2008年上海本科高校《高等数学》统一测试卷(经管卷)答案.pdf

2008 上海本科高校 高等数学 2008 上海本科高校 高等数学 统一测试试卷 经管卷 适用专业 经管类本科专业 考试形式 闭卷 所需时间 120 分钟 学校 姓名 班级 学号 一 单项选择题 在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案 填在题末的括号中 本大题分 5 小题 每小题 2 分 共 10 分 1 若当时 等价于0 x xfx 则 x xf x lim 0 D A 1 B C 1 1 D 不存在 2 若 4 3 2 1 xxxxxxfy 则0 x f在上实根的个数为 C 4 0 A 5 B C 3 D 24 3 设是奇函数且在处可导 则 xf0 x x xf 在0 x处为 B A 跳跃间断点 B 可去间断点 C 无穷间断点 D 连续点 4 下列广义积分发散的是 C A dx x 1 2 1 1 B C dxxe x 1 e xx dx ln D 1 1 xx dx 5 已知生产某商品单位 需求函数为Q 3 16 P Q 当8 P时 若价格上涨 1 则收 益将 A A 增加 0 8 B 减少 0 8 C 增加 0 2 D 减少 0 2 二 填空题 将正确答案填在横线上 本大题分 5 小题 每小题 2 分 共 10 分 1 的单调增加区间为 32 1 xy 0 或 0 2 若8 1 2 lim xk x x x 则 k 2ln 3 设 则的拐点坐标为 dttxf 1 0 2 arctan1 xf 1 0 4 dx xx 1 sin 1 2 C x 1 cos 5 确定定积分 dxx 2 0 2 2 2 三 计算题 必须有解题过程 本大题共 10 小题 每小题 6 分 总计 60 分 1 已知xxxyarcsin1 2 求 dydxx212 解 2 22 2 2 12 1 1 1 1x xx x xy 4 分 dxxdy 2 12 6 分 2008 年上海本科高校 高等数学 统一测试卷 经管卷 答案 doc 第 1 页 共 4 页 2 求曲线yxysin 2 1 在处的切线方程 00 032 yx 解 yyy cos 2 1 1 y y cos2 2 3 分 3 2 k 切线 6 分 032 yx 3 设确定了函数求 tey tex t t sin cos xyy dx dy tt tt sincos cossin 解 4 分 sin cos ttetx t cos sin ttety t tt tt dx dy sincos cossin 6 分 4 求极限 1ln lim 1 xx xx x x 2 解 原式 x xx x x1 1 1 ln lim 1 0 0 3 分 2 1 1 ln lim 2 12 1 0 0 x xxx xx x 6 分 5 求dx ex 1 1 Ce x 1arctan2或Ce x 2 arctan2 解 令uex 1 1ln 2 ux du u u dx 2 1 2 2 分 Cudu u dx e x arctan2 1 2 1 1 2 5 分 Ce x 1arctan2 6 分 6 1 2121lim nn n LL 2 2 解 原式 n nnnn n n 1 2 1 lim 4 分 2 2 6 分 7 求dx xx 1 02 1 1 4 解 原式dt tt t 2 0 cossin cos 令txsin 2 分 dt tt t dt tt t 2 0 2 0 cossin sin 2cossin sin 1 3 分 令ut 2 右式第二项 2008 年上海本科高校 高等数学 统一测试卷 经管卷 答案 doc 第 2 页 共 4 页 du uu u du uu u I 2 0 0 2 cossin cos cossin cos 5 分 2 2 I 4 I 原式 4 6 分 2 a 8 设 0 0 sin 11 2 22 xa x x xa xf 当 当 0 a 试确定的值 使在处连续 a xf0 x 解 x xa xffa xx 2 22 00 sin 11 lim lim 0 2 分 2 2 22 0 2 1 2 1 lima x xa x 4 分 即得 2 2 1 aa 因 故0 a2 a 6 分 9 试判定曲线 x x y sin2 cos 在 2 0 上的凹凸性 在 2 0 2 2 3 为凸 在 2 3 2 为凹 拐点坐标为 0 2 0 2 3 解 22 sin2 sin21 sin2 coscos sin2 sin x x x xxxx y 2 分 4 2 sin2 cos sin2 2 sin21 sin2 cos2 x xxxxx y 3 sin2 1 sincos2 x xx 3 分 当 2 0 x 曲线凸 当0 y 2 3 2 y 曲线凹 当 2 2 3 x 曲线凸 6 分 0ax轴交点及作 曲线的两条法线 求曲线与这两条法线所围成的平面图形面积的最小值 在 上考虑 0 2 0 2 22 x 3 68 8 6 S 解 法线方程 axy2 ay4 2 2 4 1 x a y 1 分 是偶函数 4 2 xay dxx a xaS 2 0 2 2 4 1 4 2 3 分 dx a a a x ax 2 1 4 4 2 2 0 2 a a a x ax a xx a 1 3 32 2 4 83 2 2 0 23 5 分 2 1 3 32 a aS 0 a S 32 3 2 a 0 aQ 8 6 a 0 2 3 a aS 为最小 S 当 8 6 a时 最小S 3 68 8 分 2 本小题 7 分 天地校园行 在各校园间演出 其道具由某运输公司承运 已知车辆运 行费用由燃料费和其他费用组成 燃料费和车辆行驶速度的平方成正比 当车辆行驶速度 为每小时 60 公里时 燃料费为每小时 12 元 其他费用为每小时 27 元 假设道路限速每 小时 110 公里 问车辆行驶速度为多少时 每公里所需费用总和最小 90km h 解 设速度 率 为xkm h 行驶 1km h 所需总费用为y 元 燃料费为p 12602 2 px 300 2 x p x xx x y 27 300 27 300 1 2 3 分 0 27 300 1 2 x y 90 x0 90 y 且110 x 所以当速度为 90km h 时 每公里所需费用总和最小 7 分 3 本小题 5 分 不经过计算积分 试证明 dxxdx x x 1 0 1 0 1ln 1