湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 2.2.1等差数列导学案（含解析）新人教版必修5 (2).doc

等差数列第一课时等差数列目标定位：1.了解等差数列与方程，一次函数的联系。 2.理解等差数列的概念。（重点） 3.掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念，深化认识并能运用。（难点）等差数列的定义提出问题1有一座楼房第一层的每级台阶与地面的高度(单位：cm)依次为：16,32,48,64,80,96,112,128，320.22012年伦敦奥运会女子举重共设置7个级别，其中较轻的4个级别体重(单位：kg)分别为：48,53,58,63.3鞋的尺码，按照国家规定，有：22,22.5,23,23.5,24,24.5，问题1：上面三组数构成数列吗？提示：构成问题2：若上面三组数构成数列，试观察它们从2项起，每一项与前一项的差有什么特点？提示：等于同一常数导入新知等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示化解疑难1“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合2“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了： 作差的顺序；这两项必须相邻3定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列.等差中项提出问题问题：观察上面三个数列，每个数列的任意连续三项之间有什么样的关系？提示：前一项与后一项的和是中间项的2倍导入新知等差中项如果三个数a，a，b成等差数列，那么a叫做a与b的等差中项这三个数满足的关系式是a.化解疑难1a是a与b的等差中项，则a或2aab，即两个数的等差中项有且只有一个2当2aab时，a是a与b的等差中项.等差数列的通项公式提出问题若一等差数列an的首项为a1，公差是d.问题1：试用a1、d表示a2、a3、a4.提示：a2a1d，a3a12d，a4a13d.问题2：由此猜想等差数列的通项公式an.提示：ana1(n1)d.导入新知等差数列的通项公式已知等差数列an的首项为a1，公差为d递推公式通项公式anan1d(n2)ana1(n1)d(nn*)化解疑难由等差数列的通项公式ana1(n1)d可得andn(a1d)，如果设pd，qa1d，那么anpnq，其中p，q是常数当p0时，an是关于n的一次函数；当p0时，anq，等差数列为常数列等差数列的判定与证明例1判断下列数列是否为等差数列(1)在数列an中an3n2；(2)在数列an中ann2n.解(1)an1an3(n1)2(3n2)3(nn*)由n的任意性知，这个数列为等差数列(2)an1an(n1)2(n1)(n2n)2n2，不是常数，所以这个数列不是等差数列类题通法定义法是判定(或证明)数列an是等差数列的基本方法，其步骤为：(1)作差an1an；(2)对差式进行变形；(3)当an1an是一个与n无关的常数时，数列an是等差数列；当an1an不是常数，是与n有关的代数式时，数列an不是等差数列活学活用1已知等差数列an的首项为a1，公差为d，数列bn中，bn3an4，问：数列bn是否为等差数列？并说明理由解：数列bn是等差数列理由：数列an是首项为a1，公差为d的等差数列，an1and(nn*)bn1bn(3an14)(3an4)3(an1an)3d.根据等差数列的定义，数列bn是等差数列.等差数列的通项公式例2(1)在等差数列an中，已知a510，a1231，求通项公式an.(2)已知数列an为等差数列a3，a7，求a15的值解(1)a510，a1231，则an2(n1)33n5通项公式an3n5.(nn*)(2)法一：由得解得a1，d.a15a1(151)d14().法二：由a7a3(73)d，即4d，解得d.a15a3(153)d12().类题通法1应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想一般地，可由ama，anb，得求出a1和d，从而确定通项公式2若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其他项时，则运用aman(mn)d则较为简捷活学活用2(1)求等差数列8,5,2，的第20项；(2)401是不是等差数列5，9，13，的项？如果是，是第几项？解：(1)由a18，d583，n20，得a208(201)(3)49.(2)由a15，d9(5)4，得这个数列的通项公式为an54(n1)4n1，由题意知，4014n1.得n100，即401是这个数列的第100项等差中项例3已知等差数列an，满足a2a3a418，a2a3a466.求数列an的通项公式解在等差数列an中， a2a3a418，3a318，a36.解得或当时，a116，d5.ana1(n1)d16(n1)(5)5n21.当时，a14，d5.ana1(n1)d4(n1)55n9.类题通法三数a，b，c成等差数列的条件是b(或2bac)，可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题如若证an为等差数列，可证2an1anan2(nn*)活学活用3(1)已知数列8，a,2，b，c是等差数列，则a，b，c的值分别为_，_，_.(2)已知数列an满足an1an12an(n2)，且a25，a513，则a8_. 解析：(1)因为8，a,2，b，c是等差数列，所以(2)由an1an1 2an (n2)知，数列an是等差数列，a2，a5，a8成等差数列a2a82a5，a82a5a2213521.答案：(1)514(2)21随堂即时演练1已知等差数列an的首项a12，公差d3，则数列an的通项公式为()aan3n1ban2n1can2n3 dan3n2解析：选aana1(n1)d2(n1)33n1.2等差数列的前3项依次是x1，x1,2x3，则其通项公式为()aan2n5 b.an2n3can2n1 dan2n1解析：选bx1，x1,2x3是等差数列的前3项，2(x1)x12x3，解得x0.a1x11，a21，a33，d2，an12(n1)2n3.3等差数列的第3项是7，第11项是1，则它的第7项是_解析：设首项为a1，公差为d，由a37，a111得，a12d7，a110d1，所以a19，d1，则a73.答案：34已知：1，x，y,10构成等差数列，则x，y的值