一般三次方程谢国芳求根公式的推导方法1(利用复三角函数的方法).doc

Page 15 / 15一般三次方程的简明新求根公式和根的判别法则 谢国芳 Email: 【摘要】 本文利用复三角函数推导出了远比卡丹公式简明快捷的可直接用来求解一般三次方程（包括复系数情形）的新求根公式，进而又针对实系数的情形讨论了根的情况，得到了方便的根的判别法则。【关键词】 三次方程 复三角函数 欧拉公式 求根公式 判别法 1 一般三次方程的简化对于一个一般形式的三次方程 , 两边同除以，即可化为首项系数为1的三次方程,然后作变量代换, （1） 可消去二次项，将它化为下面的形式： , （2）其中 , . （3）下面我们把形如式（2）的三次方程称为简约三次方程. 并约定其一次项系数.12 简约三次方程的三角函数解法和求根公式在方程（2）中作变量代换2 , （4）利用三倍角公式,方程（2）即化为, （5）定义参数 , （6）称之为三次方程的关键比(key ratio)，于是式（5）即. （7）当为实数且时，令，可得其一般解为, 即 取，即可得到在一个周期内的六个值： 但只取下面这三个值： 代入式（4），即得方程的三个根： （8）其中, . 当关键比为绝对值大于1的实数或虚数时，方程（7）在实数域内无解，但如果我们把三角函数的定义域扩大到复数域，即考虑复变量的三角函数，则对于任意复数都可求得其解. 根据复三角余弦函数的定义（欧拉公式）：, （9）方程（7）等价于, 它可以化为一个以为元的二次方程：,解得 , （10）定义参数 , （11）注意到恒等式, （12）由式（10）可解得 或 .代入式（9），再由式（4）即得方程的根为 , （13）其中, . （14）复立方根的三个值正好对应于方程的三个根. 33 简约三次方程的另一个求根公式定义参数 , （15） 亦称之为三次方程的关键比，对比关键比的定义式（6），若规定平方根的取值满足（参见注2和附录1）, （16）则, 于是定义参数, 则, 故（参见附录1中的式（31）及其解释）,代入求根公式（13）可得因为乘以立方根的三个值后仍得到的三个值，所以上式即 , （17）其中, . （18）复立方根的三个值亦正好对应于方程的三个根.4 一般三次方程的两个求根公式为了把求根公式（13）和（17）推广到一般三次方程，只需把相应的简约三次方程的关键比和直接用系数表出即可.将由式（3）给出的值代入和的定义式（参见式（6）、（15）可得4,.定义, 则有, . （19）我们可以把它们称为三次方程的关键比.分别根据求根公式（13）和求根公式（17），并注意到和（参见式（1）、（3），我们就得到了下面的结果.定理1（一般三次方程的求根公式）对于三次方程, 定义参数, , , （20）则当时它的根为5 （21）设，为复数的模，为其幅角主值（），则的三个值为, , .代入式（21），即得方程的三个根：定义实参数, 并利用欧拉公式，可将它们改写为 （22）其中, , .定理2（一般三次方程的求根公式）对于三次方程, 定义参数, , , （23） 则当时它的根为 （24）设，为复数的模，为其幅角主值（），则的三个值为, , .代入式（24），同样利用欧拉公式，并定义实参数，可得方程的三个根： （25）其中, , .注意求根公式和求根公式是完全等价的，它们的区别仅在于关键比和的定义式中前面的符号不同一个为正一个为负（这导致和相差一个因子），从而也使得参数和的定义式中出现了一个符号的差别（参见式（20）、（23）.在实际应用中，我们可以使用这两个求根公式中的任意一个求解（可视方便而定），除了根的编号可能不同之外，得到的结果当然是完全相同的.例题1 解复系数三次方程 .解法1 （用求根公式求解）：, , , , , ,代入式（22），即得方程的三个根：解法2（用求根公式求解）：, ,代入式（25），即得方程的三个根：和前面解法1用求根公式求解所得结果的差别只是后两个根的编号不同.对于实系数的三次方程，当然亦完全可以直接用求根公式或求根公式求解，但为了尽可能地简化计算，特别是避免复数运算，下面我们将推导出一组更简单的专门适用于实系数三次方程的求根公式.5 一般实系数三次方程的求解和根的判别法则（判别法）对于实系数三次方程，我们可以根据参数的值，选择使用求根公式和求根公式中较方便的一个求解，进而判定根的情况.5.1 的情形当时，显然用求根公式求解比较方便，因为这时关键比为实数（参见式（23），亦为实数，设其实立方根为，则的三个值为, , ，代入式（24）即得方程的三个根为 （26）其中, （, ）.显然为实根，, 为共轭虚根.5.2 的情形当时，显然用求根公式求解比较方便，因为这时关键比为实数（参见式（20），参数的取值可以分为和这二种情形.（一）若，则亦为实数，设其实立方根为，则的三个值为, , ，代入式（21）即得方程的三个根为 （27）其中（, , ）.易见为实根. 当时,为共轭虚根. 当，即时，,为两个相等的实根. （二）若，设（），即，于是有,的三个值为, , ，代入式（21）即得方程的三个根为6 （28）其中（, ）.显然,全都是实根，且易证它们互不相等.实际上可证当时，当时.由可知, , .因此, , .根据式（28），当时即可判定各根的范围如下：, ,.显然；当时上面三个不等式中的不等号反向，即. 5.3 的情形当（即关键比的分母为0）时，方程可以配成完全立方求解，两边同除以，再利用可将它改写为.解得 （29）其中为三次单位根（，）.易见当时，为实根. ,为共轭虚根. 当时，即方程有一个三重实根.5.4 一般实系数三次方程的根的判别法则（判别法）综合上面三小节所述，我们就得到了如下的判别一般实系数三次方程的根的法则，我们可以把它称为判别法，参数（注意它和二次方程判别式的相似性）可称为第一判别式（first discriminant），它和关键比合在一起就能简单快捷地判定实系数三次方程的根的情况，并决定相应的最便捷的求根公式：(1) 当时7，方程有一个实根和两个共轭虚根.可用求根公式（26）求解.(2) 当，时，方程亦有一个实根和两个共轭虚根.可用求根公式（27）求解.(3) 当，时，方程有一个两重实根和一个单重实根.仍可用求根公式（27）求解，也可以用三角求根公式（28）求解8.(4) 当，时，方程有三个互异的实根.可用三角求根公式（28）求解.(5) 当，时9，方程亦有一个实根和两个共轭虚根. 可配成完全立方或用式（29）求解.(6) 当，时10，方程有一个三重实根.例题2 判别方程根的情况并求解.解：, , , ,由 可知该方程有一个实根和两个共轭虚根，可用求根公式（26）求解.,例题3 判别方程根的情况并求解.解：,由， 可知该方程有一个实根和两个共轭虚根，可用求根公式（27）求解.,例题4 判别方程根的情况并求解.解：,由, 可知该方程有三个互异的实根，可用三角求根公式（28）求解.,【注解】【1】当时它退化为平凡的三次方程，其三个根即为复立方根的三个值.【2】注意复数的平方根有二个值（它们相差一个符号），本文中的所有平方根都可以取其两个值中的任意一个值，最终得到的解是完全相同的（除了根的编号可能不同之外），这可以称为方根取值的自由性原则，它的原理其实就隐含在下面对各求根公式的推导过程中，因为我们对其中出现的平方根都没有限定它取哪一个值，即它可以取任意一个值. 在实际应用中，为了方便计算，可约定各求根公式中的平方根全都取主值（参见附录1）.【3】 将代入，并利用恒等式（12）即可得到著名的卡丹（J. Cardan）公式.【4】对于任意非零复数，我们总可以选取平方根的一个值使得它满足（因为，所以必为的一个值），参见附录1和注2.【5】 当时方程的根由式（29）给出（其中的系数可取复数值）. 【6】式（28）也可以从前面简约三次方程的三角求根公式（式（8）导出.【7】即当关键比为虚数时.【8】当时，代入式（27）和式（28）都得到，；当时，代入式（27）得到, ，代入式（28）得到，两者的差别只是根的编号不同.【9】即当关键比的分母为0而分子不为0时. 【10】即当关键比的分母和分子都为0时.附录1 复数的方根及其性质满足的复数称为复数的次方根，和实数的方根一样用符号表记. 设为复数的模，为其幅角主值（），则其次方根的一般值由下式给出： , （30）其中为任意整数，当时，上式正好给出个不同的值，等价地说，是一个多值函数，共有个值，我们可以把对应的值即称为的主值.特别地，在式（30）中取,，即得平方根的两个值为, ，前者为主值. 易见复数的方根有下面的性质：, （31）鉴于复数方根的多值性，上式中等号的意义是等式两边