湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 3.3.1两直线的交点坐标学案 新人教版必修2.doc

第一课时两直线的交点坐标、两点间的距离(新授课) 提出问题已知二元一次方程组问题1：二元一次方程组的解法有哪些？提示：代入消元法、加减消元法问题2：在方程组中，每一个方程都可表示为一直线，那么方程组的解说明什么？提示：两直线的公共部分，即交点问题3：若给出两直线yx1与y3x2，如何求其交点坐标？提示：联立解方程组求方程组的解即可得导入新知1两直线的交点坐标几何元素及关系代数表示点aa(a，b)直线ll：axbyc0点a在直线l上aabbc0直线l1与l2的交点是a方程组的解是2两直线的位置关系方程组的解一组无数组无解直线l1与l2的公共点个数一个无数个零个直线l1与l2的位置关系相交重合平行化解疑难两直线相交的条件(1)将两直线方程联立解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交当方程组只有一解时，两直线相交(2)设l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20，则l1与l2相交的条件是a1b2a2b10或(a2，b20)(3)设两条直线l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，则l1与l2相交k1k2. 提出问题数轴上已知两点a，b.问题1：如何求a、b两点间的距离？提示：|ab|xaxb|.问题2：在平面直角坐标系中能否用数轴上两点间距离求出任意两点间距离？提示：可以，构造直角三角形利用勾股定理求解导入新知两点间的距离公式(1)公式：点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)间的距离公式|p1p2|.(2)文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根化解疑难两点间距离公式的理解(1)此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成|p1p2|.(2)当直线p1p2平行于x轴时，|p1p2|x2x1|.当直线p1p2平行于y轴时，|p1p2|y2y1|.当点p1、p2中有一个是原点时，|p1p2|. 例1判断下列各组直线的位置关系如果相交，求出交点的坐标：(1)l1：5x4y20，l2：2xy20；(2)l1：2x6y30，l2：yx；(3)l1：2x6y0，l2：yx.解(1)解方程组得所以l1与l2相交，且交点坐标为.(2)解方程组6整理得2x6y30.因此，和可以化成同一个方程，即和表示同一条直线，l1与l2重合(3)解方程组6得30，矛盾方程组无解，所以两直线无公共点，l1l2.类题通法判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况(1)解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值(2)解题过程中注意对其中参数进行分类讨论(3)最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系活学活用1判断下列各对直线的位置关系若相交，求出交点坐标：(1)l1：2xy30，l2：x2y10；(2)l1：xy20，l2：2x2y30.解：(1)解方程组得所以直线l1与l2相交，交点坐标为(1，1)(2)解方程组2，得10，矛盾，方程组无解所以直线l1与l2无公共点，即l1l2. 例2求证：不论m为何实数，直线(m1)x(2m1)ym5都过某一定点证明法一：取m1时，直线方程为y4；取m时，直线方程为x9.两直线的交点为p(9，4)，将点p的坐标代入原方程左边(m1)9(2m1)(4)m5.故不论m取何实数，点p(9，4)总在直线(m1)x(2m1)ym5上，即直线恒过点p(9，4)法二：原方程化为(x2y1)m(xy5)0.若对任意m都成立，则有得所以不论m为何实数，所给直线都过定点p(9，4)类题通法解含有参数的直线恒过定点的问题(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为a1xb1yc1(a2xb2yc2)0，其中是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得若整理成yy0k(xx0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)活学活用2求经过两直线l1：3x4y20和l2：2xy20的交点且过坐标原点的直线l的方程解：法一：由方程组解得即l1与l2的交点坐标为(2,2)直线过坐标原点，所以其斜率k1，直线方程为yx，一般式为xy0.法二：l2不过原点，可设l的方程为3x4y2(2xy2)0(r)，即(32)x(4)y220.将原点坐标(0,0)代入上式，解得1，l的方程为5x5y0，即xy0. 例3已知点a(1,1)，b(5,3)，c(0,3)，求证：abc为直角三角形证明法一：|ab|2，|ac|，又|bc|5，|ab|2|ac|2|bc|2，abc为直角三角形法二：kab，kac2，kabkac1，abac，abc是以a为直角顶点的直角三角形类题通法1计算两点间距离的方法(1)对于任意两点p1(x1，y1)和p2(x2，y2)，则|p1p2|.(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解2解答本题还要注意构成三角形的条件活学活用3已知点a(1,2)，b(2，)，在x轴上求一点p，使|pa|pb|，并求|pa|的值解：设所求点p(x,0)，于是由|pa|pb|得，即x22x5x24x11，解得x1.所以，所求p点坐标为(1,0)，|pa|2.典例若三条直线l1：axy10，l2：xay10 ，l3：xya0能构成三角形，则a应满足的条件是()aa1或a2ba1ca1且a2 da1且a2解析为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点(1)若三条直线交于一点，由解得将l2，l3的交点(a1,1)代入l1的方程解得a1或a2；(2)若l1l2，则由aa110，得a1，当a1时，l1与l2重合；(3)若l2l3，则由11a10，得a1，当a1时，l2与l3重合；(4)若l1l3，则由a1110，得a1，当a1时，l1与l3重合综上，当a1时，三条直线重合；当a1时，l1l2；当a2时，三条直线交于一点，所以要使三条直线能构成三角形，需a1且a2.答案d易错防范处，解题过程中，由a1或a2得a1且a2，此种错误只考虑了三条直线相交于一点不能构成三角形，而忽视了任意两条平行或重合的直线也不能构成三角形处，若得到a1，只考虑了直线的斜率不相等的条件，而忽视了三条直线相交于一点也不能构成三角形解答此类问题由条件不易直接求参数，可考虑从反面入手，同时考虑问题要全面，不要漏掉某些情形成功破障(2013银川高一检测)直线y2x10，yx1，yax2交于一点，则a的值为()a.bc. d解析：选c由解得即直线y2x10与yx1相交于点(9，8)，代入yax2，解得a.随堂即时演练1直线3x2y60和2x5y70的交点的坐标为()a(4，3)b(4,3)c(4,3) d(3,4)解析：选c由方程组得2已知点a(2，1)，b(a,3)，且|ab|5，则a的值为()a1 b5c1或5 d1或5解析：选c|ab|5，a5或a1.3设q(1,3)，在x轴上有一点p，且|pq|5，则点p的坐标是_解析：由题意设p(a,0)，则|pq|5，解得a14，即a5或3.故点p的坐标是(5,0)或(3,0)答案：(5,0)或(3,0)4若p，q满足p2q1，直线px3yq0必过一个定点，该定点坐标为_解析：因为p2q1代入整理：(2x1)q3yx0对q为一切实数恒成立，即2x10，且3yx0，所以x，y.答案：5(2012山东德州高一检测)分别求经过两条直线2xy30和xy0的交点，且符合下列条件的直线方程(1)平行于直线l1：4x2y70；(2)垂直于直线l2：3x2y40.解：解方程组得交点p(1,1)(1)若直线与l1平行，k12，斜率k2，所求直线方程为y12(x1)即：2xy10.(2)若直线与l2垂直，k2，斜率k，y1(x1)即：2x3y50.课时达标检测一、选择题1(2012曲靖高一检测)两直线2x3yk0和xky120的交点在y轴上，那么k的值为()a24 b6c6 d24解析：选c在2x3yk0中，令x0得y，将代入xky120，解得k6.2到a(1,3)，b(5,1)的距离相等的动点p满足的方程是()a3xy80 b3xy40c3xy60 d3xy20解析：选b设p(x，y)，则，即3xy40.3过两直线3xy10与x2y70的交点且与第一条直线垂直的直线方程是()ax3y70 bx3y130c3xy70 d3xy50解析：选b由得即交点为(1,4)第一条直线的斜率为3，且两直线垂直，所求直线的斜率为.由点斜式得y4(x1)，即x3y130.4过点a(4，a)和点b(5，b)的直线与yxm平行，则|ab|的值为()a6 b.c2 d不能确定解析：选b由kab1，得1，ba1.|ab|.5方程(a1)xy2a10(ar)所表示的直线()a恒过定点(2,3)b恒过定点(2,3)c恒过点(2,3)和点(2,3)d都是平行直线解析：选a(a1)xy2a10化为axxy2a10，因此xy1a(x2)0由得二、填空题6已知在abc中，a(3,1)，b(3，3)，c(1,7)，则abc的形状为_解析：|ab|，|ac|，|bc|，|ab|2|ac|2|bc|2，且|ab|ac|，故abc是等腰直角三角形答案：等腰直角三角形7已知直线ax4y20和2x5yb0垂直，交于点a(1，m)，则a_，b_，m_.解析：点a(1，m)在两直线上，又两直线垂直，得2a450, 由得，a10，m2，b12.答案：101228在直线xy40上求一点p，使它到点m(2，4)，n(4,6)的距离相等，则点p的坐标为_解析：设p点的坐标是(a，a4)，由题意可知|pm|pn|，即，解得a，故p点的坐标是.答案：三、解答题9求证：不论m取什么实数，直线(2m1)x(m3)y(m11)0恒过定点，并求此定点坐标证明：法一：令m得y3；令m3得x2.两直线交点为(2,3)，将点(2,3)代入原直线方程，得(2m1)2(m3)3(m11)0恒成立，因此，直线过定点(