（江苏专用）高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算 文.docVIP

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算 文1导数与导函数的概念(1)设函数yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，若x无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数a，则称f(x)在xx0处可导，并称该常数a为函数f(x)在xx0处的导数(derivative)，记作f(x0)(2)若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f(x)2导数的几何意义函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线yf(x)在点p(x0，f(x0)处的切线的斜率k，即kf(x0)3基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(为常数)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)exf(x)exf(x)ax(a0，a1)f(x)axln_af(x)ln xf(x)f(x)logax(a0，a1)f(x)4.导数的运算法则若f(x)，g(x)存在，则有(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同()(2)求f(x0)时，可先求f(x0)再求f(x0)()(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点()(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线()(5)函数f(x)sin(x)的导数是f(x)cos x()1(教材改编)f(x)是函数f(x)x32x1的导函数，则f(1)的值为_答案3解析f(x)x32x1，f(x)x22.f(1)3.2如图所示为函数yf(x)，yg(x)的导函数的图象，那么yf(x)，yg(x)的图象可能是_答案解析由yf(x)的图象知yf(x)在(0，)上单调递减，说明函数yf(x)的切线的斜率在(0，)上也单调递减，故可排除.又由图象知yf(x)与yg(x)的图象在xx0处相交，说明yf(x)与yg(x)的图象在xx0处的切线的斜率相同，由图知不符合，符合，故正确3设函数f(x)的导数为f(x)，且f(x)f()sin xcos x，则f()_.答案解析因为f(x)f()sin xcos x，所以f(x)f()cos xsin x，所以f()f()cossin，即f()1，所以f(x)sin xcos x.f(x)cos xsin x.故f()cossin.4已知点p在曲线y上，为曲线在点p处的切线的倾斜角，则的取值范围是_答案解析y，y.ex0，ex2，当且仅当ex1，即x0时，“”成立y1,0)，tan 1,0)又0，)，.5(2015陕西)设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线y(x0)上点p处的切线垂直，则p的坐标为_答案(1,1)解析yex，曲线yex在点(0,1)处的切线的斜率k1e01，设p(m，n)，y(x0)的导数为y (x0)，曲线y (x0)在点p处的切线斜率k2 (m0)，因为两切线垂直，所以k1k21，所以m1，n1，则点p的坐标为(1,1)题型一导数的运算例1求下列函数的导数：(1)y(3x24x)(2x1)；(2)yx2sin x；(3)y3xex2xe；(4)y.解(1)y(3x24x)(2x1)6x33x28x24x6x35x24x，y18x210x4.(2)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(3)y(3xex)(2x)e(3x)ex3x(ex)(2x)3xexln 33xex2xln 2(ln 31)(3e)x2xln 2.(4)y.思维升华求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量(1)f(x)x(2 016ln x)，若f(x0)2 017，则x0_.(2)若函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2，则f(1)_.答案(1)1(2)2解析(1)f(x)2 016ln xx2 017ln x，故由f(x0)2 017得2 017ln x02 017，则ln x00，解得x01.(2)f(x)4ax32bx，f(x)为奇函数，且f(1)2，f(1)2.题型二导数的几何意义命题点1已知切点的切线方程问题例2(1)函数f(x)的图象在点(1，2)处的切线方程为_(2)已知函数yf(x)及其导函数yf(x)的图象如图所示，则曲线yf(x)在点p处的切线方程是_答案(1)xy30(2)xy20解析(1)f(x)，则f(1)1，故该切线方程为y(2)x1，即xy30.(2)根据导数的几何意义及图象可知，曲线yf(x)在点p处的切线的斜率kf(2)1，又过点p(2,0)，所以切线方程为xy20.命题点2未知切点的切线方程问题例3(1)与直线2xy40平行的抛物线yx2的切线方程是_(2)已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为_答案(1)2xy10(2)xy10解析(1)对yx2求导得y2x.设切点坐标为(x0，x)，则切线斜率为k2x0.由2x02得x01，故切线方程为y12(x1)，即2xy10.(2)点(0，1)不在曲线f(x)xln x上，设切点为(x0，y0)又f(x)1ln x，解得x01，y00.切点为(1,0)，f(1)1ln 11.直线l的方程为yx1，即xy10.命题点3和切线有关的参数问题例4已知f(x)ln x，g(x)x2mx(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1)，则m_.答案2解析f(x)，直线l的斜率为kf(1)1.又f(1)0，切线l的方程为yx1.g(x)xm，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0m1，y0x01，y0xmx0，m0，于是解得m2.命题点4导数与函数图象的关系例5如图，点a(2,1)，b(3,0)，e(x,0)(x0)，过点e作ob的垂线l.记aob在直线l左侧部分的面积为s，则函数sf(x)的图象为下图中的_(填序号)答案解析函数的定义域为0，)，当x0,2时，在单位长度变化量x内面积变化量s大于0且越来越大，即斜率f(x)在0,2内大于0且越来越大，因此，函数sf(x)的图象是上升的，且图象是下凸的；当x(2,3)时，在单位长度变化量x内面积变化量s大于0且越来越小，即斜率f(x)在(2,3)内大于0且越来越小，因此，函数sf(x)的图象是上升的，且图象是上凸的；当x3，)时，在单位长度变化量x内面积变化量s为0，即斜率f(x)在3，)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线思维升华导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点a(x0，f(x0)求斜率k，即求该点处的导数值：kf(x0)(2)已知斜率k，求切点a(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k.(3)若求过点p(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由求解即可(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢(1)已知函数f(x)x33x，若过点a(0,16)且与曲线yf(x)相切的直线方程为yax16，则实数a的值是_(2)若直线y2xm是曲线yxln x的切线，则实数m的值为_答案(1)9(2)e解析(1)先设切点为m(x0，y0)，则切点在曲线上有y0x3x0，求导数得到切线的斜率kf(x0)3x3，又切线l过a、m两点，所以k，则3x3，联立可解得x02，y02，从而实数a的值为ak9.(2)设切点为(x0，x0ln x0)，由y(xln x)ln xxln x1，得切线的斜率kln x01，故切线方程为yx0ln x0(ln x01)(xx0)，整理得y(ln x01)xx0，与y2xm比较得解得x0e，故me.4求曲线的切线方程条件审视不准致误典例(14分)若存在过点o(0,0)的直线l与曲线yx33x22x和yx2a都相切，求a的值易错分析由于题目中没有指明点o(0,0)的位置情况，容易忽略点o在曲线yx33x22x上这个隐含条件，进而不考虑o点为切点的情况规范解答解易知点o(0,0)在曲线yx33x22x上(1)当o(0,0)是切点时，由y3x26x2，得在原点处的切线斜率k2，即直线l的斜率为2，故直线l的方程为y2x.由得x22xa0，依题意44a0，得a1.5分(2)当o(0,0)不是切点时，设直线l与曲线yx33x22x相切于点p(x0，y0)，则y0x3x2x0，且k3x6x02，又kx3x02，联立，得x0(x00舍去)，所以k，故直线l的方程为yx.9分由得x2xa0，依题意，4a0，得a.12分综上，a1或a.14分温馨提醒对于求曲线的切线方程没有明确切点的情况，要先判断切线所过点是否在曲线上；若所过点在曲线上，要对该点是否为切点进行讨论方法与技巧1f(x0)代表函数f(x)在xx0处的导数值；(f(x0)是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常数，其导数一定为0，即(f(x0)0.2对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误3未知切点的曲线切线问题，一定要先设切点，利用导数的几何意义表示切线的斜率建立方程失误与防范1利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆2求曲线切线时，要分清在点p处的切线与过p点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者3曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别a组专项基础训练 (时间：40分钟)1已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln x，则f(1)_.答案1解析由f(x)2xf(1)ln x，得f(x)2f(1).f(1)2f(1)1，则f(1)1.2已知曲线yln x的切线过原点，则此切线的斜率为_答案解析yln x的定义域为(0，)，且y，设切点为(x0，ln x0)，则曲线在xx0处的切线斜率k，切线方程为yln x0(xx0)，因为切线过点(0,0)，所以ln x01，解得x0e，故此切线的斜率为.3已知函数f(x)的导数为f(x)，且满足关系式f(x)x23xf(2)ln x，则f(2)的值等于_答案解析因为f(x)x23xf(2)ln x，所以f(x)2x3f(2)，所以f(2)223f(2)，解得f(2).4设曲线yaxln x在点(1,1)处的切线方程为y2x，则a_.答案3解析令f(x)axln x，则f(x)a.由导数的几何意义可得在点(1,1)处的切线的斜率为f(1)a1.又切线方程为y2x，则有a12，a3.5已知a为常数，若曲线yax23xln x存在与直线xy10垂直的切线，则实数a的取值范围是_答案解析由题意知曲线上存在某点的导数为1，所以y2ax31有正根，即2ax22x10有正根当a0时，显然满足题意；当a0时，需满足0，解得a0.综上，a.6设函数f(x)x(xk)(x2k)(x3k)，若f(0)6，则k_.答案1解析f(x)x(xk)(x2k)(x3k)x47k2x26k3x，f(x)4x314k2x6k3，f(0)6k36，解得k1.7在平面直角坐标系xoy中，若曲线yax2(a，b为常数)过点p(2，5)，且该曲线在点p处的切线与直线7x2y30平行，则ab的值是_答案3解析yax2的导数为y2ax，直线7x2y30的斜率为.由题意得解得则ab3.8(2015课标全国)已知曲线yxln x在点(1,1)处的切线与曲线yax2(a2)x1相切，则a_.答案8解析由yxln x，得y1，得曲线在点(1,1)处的切线的斜率为ky|x12，所以切线方程为y12(x1)，即y2x1，此切线与曲线yax2(a2)x1相切，消去y得ax2ax20，得a0且a28a0，解得a8.9已知曲线yx3x2在点p0处的切线l1平行于直线4xy10，且点p0在第三象限(1)求p0的坐标；(2)若直线ll1，且l也过切点p0，求直线l的方程解(1)由yx3x2，得y3x21，由已知令3x214，解之得x1.当x1时，y0；当x1时，y4.又点p0在第三象限，切点p0的坐标为(1，4)(2)直线ll1，l1的斜率为4，直线l的斜率为.l过切点p0，点p0的坐标为(1，4)，直线l的方程为y4(x1)，即x4y170.10设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形的面积为定值，并求此定值解(1)方程7x4y120可化为yx3.当x2时，y.又f(x)a，于是解得故f(x)x.(2)设p(x0，y0)为曲线上任一点，由y1知曲线在点p(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，即y(xx0)令x0，得y，从而得切线与直线x0的交点坐标为.令yx，得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以点p(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为s|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.b组专项能力提升 (时间：20分钟)11已知函数f(x)1，g(x)aln x，若在x处函数f(x)与g(x)的图象的切线平行，则实数a的值为_答案解析由题意可知f(x)x，g(x)，由f()g()，得()，可得a，经检验，a满足题意12曲边梯形由曲线yx21，y0，x1，x2所围成，过曲线yx21 (x1,2)上一点p作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为_答案解析设p(x0，x1)，x01,2，则易知曲线yx21在点p处的切线方程为y(x1)2x0(xx0)，y2x0(xx0)x1，设g(x)2x0(xx0)x1，则g(1)g(2)2(x1)2x0(1x02x0)，s普通梯形1x3x012，p点坐标为时，s普通梯形最大13若函数f(x)x2axln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_答案2，)解析f(x)x2axln x，f(x)xa.f(x)存在垂直于y轴的切线，f(x)存在零点，即xa0有解，ax2.14已知曲线f(x)xn1(nn*)与直线x1交于点p，设曲线yf(x)在点p处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2 016x1