含参数函数不等式恒成立问题的通性通法_王文英.pdf

学知识纳入已有的知识系统之中 形成学生自己的 认知结构 突出重点 抓住关键 培养学生概括能力 通过提炼数学的基本思想方法 使学生掌握数学的 精髓和本质 提高数学素养 2 7分层作业 课后延伸 1 必做题 课本第 50 页习题 第 3 4 5 题 2 课后探究题 利用定义计算定积分 1 0 2x x2 dx 并从几何上解释这个值表示什么 评析第一部分为课本习题 全班学生必须完 成 是基本要求 第二部分课后探究题 是较高要求 鼓励学有余力的学生完成 分层作业 既巩固知识 形成技能 利于通过作业发现教学中的遗漏和不足 又尊重了学生个体差异 因材施教 兼顾了学习有 困难和学有余力的学生 满足了不同层次学生的学 习需求 让他们的数学才能获得了最佳的发展 3教学反思 定积分的概念这节课目标在于让学生在研究曲 边梯形的面积和变速直线运动路程的基础上 通过 概括他们的共同特征 了解定积分的概念 借助几何 直观体会定积分的基本思想 掌握定积分的几何意 义 并能根据定积分的定义求简单的定积分 本节课 主要是教师引导 以学生为主体 师生共同探究得 出 概念的给出是重点 因此 我设计两个学生熟悉 的实际例子 曲边梯形面积和变速直线运动路程 问题 通过分析它们的共同特征力求得出定积分的 定义 做到了既贴近学生的最近发展区 又有效地达 成了本节课的教学标准 成功之处在本节课教学中 我应用了由特殊 到一般的数学思想 先给出了定积分粗略的定义 再 通过两个例子去感受对于一般函数 如何给定积分 下定义 进而得出了定积分的概念 这样的设计比较 适合学生的学情 因此学生对定积分的理解很透彻 对于符号细致地分析也帮助学生排除了对新符号的 陌生感 几何意义也顺其自然地得出 通过例题的设 计 学生可以结合前面的基础 熟练地运用 四部 曲 定义法求定积分 也加深了对定义的理解 与深化 达到了本节课的目标 改进之处由于部分学生对前两课时中 以直 代曲 以不变代变 的 逼近 思想方法理解不够深 刻 只是停留在记忆四个步骤 分割 近似代替 求和 取极限上 致使定积分概念的得出不是很自 然 在得出定积分概念后 第一个问题探究 的 探究环节 学生探究成分不够深 作者简介 杨瑞强 1979 男 湖北黄冈人 中学一级 教师 本科 主要从事数学教育与中学教学研究 近五年发表 文章三十余篇 含参数函数不等式恒成立问题的通性通法 北京市朝阳区教研中心100028王文英 据笔者不完全统计 截止 2011 年底全国各种中 学数学杂志针对本文题目 1 题目 2 第二问 通常称 为含参数函数不等式恒成立问题 的解法刊发了近 20 余篇文章 大多是 譬如文 1 2 3 运用 最值法 分离参数法 以及大学数学的二阶导 数 洛必达法则求极限等知识的方法给出解答 其中 文 3 在指责高考参考答案的不自然 不大众化 技 巧性过强的基础上 把 最值法 分离参数法 作 为通性通法 同时 笔者在一些学校调研听课中 发 现老师们讲解本类问题求解时也总是把 分离参数 法 或 最值法 作为通性通法 笔者不否认学生学 习了高阶导数 洛必达法则以及极限的知识 将这两 种方法作为通性通法 但现在的问题是 一方面 如果补充这些内容无 疑加重了学生的学习负担 并不像文 3 所说 无非 是对函数求了二阶导数 对于连续求导的思想学生 应该能够理解并掌握 那么轻松简单 并且这与新 课标所倡导的减负增效理念是相悖的 另一方面 高 考试题是命题专家在研究课标 教材 考试大纲和学 生实际基础上集体智慧的结晶 强调考查通性通法 淡化技巧 对中学数学教学应具有良好的导向作用 是高考命题的原则之一 从高考提供的对本类问题 的参考答案也可以看出并没有用到高阶导数 洛必 达法则以及极限的知识 笔者不禁要问 高考参考 答案的解法真的如同文 3 文 4 所说 不自然 不 大众化 学生想不到 非解答本类问题的通性 92 中学数学杂志2012 年第 5 期ZHONGXUESHUXUEZAZHI 通法 还是我们教师对本类问题以及参考答案的 解法认识与理解不到位 教学不到位致使学生想不 到呢 这类问题源自哪里 本质是什么 中学阶段 求解这类问题的通性通法到底是什么 1含参数函数不等式恒成立问题源自函数的单调 性 本质是比较函数值大小 对函数单调性的讨论是 求解本类问题的通性通法 我们不妨回忆一下 人教 A 版新课标教材模块 1 第 38 页关于 函数单调性 这一数学概念的定 义 如果对于函数 f x 定义域 I 内的某区间 D 上的 任意两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 或 f x1 f x2 那么就说函数 f x 在 区间D上是增函数 或减函数 如果函数f x 在区 间 D 上是增函数或减函数 那么就说函数 f x 在这 一区间 D 上具有严格的单调性 众所周知 任何数学概念的定义都具有判定和性 质双重功能 函数单调性定义的性质功能为 函数 f x 在区间 D 上具有单调性 且 x1 x2 D x1 x2 则一定有不等式f x1 f x2 或f x1 f x2 恒成立 显然 函数不等式恒成立问题源自函数的单 调性 其本质是比较两个函数值的大小 换句话说 函 数不等式的恒成立取决于函数的单调性 任何问题产 生的同时均伴随着解决该问题方法的产生 正如章建 跃先生多次提到的 只要把握了题目的本质结构 解 决问题的方法也就产生了 所以 我们可以肯定地 说 解决函数不等式恒成立问题的本质方法 即通性 通法 是对函数单调性的讨论与研究 一般地说 本文题目1 题目2 第 问可概括 为 已知函数 f x h x 及区间 D x D f x h x f x h x 求参数 a 的取值范围 根据 以上分析 问题自然转化为对 函数 g x f x h x 单调性 的讨论 使函数不等式恒成立问题成 为这一过程的自然流露 一种或多种情况 我们把这一讨论过程总结如下 最后 总结反求出使函数不等式 g x f x h x 0 0 恒成立的参数 a 的取值范围 需 要说明的是函数g x x D m n 的单调性 不一定仅上述所列的四种情况 可能更复杂 那只能 是具体问题具体分析了 2本文题目 1 与题目 2 高考参考答案就是设法构 造出易判断导函数符号的函数 并紧紧盯住对该函 数单调性讨论求解的 而不是运用不少老师们反复 强调的 分离参数法 最值法 针对文 4 中提到的 高考参考答案第 问 解法中学教师和中学生接受都有点困难 为师生 们更好地理解与掌握高考参考答案解法 笔者对题 目1 题目2 高考参考答案解法从教与学的角度作点 粗浅的解读与改写 不当之处 请同仁指正 题目 1 2011 年全国新课标理 21 已知函数 f x alnx x 1 b x 曲线 y f x 在点 1 f 1 处 的切线方程为 x 2y 3 0 求 a b 的值 如果当x 0 且x 1 时 f x lnx x 1 k x 求 k 的取值范围 解 易解得 a 1 b 1 分析教学的首要任务是让学生理解 明确讨论函数 g x 单调性是求解本类问题的通性 通法 是首选方法 这也是新课标理念所倡导的并 03 ZHONGXUESHUXUEZAZHI中学数学杂志2012 年第 5 期 要求师生认真领悟的 函数是中学数学的主线 函数 的单调性是最基本的性质 是求解函数极值 最值的 基础 中学阶段不能过分地强调 分离参数法 或 最值法 形成强定势而干扰通性通法的运用 由 知 f x lnx x 1 1 x 令 g x f x lnx x 1 k x lnx x 1 1 x lnx x 1 k x 2xlnx 1 k x2 k 1 x2 1 x x 0 且 x 1 所以g x 4x3lnx 1 x2 1 k x2 2x k 1 x2 x2 1 2 要判断 g x 的符号 虽然 g x 表达式的分 母恒大于零 但分子中带有 lnx 致使符号的判断非 常困难 于是我们有了这样的念头 g x 的表达式 中最好没有 lnx 但是我们无论对 g x 如何求导 g x 的表达式中都有 lnx 那么 我只有再回到对 g x 表达式的研究了 因为 g x 2xlnx 1 k x2 k 1 x2 1 x 1 1 x2 2lnx k 1 x2 1 x 注意到 x 0 且 x 1 时 1 1 x2 符号确定 故只需考虑函数 h x 2lnx k 1 x2 1 x x 0 且 x 1 h 1 0 则 h x k 1 x2 2x k 1 x2 x 0 且x 1 这样 问题就转化为 h x 的符号判断了 显 然 h x 的符号容易判断 令 H x k 1 x2 2x k 1 x 0 且 x 1 这样 H x 与 h x 同号 h x 的符号取决于实数 k 1 及 4k k 2 的符号 故应分 k 0 k 0 0 k 1 k 1 1 k 2 k 2 k 2 七种情况讨论 但考虑到实际 情况只需讨论以下五种情况 1 当 k 0 时 4k k 2 0 H x 0 所以h x 0 对x 0 且x 1 恒 成立 所以函数 h x 在 0 1 上是减函数 函数 h x 在 1 上是减函数 所以 x 0 1 h x h 1 x 1 h x h 1 而 h 1 0 又因为 x 0 1 1 1 x2 0 x 1 1 1 x2 0 所以 x 0 且 x 1 时 g x h x 1 1 x2 0 均成立 故当 k 0 时 f x lnx x 1 k x 成立 2 当k 1 时 H x 2x 0 所以h x 0 对x 0 且x 1恒成立 所以函数h x 在 0 1 上是增函数 函数 h x 在 1 上是增函数 所以 x 0 1 h x h 1 x 1 h x h 1 而 h 1 0 又因为 x 0 1 1 1 x2 0 x 1 1 1 x2 0 所以 x 0 且 x 1 时 g x h x 1 1 x2 0 均成立 故当 k 1 时 f x lnx x 1 k x 矛盾 3 当 0 k 1 时 4k k 2 0 由于二次函数H x k 1 x2 2x k 1 的 图像开口向下 对称轴 x 1 1 k 1 所以 x 1 1 1 k H x 0 故 h x 0 所以 函数 h x 在 1 1 1 k 上是增函数 所以 h x h 1 0 而 x 1 1 1 k 时 1 1 x2 0 所以 g x h x 1 1 x2 0 故 x 1 1 1 k f x lnx x 1 k x 成立 矛盾 4 当 1 k 2 时 4k k 2 0 由于二次函数H x k 1 x2 2x k 1的图 像开口向上 对称轴x 1 1 k 0 H 0 k 1 0 故 h x 0 对 x 0 且 x 1 恒成立 以下同 2 5 当 k 2 时 4k k 2 0 由于二次函数H x k 1 x2 2x k 1 的 图像开口向上 故 h x 0 对 x 0 且 x 1 恒成 立 以下同 2 13 中学数学杂志2012 年第 5 期ZHONGXUESHUXUEZAZHI 综上得 f x lnx x 1 k x 当 x 0 且 x 1 时 成立的 k 的取值范围为 0 点评 本小问构造出函数 g x 发现 g x 的符号难以做出判断 到自觉退回对原函数g x 表 达式的分析与变形 重新构造出易判断 h x 符号 的函数 h x 是一个不断反思 选择的过程 学生只 有具备 欲进则退 的意识和较强的数与式恒等变 形的能力才能完成 也只有我们在日常教学中不惜 时间 力气 让学生反复训练 领会才能获得并积累 这样的活动经验 H x k 1 x2 2x k 1 x 0 且x 1 的符号判断取决于 k 1 及 4k k 2 的符 号 从而对实数 k 的范围作出不重不漏的划分 是水 到渠成 非常自然的 学生是容易接受的 而高考参考 答案表述比较概括 抽象 只分了 k 0 0 k 1 k 1 三种情况 为什么 而且对 k 0 的情况还将 h x k 1 x2 1 2x x2 变形为 h x k x2 1 x 1 2 x2 即将 k 1 x2 1 2x 变形为 k x2 1 x 1 2 这样的技巧 使我们较难看懂 受到了不少 同仁的指责 表面看来这与我们日常教学中遵循的 尊重学生的认知规律 把数学 教 得自然 流畅 简 单 清楚的目标 似乎是相悖的 但我们在指责这种 变形技巧太强的同时 更要看到其根据解题目标 判断 h x 的符号 设计解题过程 简化运算的价 值 为什么讨论 讨论几种情况 如何简化讨论的层 次和情况 以提高学生的运算 分析问题 解决问题 能力 也是我们数学教育工作者努力追求的目标和 永恒主题 如在本题的教学过程中 先讲分五种情况 讨论的解法 再过渡到参考答案分三种情况讨论的 解法 无疑是锦上添花 对学生数学概括能力 解题 能力的提高是大有裨益的 本例中第 3 种情况中 虽然不少学生已意 识到 f x lnx x 1 k x 当 x 0 且 x 1 时 不可 能恒成立 但如何表达 如何表达更有说服力 似乎 欲罢不能 事实上 只要找到一个 x0 1 1 1 k 使 g x0 h x0 1 1 x2 0 0 也 即 x0 1 1 1 k 使 f x lnx x 1 k x 成立即可 训练 学生自觉构造反例 进行严密准确的数学表达也是 我们教学的重要任务 题目2 2010 年全国 理22 设函数f x 1 e x 证明 当 x 1 时 f x x x 1 设当x 0 时 f x x ax 1 求实数a 的 取值范围 解 略 分析为顺利解答本小问 应有意识地 自觉运用以下结论 当然 这也是许多优秀高考试 题的特点 f x x x 1 x x 1 f x e x 1 x x R 时 ex 1 x 则 e x 1 x x 1 e x f x 即 x f x f x f x 1 f x 1 f x 由题设 x 0 时 有 f x 1 e x 0 当 a 0 时 若 x 1 a 则 x ax 1 0 这时 f x x ax 1 不成立 当 a 0 时 g x f x x ax 1 axf x f x x ax 1 说明 这里基于何因没把 f x 1 e x 代入 g x 的表达式呢 我们的教学中与学生共同探讨过 类似问题吗 有比较 才有选择 令 h x axf x f x x 则 f x x ax 1 h x 0 h 0 h x af x axf x f x 1 说明 如何才能判断出 h x 的符号 因为f x f x 1 所以f x 1 f x 代 入上式得 h x af x axf x ax f x 说明 为什么把 f x 消去 而用 f x 来表示 h x 呢 如何实现对 h x 进行因式分解 如何用 f x 表示h x 中的ax 题目给出了用f x 表示ax 的条件了吗 由 知 x x 1 f x a 0 所以 ax a x 1 f x 又由 知 x f x a 0 所以 ax 23 ZHONGXUESHUXUEZAZHI中学数学杂志2012 年第 5 期 af x 这样 自然分以下两种情况讨论 1 用 ax a x 1 f x h x af x axf x a x 1 f x f x 2af x f x 2a 1 f x 因为 f x 0 所以当2a 1 0 0 a 1 2 时 2a 1 f x 0 当0 a 1 2 时 h x 0 所以h x 在 0 是减函数 所以h x h 0 0 即 f x x ax 1 成立 2 用 ax af x h x af x axf x ax f x af x axf x af x f x 2a 1 ax f x 当 a 1 2 时 又当2a 1 ax 0 0 x 2a 1 a 时 又因为 f x 0 所以 当 a 1 2 时 x 0 2a 1 a 使 2a 1 ax f x 0 即 h x 0 所以 x 0 2a 1 a 使 h x h 0 0 即 f x x ax 1 成立 综上 实数 a 的取值范围 0 1 2 点评本小问求解仍是抓住构造判断 h x 符号的函数h x 为核心主线组织解题过程 只是这 里对 h x 符号的判断用了一点常用的放缩技巧 文 3 反复提到 这样的解法学生想得到吗 笔者 冒昧地认为 不是学生想不到 而是我们的解题教学 是不是真正 教 到位了 设想我们日常的教学中时 常不断地运用以上的元认知提示语提问并贯彻分析 综合的思维方式 引导学生如何 想 回想 联想 猜想 问题的训练 日积月累 学生不仅学会 想 而且还会善 想 乐 想 从而不再对解题感到畏 惧 神秘 不再对一题多解 甚至巧思妙解感到高不 可攀 学生的解题能力才能得到真正提高 另外 本小问可以构造函数g x f x x ax 1 将 f x 1 e x代入求解 限于篇幅不再赘述 通过以上对高考参考答案的学习 理解与解读 可以看出高考参考答案的解法 构造函数 用导数工 具讨论函数的单调性 是含参数函数不等式恒成立问 题产生的源头解法 具有大众化与常规化的特点 我 们称之为通性通法是不用质疑的 事实上 多年来全 国卷和各省市试卷总是坚守自己的原则 从课标 教 材以及学生的实际出发 追求数学的一些基本思想 强调数学本质 还原质朴 围绕 中学数学的核心概念 的源头与本质属性 设计试题及提供解决问题通性通 法的参考答案 在促进更好地实施素质教育 减轻师 生负担 遏制题海战术 避免师生陷入技巧的怪圈 发 挥了良好的导向作用 形成了 任尔东西南北风 我自 岿然不动 自然 大气的命题风格 最后 在新课改的大背景下 减负和增效之间的 矛盾是当前教育工作者亟待解决的问题 我们决不 能