湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 3.2用导数研究函数的单调性与极值检测题 新人教版选修11(1).doc

3.2 用导数研究函数的单调性与极值一、填空题1若f(x)x33ax23(a2)x1有极大值和极小值，则a的取值范围是_解析f(x)3x26ax3(a2)，由题意知f(x)0有两个不等的实根，由(6a)2433(a2)0，即a2a20，解得a2或a1.答案(，1)(2，)2已知函数f(x)ln x2x，若f(x22)f(3x)，则实数x的取值范围是_解析由f(x)ln x2x，得f(x)2xln 20，x(0，)，所以f(x)在(0，)上单调递增，又f(x22)f(3x)，得0x223x，所以x(1,2)答案(1,2)3若函数yx3x2mx1是r上的单调函数，则实数m的取值范围是_解析由题意，得y3x22xm0解集为r，所以412m0，解得m.答案4函数f(x)x33x21在x_处取得极小值解析由f(x)0，得x0或x2.由f(x)0得x0或x2，由f(x)0得0x2，所以f(x)在x2处取得极小值答案25已知函数f(x)(4m1)x2(15m22m7)x2在实数集r上是增函数，则实数m的取值范围是_解析f(x)x22(4m1)x15m22m7，依题意，知f(x)在r上恒大于或等于0，所以4(m26m8)0得2m4.答案2,46已知函数f(x)x2cos x，x，则满足f(x0)f的x0的取值范围为_解析f(x)是偶函数，且由f(x)2xsin x0，知f(x)在上单调递增，所以由f(x0)f，得f(|x0|)f，从而|x0|，解得x0或x.答案7函数f(x)x3ax23x9，已知f(x)在x3时取得极值，则a_.解析 f(x)3x22ax3，又f(x)在x3时取得极值，f(3)306a0，则a5.答案 58已知函数f(x)的定义域为(2,2)，导函数为f(x)x22cos x且f(0)0，则满足f(1x)f(x2x)0的实数x的集合是_解析因为当x(2,2)时，f(x)0且为偶函数，所以f(x)是奇函数且在(2,2)上单调增，于是由f(1x)f(x2x)f(xx2)，得2xx21x2，解得1x1.答案(1,1)9若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值为_解析由题意，x1是f(x)12x22ax2b的一个零点，所以122a2b0，即ab6(a0，b0)，因此ab229，当且仅当ab3时等号成立答案910设ar，若函数yeax3x，xr有大于零的极值点，则a的取值范围是_解析由yaeax30，得xln，所以0，a0，又因为有正根，所以必有得a3.答案(，3)11已知函数f(x)x33ax23x1.设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，则a的取值范围是_解析f(x)3x26ax33(xa)21a2当1a20时，f(x)0，f(x)为增函数，故f(x)无极值点；当1a20时，f(x)0有两个根x1a，x2a.由题意，知2a3，或2a3，无解，的解为a，因此a的取值范围为.答案12函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)内有极小值点的个数为_解析f(x)图象与x轴的交点从左至右第1个与第4个是极大值点，第2个是极小值点，x0不是极值点答案1个13定义在r上的函数f(x)满足f(4)1，f(x)为f(x)的导函数，已知yf(x)的图象如图所示，若两个正数a，b满足f(2ab)1，则的取值范围是_解析当x0，)时，f(x)0，所以f(x)在区间0，)上单调递增，于是由f(2ab)f(4)，得它表示的平面区域如图所示(不包括边界)，所以kpakpb5.答案二、解答题14已知函数f(x)x3ax2bx(a，br)的图象过点p(1,2)，且在点p处的切线斜率为8.(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间；解析(1)由函数f(x)的图象过点p(1,2)，得f(1)2，所以ab1.因为函数图象在点p处的切线斜率为8，所以f(1)8，又f(x)3x22axb，所以2ab5.解由组成的方程组，可得a4，b3.(2)由(1)得f(x)3x28x3，令f(x)0，可得x3或x；令f(x)0，可得3x，故函数f(x)的单调增区间为(，3)与，减区间为.15已知函数f(x)x3ax2bxc在x与x1时都取得极值(1)求a，b的值以及函数f(x)的单调区间；(2)若对x1,2，不等式f(x)c2恒成立，求c的取值范围解析(1)f(x)3x22axb.由题意可知f(x)0的两根为x1和x21，即解得a，b2.故f(x)3x2x2.当f(x)0时，解得x或x1.当f(x)0时，解得x1.故函数f(x)的递增区间是与(1，)，递减区间是.(2)由(1)知，函数f(x)在1,2上的极大值为f，端点x2的函数值f(2)，而ff(2)，故只需f(2)c2即可因为f(2)2c，所以2cc2.解得c1或c2，故c的取值范围为(，1)(2，)16已知曲线f(x)ln(2x)ax在点(0，f(0)处的切线斜率为，(1)求f(x)的极值；(2)设g(x)f(x)kx，若g(x)在(，1)上是增函数，求实数k的取值范围解析(1)f(x)的定义域是(，2)，f(x)a.由题知f(0)a，所以a1，所以f(x)1.令f(x)0，得x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表所示x(，1)1(1,2)f(x)0f(x)1所以f(x)在x1处取得极大值1，无极小值(2)g(x)ln(2x)(k1)x，g(x)(k1)，由题知g(x)0在(，1)上恒成立，即k1在(，1)上恒成立，因为x1，所以2x1，所以01，所以110，所以k0.故实数k的取值范围是0，)17已知函数f(x)x3ax1.(1)若f(x)在实数集r上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由解析 (1)f(x)3x2a，故3x2a0在r上恒成立，a0.(2)f(x)在(1,1)上单调递减，则3x2a0在(1,1)上恒成立，即a3x2在(1,1)上恒成立，a3.18已知函数f(x)(a1)ln xax21.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设a1，如果对任意x1，x2(0，)，|f(x1)f(x2)|4|x1x2|，求实数a的取值范围解析(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)2ax.当a0时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增；当a1时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递减；当1a0时，令f(x)0，解得x .所以当x时，f(x)0，此时函数f(x)单调递增；当x时，f(x)0，此时函数f(x)单调递减(2)不妨设x1x2，而a1，由(1)知f(x)在(0，)上单调递减，从而对于任意的x1，x2(0，