2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题.doc

2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛(2009年5月3日8001000)一、填空题(每小题7分，共70分) 1已知sincos1，则cos() 2已知等差数列an的前11项的和为55，去掉一项ak后，余下10项的算术平均值为4若a15，则k 3设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e 4已知，则实数x 5如图，在四面体ABCD中，P、Q分别为棱BC与CD上的点，且BP2PC，CQ2QDR为棱AD的中点，则点A、B到平面PQR的距离的比值为 6设f(x)log3x，则满足f(x)0的x的取值范围是 7右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm、体积为3000cm3的长方体，长和高未定净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm、20cm、60cm若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水 cm38设点O是ABC的外心，AB13，AC12，则 9设数列an满足：an1an2an12(n1，2，)，a2009，则此数列的前2009项的和为 10设a是整数，0b1若a22b(ab)，则b 二、解答题(本大题共4小题，每小题20分，共80分) 11在直角坐标系xOy中，直线x2y40与椭圆1交于A，B两点，F是椭圆的左焦点求以O，F，A，B为顶点的四边形的面积12如图，设D、E是ABC的边AB上的两点，已知ACDBCE，AC14，AD7，AB28，CE12求BC13若不等式k对于任意正实数x，y成立，求k的取值范围14 写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，请予以验证； 是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？请证明你的结论2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛(2009年5月3日8001000)一、填空题(每小题7分，共70分) 1已知sincos1，则cos() 填0解：由于|sin|1，|cos|1，现sincos1，故sin1，cos1或sin1，cos1， 2k，2l或2k，2l2(kl)(k，lZ) cos()02已知等差数列an的前11项的和为55，去掉一项ak后，余下10项的算术平均值为4若a15，则k 填11解：设公差为d，则得 555111110d55d110d2 ak554101552(k1)k113设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e 填解：由(2b)22c2aa2c2ace2e10e4已知，则实数x 填1解：即32x43x303x1(舍去)，3x3x15如图，在四面体ABCD中，P、Q分别为棱BC与CD上的点，且BP2PC，CQ2QDR为棱AD的中点，则点A、B到平面PQR的距离的比值为 填解：A、B到平面PQR的距离分别为三棱锥APQR与BPQR的以三角形PQR为底的高故其比值等于这两个三棱锥的体积比VAPQRVAPQDVAPCDVABCDVABCD；又，SBPQSBCDSBDQSCPQ(1)SBCDSBCD，VRBPQVRBCDVABCDVABCD A、B到平面PQR的距离的比14又，可以求出平面PQR与AB的交点来求此比值：在面BCD内，延长PQ、BD交于点M，则M为面PQR与棱BD的交点由Menelaus定理知，1，而，故4在面ABD内，作射线MR交AB于点N，则N为面PQR与AB的交点由Menelaus定理知，1，而4，1，故 A、B到平面PQR的距离的比146设f(x)log3x，则满足f(x)0的x的取值范围是 填3，4解：定义域(0，4在定义域内f(x)单调增，且f(3)0故f(x)0的x的取值范围为3，47右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm、体积为3000cm3的长方体，长和高未定净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm、20cm、60cm若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水 cm3填78000解：设净水器的长、高分别为x，ycm，则xy300，V30(20x)(60y)30(120060x20yxy)30(12002300)30(15001200)302700 至少可以存水78000cm38设点O是ABC的外心，AB13，AC12，则 填解：设|R则()R2cos(2C)R2cos2BR2(2sin2C2sin2B)(2RsinB)2(2RsinC)2(122132)9设数列an满足：an1an2an12(n1，2，)，a2009，则此数列的前2009项的和为 填2008解：若an10，则an2，故a20082，a20072，a20062，a2005一般的，若an0，1，2，则an2，则an1，an2，an3an1，故an4an于是，an502(a1a2a3a4)a2009502(a2005a2006a2007a2008)a2009200810设a是整数，0b1若a22b(ab)，则b 填0，1解：若a为负整数，则a20，2b(ab)0，不可能，故a0于是a22b(ab)2(a1)a22a200a1a0，1，2a0时，b0；a1时，2b22b10b；a2时，b22b20b1说明：本题也可以这样说：求实数x，使x22xx二、解答题(本大题共4小题，每小题20分，共80分) 11在直角坐标系xOy中，直线x2y40与椭圆1交于A，B两点，F是椭圆的左焦点求以O，F，A，B为顶点的四边形的面积解：取方程组代入得，25y264y280 此方程的解为y2，y即得B(0，2)，A(，)，又左焦点F1(，0)连OA把四边形AFOB分成两个三角形得，S2(727)也可以这样计算面积：直线与x轴交于点C(4，0)所求面积42(4)(727)也可以这样计算面积：所求面积(02000()2()0()()000)()(727)12如图，设D、E是ABC的边AB上的两点，已知ACDBCE，AC14，AD7，AB28，CE12求BC解：ACDABCABCACDBCE CEBE12AEABBE16 cosA BC2AC2AB22ACABcosA14228221428729BC2113若不等式k对于任意正实数x，y成立，求k的取值范围解法一：显然k0()2k2(2xy)(2k21)x2(k21)y0对于x，y0恒成立令t0，则得f(t)(2k21)t22t(k21)0对一切t0恒成立当2k210时，不等式不能恒成立，故2k210此时当t时，f(t)取得最小值k21当2k210且2k230，即k时，不等式恒成立，且当x4y0时等号成立 k，)解法二：显然k0，故k2令t0，则k2(1)令u4t11，则t只要求s(u)的最大值s(u)2，于是，(1)(12)k2，即k时，不等式恒成立(当x4y0时等号成立)又：令s(t)，则s(t)，t0时有驻点t且在0t时，s(t)0，在t时，s(t)0，即s(t)在t时取得最大值2，此时有k2(1s()解法三：由Cauchy不等式，()2(1)(2xy)即()对一切正实数x，y成立当k时，取x，y1，有，而kk即不等式不能恒成立而当k时，由于对一切正实数x，y，都有k，故不等式恒成立 k，)14 写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，请予以验证； 是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？请证明你的结论解：对于任意nN*，n20，1(mod 4)设a，b是两个不同的自然数，若a0(mod 4)或b0(mod 4)，或ab2(mod 4)，均有ab0(mod 4)，此时，ab102(mod 4)，故ab10不是完全平方数； 若ab1(mod 4)，或ab3(mod 4)，则ab1(mod 4)，此时ab103(mod 4)，故ab10不是完全平方数由此知，ab10是完全平方数的必要不充分条件是ab(mod 4)且a与b均不能被4整除 由上可知，满足要求的三个自然数是