91年数学科学科能力测验试卷.doc

91年 數學科 學科能力測驗試卷_科_班 學號_姓名_總 分第一部分選擇題一、單一選擇題說明第1至6題每題選出最適當的一個選項每題答對得5分答錯不倒扣( ). 設P(x , y)為坐標平面上一點且滿足那麼P點的位置在哪裡 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 x軸或y軸上( ). 一群登山友在山上發現一棵巨樹隊中10位身高170公分的男生手拉著手剛好環抱大樹一圈.問樹幹的直徑最接近下列何值 3公尺 5公尺 7公尺 9公尺 11公尺( ). ( ). 若某校1000位學生的數學段考成績平均分數是65.24分樣本標準差是5.24分而且已知成績分布呈現常態分配試問全校約有多少人數學成績低於60分 約80人 約160人 約240人 約320人 約400人( ). ( ). 二、多重選擇題說明第1至6題每題至少有一個選項是正確的選出正確選項每題答對得5分答錯不倒扣未答者不給分只錯一個可獲2.5分錯兩個或兩個以上不給分( ). 若實數abc滿足abc0abbcca0abc0abc則下列選項何者為真 a0 b0 c0 |a|b| a2c2( ). 一機器狗每秒鐘前進或者後退一步程式設計師讓機器狗以前進3步然後再後退2步的規律移動如果將此機器狗放在數線的原點面向正的方向以1步的距離為1單位長令P(n)表示第n秒時機器狗所在位置的坐標且P(0)0那麼下列選項何者為真 P(3)3 P(5)1 P(10)2 P(101)21 P(103)P(104)( ). 下列哪些選項與方程組的解集合相同 y0 xy0 ( ). 觀察相關的函數圖形判斷下列選項何者為真 10xx有實數解 10xx2有實數解 為實數時10xx恆成立 x0時10xx2恆成立 10xx有實數解( ). 某甲自89年7月起每月1日均存入銀行1000元言明以月利率0.5%按月複利計息到90年7月1日提出某乙則於89年7月起每單月（一月三月五月）1日均存入銀行2000元亦以月利率0.5%按月複利計息到90年7月1日提出一整年中兩人都存入本金12000元提出時甲得本利和A元乙得本利和B元問下列選項何者為真 BA A1000 B2000 A12000 B12000( ). 在ABC中下列哪些選項的條件有可能成立sinAsinBsinC sinAsinBsinC均小於 sinAsinBsinC均大於 sinAsinBsinC sinAsinBsinC第二部分填充題說明每題完全答對給5分答錯不倒扣未完全答對不給分. . 2201與2191的最大公因數為_. 某公司民國85年營業額為4億元民國86年營業額為6億元該年的成長率為50%878889三年的成長率皆相同且民國89年的營業額為48億元則該公司89年的成長率為_%. . 某次網球比賽共有128位選手參加採單淘汰制每輪淘汰一半的選手剩下一半的選手進入下一輪在第1輪被淘汰的選手可獲得1萬元在第2輪被淘汰的選手可獲得2萬元在第k輪被淘汰的選手可獲得2k1萬元而冠軍則可獲得128萬元試問全部比賽獎金共_萬元. 某人隔河測一山高在A點觀測山時山的方位為東偏北60山頂的仰角為45某人自A點向東行600公尺到達B點山的方位變成在西偏北60則山有多高答_公尺. 有一群體有九位成員其身高分別為160163166170172174176178180（單位公分）此九人的平均身高為171公分今隨機抽樣3人則抽到3人的平均身高等於母體平均身高的機率為_（化成最簡分數）. 參考公式及可能用到的數值1.一元二次方程式ax2bxc0的公式解x2.通過(x1 , y1)與(x2 , y2)的直線斜率m3.等比級數arn1的前n項之和Snr14.ABC的正弦及餘弦定理(1)2RR為外接圓的半徑（正弦定理）(2)c2a2b22abcosC（餘弦定理）5.統計公式算術平均數M()(x1x2xn)標準差S相關係數r其中SX為隨機變數X之標準差SY為隨機變數Y之標準差6.常態分布的資料對稱於平均數M且當標準差為S時該資料大約有68%落在區間(MS , MS)內約有95%落在區間(M2S , M2S)內約有99.7%落在區間(M3S , M3S)內7.參考數值1.4141.7322.2362.4493.1428.對數值log1020.3010log1030.4771log1050.6990log1070.84519.答 案 第一部分選擇題一、單一選擇題 . A . B . C . B . D . B二、多重選擇題 . ADE . ABCD . BDE . BCDE . 全 . ABE第二部分填充題 . 85 . 3 . 100 . 20 . 576 . 600 . . 解 析 第一部分選擇題一、單一選擇題. 由 知雙手長度約等於身高170公分1.7公尺樹幹圓周長2r10 1.717公尺. 由圖 . 91學測參考資料6常態分布的資料對稱於平均數M且當標準差為S時該資料有68%落在區間（MSMS）內本題低於60分者恰為低於平均分數一個標準差者(65.245.24)配合參考資料6得低於60分約有1000 160人. 圖形最高點約在(2 , 4)而選項沒有最高點最高點在(2k , 4)最高點在(2k , 2)最高點在(2 , 4)沒有最高點. 斜角45故P點坐標可設成(t , t)(t0)又P在1上故1(t0)解得t二、多重選擇題. abc0abcabc0abbcca0 僅有a0b0c0合乎所有已知條件abc0 a(bc)0|a|bc| 即|a|b|且|a|c| a2c2故成立. 機器狗的行進方式如圖表示每5秒鐘前進一步P(3)3 P(103)323 P(104)23122 P(103)P(104) 故選. x：y：z：(3)：0：2令 x：y：z：3：0：(2)（合）. 10xx . 因每期期初存入P元每期利率為r則n期後本利和為P(1r)nP(1r)n1P(1r)故A1000B2000B10002()22()42()12 1000()1()2()3()4 ()11()12AA1000()1()2()12 100012()1212000()12B2000()2()4()12 20006()1212000()12. sin1()6018060120sin1()3018030150因0r 10時若sinr則sin1r或sin1r及0 時sin為遞增函數 時sin為遞減函數故ABC60或120取ABC60即可取AB10C160即可60ABC120此時180ABC故不可能ABC30或150不論如何選取ABC恆不為180故不可能AB30或150C60或120取AB30C120即可第二部分填充題. 設圓半徑為r. 設最大公因數為d則d2201且d2191 d(2191) 2(1)(2201) d3d1或3又22014101(31)1013k1113k1219149 21(31)9 21(3k21) 21 3(2k21)32201且32191最大公因數為3. 由題意知若前後兩年營業額為A及A則第二年之成長率r 100%或A(1r)A設878889三年之成長率為x8788二年營業額分別為ab億則48(1x)b(1x)2a(1x)3 6故1x2即x1100%. 6