2015年高考数学基本题型、思路、方法和结论大梳理(一).pdf

编者按俗话说 基础不牢 地动山摇 基础题掌握好了 难题无非是基础题的复杂化 综合化 为此 本刊特约高中数学名师龙艳文 在2 0 1 4 9 期至2 0 1 5 4 期的栏目中 以连载的 形式 结合多年高三复习教学经验 为同学们提供最 骨架 的问题和其主要的方法 常用的 结论 基本的思路 名为 2 0 1 5 年高考数学基本题型 思路 方法和结论大梳理 相当于笔记 本一样 为你今后解题提供可以回归的 固着点 2 0 1 5 年高考数学基本题型 思路 方法和结论大梳理 一 江苏省南京市教研室龙艳文 类型一 集合的表示 例 判断下列集合的区别 A zy z 2 1 B 一 yy z 2 1 C z y ly z 2 1 D 一 y z 2 1 注意集合中元素形式 类型二 集合的关系 例1设集合A zI z z 3 z 1 0 0 集合B zm 1 z 2 m 一1 若B A 求实数m 的取值范围 饕羲将集合A 改为A 一 zl z z 3 z 1 0 3 或z 1 B 2 zx 1 o 求An B CU A Cu A n B Cu AUB 缌 掩 Cu A NB Cu A U Cu B Cu AUB 一 Cu A N Cu B 类型二 集合运算的应用 例1 设集合A zz z 一3 z 2 o B z l X 2 2 口 1 z 口2 5 0 1 若A nB 2 求实数口的值 2 若A U B A 求实数以的值 3 若U R AnCu B A 求实数n 的取值范围 注意求解后要检验 万方数据 黉舱A B 甘AnB A A B e C A U B B 例2 设集合A 一 z 11 z 3 B z t z 口 1 若AnB 乃 求实数口的取值 范围 2 若AnB 够 求实数n 的取值 范围 3 若AnB A 求实数n 的取值 范围 4 若Cu AUB Cu A 求实数口的取 值范围 囊武将集合B 改为B z l x a 注意要树立端点意识 即对端点进行 检验 想到检验比如何检验更难 类型三 V e n n 图的应用 例 已知全集u z l z 1 0 z E N A n B 4 5 A nCu B 1 2 3 Cu An Cu B 6 7 8 求Cu A n B 翥濠利用V e n n 图的直观性 命题及其关系和充分 必要条件 类型一 四个命题的关系 例1写出下列命题的逆命题 否命题 逆否命题 并判断它们的真假 1 若a b 0 则n 0 或b 0 2 若z 2 y 2 一o 则z Y 全为0 3 已知口 b c 为实数 若口c 0 则口z 2 6 z C 0 有两个不相等的实数根 4 斜率乘积为一1 的两条直线互相 垂直 穷稔 原命题 羞p 则g 互为逆命题 逆命题 若毋则p 互为否命题I互为 圣 命题l 互为否命题 否命题 若j 眵 则非g 互为逆命题逆否命题 若非g 则j 印 注意 1 将命题形式先改写成 若p 则口 的形式 2 常见语句的否定 形式l 都是I 至少一个 至多一个l P 或QP 且Q 否定I 不都是 一个没有l 至少两个I P 且 Q l P 或 Q 例2 判断下列命题的真假 1 已知厂 z 在R 上为增函数 若厂 口 厂 6 厂 a 厂 b 贝0 口 6 0 2 若口6 0 则口 c o 且6 圭0 方法原命题与逆否命题等价 如果 原命题的正确性难以判断 可以转化为判断 其逆否命题的正确性 类型二 充分 必要条件 例1 1 s i nA s i nB 是 A B 的 条件5 2 m 一 是 直线 仇 2 z 3 m y 1 0 与直线 m 一2 z m 2 y 一3 0 相 互垂直 的条件 3 设甲是乙的充分不必要条件 乙是 丙的充要条件 丁是丙的必要不充分条件 则甲是丁的条件 4 已知命题户 X 2 或y 3 命题q z y 5 则夕是q 的条件 方法 如果户 q 且qj 乡 那么称户 是q 的充分必要条件 简记为户是q 的充要 叁堡 如果p q 且q 参户 那么称户是q 的 充分不必要条件 如果户参q 且qj p 那么 称p 是q 的必要不充分条件 如果户参q 且 q 参户 那么称p 是q 的既不充分又不必要 釜笪 注意 1 找特殊情况 反例 来否定命 题 结论 2 利用原命题与逆否命题等价 即 若户j g 则 q 夕 判断推导关系 例2 1 若2 x m O 的充分条件 则实数m 的取值范围是 2 已知户 z 2 z 一6 0 q z N e wU n i v e r s i t yE n t r a n c eE x a m i n a t i o n 1 1 1 万方数据 m z 一1 2 m 0 若 P 是 q 的必要不 充分条件 求实数l i f t 的取值范围 翥蘧从集合的观点看 已知夕 z A q z B 若A B 则夕是q 的充分条件 q 是户的必要条件 若A B 则P q 互为充 要条件 例3 求证 关于z 的方程zz 2 口一 1 z t 口2 0 有两实数根 且两根均小于2 的 充要条件是n 0 且a 1 z 一t a n z 例2已知厂 z 的定义域为 1 2 求 函数j 2 厂 z 2 及y 2 f 2 x 厂 z 号 的 定义域 方法 已知f z 的定义域为D 求 f i g x 的定义域问题 由g z D 解得z 的范围 即为f i g x 的定义域 对比 已知f x 1 的定义域为 1 2 求函数y z 的定义域 方法 已知厂 g z 的定义域为D 求厂 z 的定义域问题 由z D 求出g z N e wU n i v e r s i t yE n t r a n c eE x a m i n a t i o nI I i 万方数据 的范围 且p 为 z 的定义域 例3 已知厂 z 1 9 a 1 z z n z 一1 z n 1 的定义域为R 求口的取值 范围 方法 1 定义域为R 问题转化为不 等式恒成立问题 2 处理形如口z 2 b x c 0 对任意z R 恒成立问题的方法 优先考虑二次项 系数为0 的情况 结合二次函数图象分 析 注意二次项系数的正 负和判别式 的正 负 类型二 值域求法 例1 求下列函数的值域 1 y x 2 x 2 z 一1 1 5 2 y S i z 睁料 方法 图象法 适用于能作出图象的 基本函数或基本函数变换后的函数 要体 会到 一切尽在图形中 即具有优先利用图 形分析解决问题的意识 例2 求下列函数的值域 1 y 以 万 X 2 y 丢 2 一 1 2 方法单调性法 适用于能判断出单 调性的函数 例3 求下列函数的值域 1 y 一万蒜 2 y l o g z 2 2 z 2 5 3 y S i n2 z 号 灰 o 甜 方语 复合函数法 即f i g z 值域 的求法 先求g z 的值域 再以g z 的值域 作为 z 的定义域 求出厂 z 的值域即可 体验将复杂函数转化为基本函数的神奇 例4 求下列函数的值域 I N e wU n i v e r s i t yE n t i a n c eE x a m i n a t i o n y 鞲 z 一詈 2 y 2 器 方法 部分分式法 适用于分子 分母 次数相同的分式函数 如厂 z 云a x j 刁b z 一手 的形式 先化为厂 z 2 詈 6 一一a d 云南 z 一孚 的形式j 再结合图象求解 例5 求下列函数的值域 1 y z 厄 2 y C O S 2 x s i nz 方法 换元法 对复杂形式或特定形 式进行换元 注意换元法要考虑元的范围 例6求下列函数的值域 1 厂 z 一z 2 南 2 厂 z 一万x 而1 z 1 方法 基本不等式法 适用于能化成 厂 z 一z 詈形式的函数 结论 对勾函数 z 一z 导 n o 的图象与性质 例7求函数厂 z z l 眦的值域 方法