项式求导 将导数的系数构成新行 以代替全 部为零的一行 继续计算劳斯行列表 对原点对称的根可由辅助方程 令辅助 多项式等于零 求得 考试点w w w ka o s h id ia n c o m 劳斯行列表为 6 s 1 8 20 16 5 s 2 12 16 4 s 2 12 16 3 s 0 0 由于 3 s 行中各项系数全为零 于是可利用 4 s 行中的系数构成辅助多项式 即 16122 24 sssP 求辅助多项式对s的导数 得 ss s sdP 248 3 原劳斯行列表中s3行各项 用上述方程式的系数 即 8 和 24 代替 此时 劳斯行列表变为 6 s 1 8 20 5 s 2 12 16 4 s 2 12 16 3 s 8 24 2 s 6 16 1 s 2 67 0 s 16 新劳斯行列表中第一列没有变号 所以没有根在右半平面 对原点对称的根可解辅助方程求得 令 考试点w w w ka o s h id ia n c o m 016122 24 ss 得到 2js 和2js 解毕 例 3 19 单位反馈控制系统的开环传递函数为 1 1 2 csbsass K sG 试求 1 位置误差系数 速度误差系数和加速度误差系数 2 当参考输入为 1 tr 1 trt 和 1 2 trt 时系统的稳态误 差 解 根据误差系数公式 有 位置误差系数为 1 1 lim lim 2 00 csbsass K sGK ss p 速度误差系数为 K csbsass K sssGK ss v 1 1 lim lim 2 00 加速度误差系数为 0 1 1 lim lim 2 2 0 2 0 csbsass K ssGsK ss a 对应于不同的参考输入信号 系统的稳态误差有所不同 参考输入为 1 tr 即阶跃函数输入时系统的稳态误差为 0 11 r K r e p ss 考试点w w w ka o s h id ia n c o m 参考输入为 1 trt 即斜坡函数输入时系统的稳态误差为 K r K r e v ss 参考输入为 1 2 trt 即抛物线函数输入时系统的稳态误差为 0 22r K r e a ss 解毕 例 3 20 单位反馈控制系统的开环传递函数为 1 1 10 21 sTsTs sG 输入信号为r t A t A为常量 0 5 弧度 秒 试求系统的稳态 误差 解 实际系统的输入信号 往往是阶跃函数 斜坡函数和抛物线函数等典 型信号的组合 此时 输入信号的一般形式可表示为 2 210 2 1 trtrrtr 系统的稳态误差 可应用叠加原理求出 即系统的稳态误差是各部分输入 所引起的误差的总和 所以 系统的稳态误差可按下式计算 avp ss K r K r K r e 210 1 对于本例 系统的稳态误差为 vp ss KK A e 1 本题给定的开环传递函数中只含一个积分环节 即系统为 1 型系统 考试点w w w ka o s h id ia n c o m 所以 p K 10 1 1 10 lim lim 21 00 sTsTs sssGK ss v 系统的稳态误差为 05 0 10 5 0 101011 A KK A e vp ss 解毕 例3 21 控制系统的结构图如图3 37所示 假设输入信号为r t at a为 任意常数 证明 通过适当地调节Ki的值 该系统对斜坡输入的响应的稳态误差能达 到零 解 系统的闭环传递函数为 KTss sKK sR sC i 1 1 即 1 2 sR KsTs sKK sC i 因此 R s C s 图 3 37 例 3 21 控制系统的结构图 Kis 1 1 Tss K 考试点w w w ka o s h id ia n c o m 2 2 sR KsTs sKKsTs sCsR i 当输入信号为r t at时 系统的稳态误差为 K KKa KsTs KKTsa KsTs KKTsa s a KsTs sKKsTs se ii s i s i s ss 1 1 lim 1 limlim 2 0 2 0 22 2 0 要使系统对斜坡输入的响应的稳态误差为零 即ess 0 必须满足 01 i KK 所以 KKi 1 解毕 例 3 22 设单位负反馈系统开环传递函数为 1 Ts K KsG g p 如果要求系 统的位置稳态误差ess 0 单位阶跃响应的超调量Mp 4 3 试问Kp Kg T 各参数之间应保持什么关系 解 开环传递函数 2 1 1 2 n n gpgp ss T ss TKK Tss KK sG 显然 T KK gp n 2 T n 1 2 解得 考试点w w w ka o s h id ia n c o m 2 4 1 TKK gp 由于要求 3 4 100 2 1 eM p 故应有 0 707 于是 各参数之间应有如下关系 5 0 TKK gp 本例为I型系统 位置稳态误差ess 0 的要求自然满足 解毕 例 3 23 设复合控制系统如图 3 38 所示 其中 12 21 KK sT25 0 2 1 32 KK 试求 1 2 1 2 ttttr 时 系统的稳态误差 解 闭环传递函数 24 5 0 4 1 2 21 2 2 21 1 3 ss s KKssT KK s K K s 等效单位反馈开环传递函数 2 12 2 1 s s s s sG 表明系统为 II 型系统 且 1 2 2 sTs K sK3 K1 C s R s 图 3 38 复合控制系统 考试点w w w ka o s h id ia n c o m 2 KKa 当 1 2 1 2 ttttr 时 稳态误差为 5 0 1 ass Ke 解毕 例 3 24 已知单位反馈系统的开环传递函数 1 TssKsG 试选 择参数K 及T的值以满足下列指标 1 当r t t时 系统的稳态误差ess 0 02 2 当r t 1 t 时 系统的动态性能指标Mp 30 ts 0 3s 5 解 02 0 1 K ess 开环增益应取K 50 现取K 60 因 2 1 2 n n ssTss TK sG 故有 n T 2 1 TK n 2 于是 K n 2 取2 0 p M 计算得 456 0 ln ln 22 2 p p M M 72 54 n 此时 3 014 0 5 3 成立 由劳斯稳定判据 闭环系统稳定 且与待求参数a b 无关 此时 讨 论稳态误差是有意义的 而 3 21221 2 21 3 21 2 2 221 3 21 1 1 1 sKKsTKKsTTsTT sbKsaKTTsTT sE 若 010 2221 bKaKTT 则有 21221 2 21 3 21 21 1 KKsTKKsTTsTT TT sE 系统的稳态误差为 0 lim 0 ssEe s ss 因此可求出待定参数为 22 21 1 K b K TT a 解毕 例 3 26 控制系统结构如图 3 40 所示 误差E s 在输入端定义 扰动输 105 0 s K 5 s K 2 5 图 3 40 控制系统结构图 C s R s E s N s 考试点w w w ka o s h id ia n c o m 入是幅值为 2 的阶跃函数 1 试求K 40 时 系统在扰动作用下的稳态输出和稳态误差 2 若K 20 其结果如何 3 在扰动作用点之前的前向通道中引入积分环节 1 s 对结果有何影 响 在扰动作用点之后的前向通道中引入积分环节 1 s 结果又如何 解 在图中 令 105 0 1 s K G 5 1 2 s G 5 2 H 则 212 sEGGsNGsC 代入 sHCsRsE 得 1 1 21 21 21 2 sR HGG GG sN HGG G sC 令0 sR 得扰动作用下的输出表达式 1 21 2 sN HGG G sCn 此时 误差表达式为 1 21 2 sN HGG HG sHCsRsE nn 即 1 lim lim 21 2 00 ssN HGG HG ssEe s n s ssn 而扰动作用下的稳态输出为 考试点w w w ka o s h id ia n c o m 1 lim lim 21 2 00 ssN HGG G ssCC s n s n 代入N s G1 G2和H的表达式 可得 K cn 5 21 2 K essn 5 21 5 1 当40 K时 101 2 n c 101 5 ssn e 2 当20 K时 51 2 n c 51 5 ssn e 可见 开环增益的减小将导致扰动作用下系统稳态输出的增大 且稳态误 差的绝对值也增大 若 1 s加在扰动作用点之前 则 105 0 1 ss K G 5 1 2 s G 5 2 H 不难算得 0 n c 0 ssn e 若 1 s加在扰动作用点之后 则 105 0 1 s K G 5 1 2 ss G 5 2 H 容易求出 时 时 20 50 2 40 100 2 5 2 2 K K K cn 时 时 20 50 5 40 100 5 5 2 5 K K K essn 可见 在扰动作用点之前的前向通道中加入积分环节 才可消除阶跃扰动 产生的稳态误差 解毕 考试点w w w ka o s h id ia n c o m 例 3 27 设单位反馈系统的开环传递函数为 2 2 n n ss sG 已知系统的误差响应为 tt eete 73 3 07 1 4 04 1 t 0 试求系统的阻尼比 自然振荡频率 n和稳态误差ess 解 闭环特征方程为 02 22 nns s 由已知误差响应表达式 易知 输入必为单位阶跃函 1 t 且系统为过阻 尼二阶系统 故 ttTtTt eeeete 73 3 07 1 4 04 14 04 1 21 即 系统时间常数为 93 0 1 T27 0 2 T 令 21 22 11 2 T s T sss nn 得 21 21 2 1 TT TT 21 2 1 TT n 代入求出的时间常数 得 2 1 2 n 稳态误差为 0 lim tee t ss 实际上 I 型系统在单位阶跃函数作用下 其稳态误差必为零 解毕 考试点w w w ka o s h id ia n c o m 第四章 例 4 1 设系统的开环传递函数为 2 1 2 sss K sHsG 试绘制系统的根轨迹 解 根据绘制根轨迹的法则 先确定根轨迹上的一些特殊点 然后绘制其根 轨迹图 1 系统的开环极点为0 1 2 是根轨迹各分支的起点 由于系统 没有有限开环零点 三条根轨迹分支均趋向于无穷远处 2 系统的根轨迹有3 mn条渐进线 渐进线的倾斜角为 03 180 12 12 K mn K a 取式中的K 0 1 2 得 a 3 5 3 渐进线与实轴的交点为 1 3 210 1 11 m i i n j ja zp mn 三条渐近线如图 4 13 中的虚线所示 3 实轴上的根轨迹位于原点与 1 点之间以及 2 点的左边 如图 4 13 中的粗实线所示 4 确定分离点 系统的特征方程式为 0223 23 Ksss 即 考试点w w w ka o s h id ia n c o m 23 2 1 23 sssK 利用0 dsdK 则有 0 26 2 1 23 ss ds dK 解得 423 0 1 s 和 577 1 2 s 由于在 1 到 2 之间的实轴上没有根轨迹 故s2 1 577 显然不是所要 求的分离点 因此 两个极点之间的分离点应为s1 0 423 5 确定根轨迹与虚轴的交点 方法一 利用劳斯判据确定 劳斯行列表为 3 s 1 2 2 s 3 2K 1 s 3 26K 0 0 s 2K 由劳斯判据 系统稳定时K的极限值为 3 相应于K 3 的频率可由辅助方 程 06323 22 sKs 确定 解之得根轨迹与虚轴的交点为2js 根轨迹与虚轴交点处的频率为 41 1 2 方法二 令 js 代入特征方程式 可得 02 2 3 23 Kjjj 考试点w w w ka o s h id ia n c o m 即 0 2 32 22 jK 令上述方程中的实部和虚部分别等于零 即 032 2 K 02 2 所以 2 3 K 6 确定根轨迹各分支上每一点的K 值 根据绘制根轨迹的基本法则 当从开环极点 0 与 1 出发的两条根轨迹分 支向右运动时 从另一极点 2 出发的根轨迹分支一定向左移动 当前两条根 轨迹分支和虚轴在K 3 处相交时 可按式 3 41 1 0 41 1 0 jj x 求出后一条根轨迹分支上K 3 的点为 x 3 由 4 知 前两条根轨迹分支离开实轴时的相应根值为 0 423 j0 因 此 后一条根轨迹分支的相应点为 3 423 0 423 0 x 所以 x 2 154 因本系统特征方程式的三个根之和为 2K 利用这一关系 可确定根轨迹 各分支上每一点的K值 现在已知根轨迹的分离点分别为 0 423 j0 和 2 154 该点的K值为 154 2 423 0 2 2 K 即 K 0 195 系统的根轨迹如图 4 1 所示 考试点w w w ka o s h id ia n c o m 例 4 2 设控制系统的开环传递函数为 22 3 2 3 2 ssss sK sHsG 试绘制系统的根轨迹 解 1 系统的开环极点为 0 3 1 j 和 1 j 它们是根轨迹上 各分支的起点 共有四条根轨迹分支 有一条根轨迹分支终止在有限开环零点 2 其它三条根轨迹分支将趋向于无穷远处 2 确定根轨迹的渐近线 渐近线的倾斜角为 03 180 12 12 K mn K a 取式中的K 0 1 2 得 a 3 5 3 或 60 及 180 图 4 1 例 4 1 系统的根轨迹 S 平面 j 考试点w w w ka o s h id ia n c o m 三条渐近线如图 4 14 中的虚线所示 渐近线与实轴的交点为 1 14 2 1130 1 11 jj zp mn m i i n j ja 3 实轴上的根轨迹位于原点与零点 2 之间以及极点 3 的左边 如 图 4 14 中的粗线所示 从复数极点 1 j 出发的两条根轨迹分支沿 60 渐 近线趋向无穷远处 4 在实轴上无根轨迹的分离点 5 确定根轨迹与虚轴的交点 系统的特征方程式为 0 2 3 22 3 2 sKssss 即 06 36 85 234 KsKsss 劳斯行列表 4 s 1 8 K6 3 s 5 K36 2 s 5 36 40K K6 1 s K K K 334 150 36 0 0 s 6 若阵列中的s1行等于零 即 6 3K 150K 34 3K 0 系统临界稳 定 考试点w w w ka o s h id ia n c o m 解之可得K 2 34 相应于K 2 34 的频率由辅助方程 034 2 30 34 2 36 40 2 s 确定 解之得根轨迹与虚轴的交点为s j1 614 根轨迹与虚轴交点处的频率 为 1 614 6 确定根轨迹的出射角 根据绘制根轨迹的基本法则 自复数极点p1 1 j 出发的根轨迹的 出射角为 j p pp p k 13212180 1111 将由图 4 14 中测得的各向量相角的数值代入并取k 0 则得到 6 26 系统的根轨迹如图 4 14 所示 S 平面 j 1 2 3 4 0 j1 j2 j3 j3 135 45 90 26 6 图 4 2 例 4 2 系统的根轨迹 考试点w w w ka o s h id ia n c o m 例 4 3 已知控制系统的开环传递函数为 50 20 5 125 0 2 ssss sK sHsG 试绘制系统的根轨迹 解 1 系统的开环极点为 0 0 5 20 和 50 它们是根轨迹各分 支的起点 共有五条根轨迹分支 开环零点为 0 125 有一条根轨迹分支终 止于此 其它四条根轨迹分支将趋向于无穷远处 2 确定根轨迹的渐近线 渐进线的倾斜角为 15 180 12 12 K mn K a 取式中的K 0 1 2 3 得 a 45 和 a 135 渐近线与实轴的交点为 8 18 4 125 0 5020500 1 11 m i i n j ja zp mn 3 实轴上的根轨迹位于 0 125 和 5 之间以及 20 与 50 之间 4 确定根轨迹的分离点和会合点 本例中 系统各零点 极点之间相差很大 例如 零点 0 125 与极点0之 间仅相距 0 125 而零点 0 125 与极点 50 之间却相差 49 875 因此 可作 如下简化 在绘制原点附近的轨迹曲线时 略去远离原点的极点的影响 在绘 制远离原点的轨迹曲线时 略去零点和一个极点的影响 6 求原点附近的根轨迹和会合点 略去远离原点的极点 传递的函数可简化为K s 0 125 s2 零点 0 125 考试点w w w ka o s h id ia n c o m 左边实轴是根轨迹 并且一定有会合点 原点处有二重极点 其分离角为 90 确定会合点的位置 此时 系统的特征方程式为 0125 0 2 KKss 或 125 0 2 s s K 利用0 dsdK 则有 0 125 0 125 0 2 2 2 s sss ds dK 解之可得 s1 0 25 即会合点 s2 0 即重极点的分离点 B 求远离原点的根轨迹和分离角 略去原点附近的开环偶极子 零点 0 125 和极点 0 传递函数可简化 为 50 20 5 ssssKsGH 此时 系统的特征方程式为 0 50 20 5 Kssss 或表示为 50 20 5 1 ssss K 利用0 dsdK 则有 0 50 20 5 500027002254 2 23 ssss sss ds dK 解之可得s1 2 26 和 s2 40 3 分离点的分离角为 90 考试点w w w ka o s h id ia n c o m 注意 在零点 0 125 和极点 5 之间的根轨迹上有一对分离点 2 26 j0 和 2 5 j0 5 确定根轨迹与虚轴的交点 令 js 代入特征方程式 可得 0 125 0 50 20 5 2 jKjjjj 整理后有 0500075 2 01350 24 K 解之得 16 8 4 1065 8 K 系统的根轨迹如图 4 3 所示 例 4 4 设控制系统的结构图如图 4 所示 图 4 3 例 4 3 系统的根轨迹 S 平面 j 考试点w w w ka o s h id ia n c o m 试证明系统根轨迹的一部分是圆 解 系统的开环极点为 0 和 2 开环零点为 3 由根轨迹的幅角条件 12 11 Kpsnzs m ij ji 得 12 2 3 ksss s为复数 将 js 代入上式 则有 12 2 3 Kjjj 即 2 tan180tan 3 tan 111 取上述方程两端的正切 并利用下列关系 yx yx yx tantan1 tantan tan 有 图 4 4 控制系统的结构图 R s C s 2 3 ss sK 考试点w w w ka o s h id ia n c o m 2 11 3 3 3 1 3 tan 3 tantan 2 2 01 2 0 2 tan180tan 1 2 3 3 2 即 222 3 3 这是一个圆的方程 圆心位于 3 j0 处 而半径等于 3 注意 圆 心位于开环传递函数的零点上 证毕 例 4 15 已知控制系统的开环传递函数为 164 1 1 2 ssss sK sHsG 试绘制系统的根轨迹 并确定系统稳定时K值的范围 解 1 系统的开环极点为 0 1 和 2 j3 46 开环零点为 1 2 确定根轨迹的渐近线 渐渐线的倾斜角为 14 180 12 12 K mn K a 考试点w w w ka o s h id ia n c o m 取式中的K 0 1 2 得 a 3 5 3 渐进线与实轴的交点为 3 2 3 1 46 3 246 3 210 1 11 jj zp mn m i i n j ja 3 实轴上的根轨迹位于 1 和 0 之间以及 1 与 之间 4 确定根轨迹的分离点 系统的特征方程式为 0 1 164 1 2 sKssss 即 1 164 1 2 s ssss K 利用0 dsdK 则有 0 1 162421103 2 234 s ssss ds dK 解之可得 分离点d1 0 46 和 d2 2 22 5 确定根轨迹与虚轴的交点 系统的特征方程式为 0 16 123 234 KsKsss 劳斯行列表为 4 s 1 12 K 3 s 3 K 16 2 s 3 52K K 考试点w w w ka o s h id ia n c o m 1 s K KKK 52 83215059 2 0 0 s K 若阵列中的s1行全等于零 即 0 52 83215059 2 K KKK 系统临界稳定 解之可得K 35 7 和 K 23 3 对应于K值的频率由辅助方 程 0 3 52 2 Ks K 确定 当K 35 7 时 s j2 56 当K 23 3 时 s j1 56 根轨迹与虚轴的交点处的频率为 2 56 和 1 56 6 确定根轨迹的出射角 自复数极点 2 j3 46 出发的出射角 根据绘制根轨迹基本法则 有 180 12 90 5 130120106K 因此 开环极点 2 j3 46 的出射角为 1 2 54 5 系统的根轨迹如图 4 17 所示 由图 4 17 可见 当 23 3 K4 时 闭环系统将出现一对 实部为正的复数根 系统不稳定 所以 使系统稳定的开环增益范围为 0 K0 先做出常规根轨迹 系统开环有限零点z1 2 z2 4 开环有限极点为 p1 p2 0 p3 1 p3 3 实轴上的根轨迹区间为 4 3 2 1 根轨迹有两条渐近线 且 a 1 a 90 作等效系统的根轨迹如图 4 8 所示 图知 待求代数方程根的 初始试探点可在实轴区间 4 3 和 2 1 内选择 确定了实根以后 运用长除法 可确定其余根 初选s1 1 45 检查模 值 046 1 4 2 1 3 11 11 2 1 ss sss Kg 由于Kg 1 故应增大s1 选s1 1 442 得Kg 1 003 初选s2 3 08 检查模值得Kg 1 589 由于Kg 1 故应增大s2 选s2 3 06 得Kg 1 162 经几次试探后 得Kg 0 991 时s2 3 052 设 0 052 3 442 1 sBsssD 运用多项式的长除法得 S 平面 j 0 1 2 3 4 图 4 8 例 4 7 系统的根轨迹 考试点w w w ka o s h id ia n c o m 819 1 494 0 2 ssB 解得326 1 257 0 4 3 js 解毕 例 4 8 已知负反馈系统的开环传递函数 204 4 2 ssss K sHsG g 试概略绘制闭环系统的根轨迹 解 按照基本法则依次确定根轨迹的参数 1 系统无开环有限零点 开环极点有四个 分别为 0 4 和 2 j4 2 轴上的根轨迹区间为 4 0 3 根轨迹的渐近线有四条 与实轴的交点及夹角分别为 a 2 a 45 135 4 复数开环极点p3 4 2 j4 处 根轨迹的起始角为 p3 4 90 5 确定根轨迹的分离点 由分离点方程 0 42 1 42 1 4 11 jdjddd 解得 2 1 d 62 3 2 jd 因为 2 1 d 时 064 g K 62 3 2 jd 时 0100 g K 所以 d1 d2 d3皆为闭环系统根轨迹的分离点 6 确定根轨迹与虚轴的交点 系统闭环特征方程为 考试点w w w ka o s h id ia n c o m 080368 234 g KsssssD 列写劳斯表如下 4 s 1 36 g K 3 s 8 80