湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 3.2.2直线的方程学案 新人教版必修2.doc

32.2 & 3.2.3直线的两点式方程、直线的一般式方程 提出问题某区商业中心o有通往东、西、南、北的四条大街，某公园位于东大街北侧、北大街东p处，如图所示公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1 km和4 km.现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交汇于a、b两处，并使区商业中心o到a、b两处的距离之和最短问题1：在上述问题中，实际上解题关键是确定直线ab，那么直线ab的方程确定后，点a、b能否确定？提示：可以确定问题2：根据上图知建立平面坐标系后，a、b两点的坐标值相当于在x轴、y轴上的什么量？提示：在x轴、y轴上的截距问题3：那么若已知直线在坐标轴的截距可以确定直线方程吗？提示：可以导入新知直线的两点式与截距式方程两点式截距式条件p1(x1，y1)和p2(x2，y2) 其中x1x2，y1y2在x轴上截距a，在y轴上截距b图形方程1适用范围不表示垂直于坐标轴的直线不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线化解疑难1要注意方程和方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)形式不同，适用范围也不同前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线后者为整式形式方程，适用于过任何两点的直线方程2直线方程的截距式为1，x项对应的分母是直线在x轴上的截距，y项对应的分母是直线在y轴上的截距，中间以“”相连，等式的另一端是1，由方程可以直接读出直线在两轴上的截距，如：1，1就不是直线的截距式方程.提出问题观察下列直线方程直线l1：y23(x1)直线l2：y3x2直线l3：直线l4：1问题1：上述直线方程的形式分别是什么？提示：点斜式、斜截式、两点式、截距式问题2：上述形式的直线方程能化成二元一次方程axbyc0的形式吗？提示：能问题3：二元一次方程axbyc0都能表示直线吗？提示：能导入新知1直线与二元一次方程的关系(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示(2)每个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线2直线的一般式方程的定义我们把关于x，y的二元一次方程axbyc0(其中a，b不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式化解疑难1求直线的一般式方程的策略(1)当a0时，方程可化为xy0，只需求，的值；若b0，则方程化为xy0，只需确定，的值因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式2直线的一般式转化为其他形式的步骤(1)一般式化为斜截式的步骤移项得byaxc；当b0时，得斜截式：yx.(2)一般式化为截距式的步骤把常数项移到方程右边，得axbyc；当c0时，方程两边同除以c，得1；化为截距式：1.由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式例1三角形的三个顶点是a(1,0)，b(3，1)，c(1,3)，求三角形三边所在直线的方程解由两点式，直线ab所在直线方程为：，即x4y10.同理，直线bc所在直线方程为：，即2xy50.直线ac所在直线方程为：，即3x2y30.类题通法求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系活学活用1(1)若直线l经过点a(2，1)，b(2,7)，则直线l的方程为_(2)若点p(3，m)在过点a(2，1)，b(3,4)的直线上，则m_.解析：(1)由于点a与点b的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程，所求的直线方程为x2.(2)由两点式方程得，过a，b两点的直线方程为，即xy10.又点p(3，m)在直线ab上，所以3m10，得m2.答案：(1)x2(2)2 例2直线l过点p(，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于a、b两点，o为坐标原点(1)当aob的周长为12时，求直线l的方程(2)当aob的面积为6时，求直线l的方程解(1)设直线l的方程为1(a0，b0)，由题意知，ab12.又因为直线l过点p(，2)，所以1，即5a232a480，解得所以直线l的方程为3x4y120或15x8y360.(2)设直线l的方程为1(a0，b0)，由题意知，ab12，1，消去b，得a26a80，解得所以直线l的方程为3x4y120或3xy60.类题通法用截距式方程解决问题的优点及注意事项(1)由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式(3)但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论活学活用2求经过点a(2,2)，并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程解：设直线在x轴、y轴上的截距分别是a、b，则有s|ab|1.ab2.设直线的方程是1.直线过点(2,2)，代入直线方程得1，即b.ab2.当2时，化简得a2a20，方程无解；当2时，化简得a2a20，解得或直线方程是1或1，即2xy20或x2y20.例3(1)已知直线l1：2x(m1)y40与直线l2：mx3y20平行，求m的值；(2)当a为何值时，直线l1：(a2)x(1a)y10与直线l2：(a1)x(2a3)y20互相垂直？解(1)法一：由l1：2x(m1)y40.l2：mx3y20.当m0时，显然l1与l2不平行当m0时，l1l2，需.解得m2或m3.m的值为2或3.法二：令23m(m1)，解得m3或m2.当m3时，l1：xy20，l2：3x3y20，显然l1与l2不重合，l1l2.同理当m2时，l1：2x3y40，l2：2x3y20，l1与l2不重合，l1l2，m的值为2或3.(2)法一：由题意，直线l1l2，若1a0，即a1时，直线l1：3x10与直线l2：5y20，显然垂直若2a30，即a时，直线l1：x5y20与直线l2：5x40不垂直若1a0，且2a30，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1，k2，当l1l2时，k1k21，即()()1，所以a1.综上可知，当a1或a1时，直线l1l2.法二：由直线l1l2，所以(a2)(a1)(1a)(2a3)0，解得a1.将a1代入方程，均满足题意故当a1或a1时，直线l1l2.类题通法1直线l1：a1xb1yc10，直线l2：a2xb2yc20，(1)若l1l2a1b2a2b10且b1c2b2c10(或a1c2a2c10)(2)若l1l2a1a2b1b20.2与直线axbyc0平行的直线方程可设为axbym0，(mc)，与直线axbyc0垂直的直线方程可设为bxaym0.活学活用3(1)求与直线3x4y10平行且过点(1,2)的直线l的方程；(2)求经过点a(2,1)且与直线2xy100垂直的直线l的方程解：(1)法一：设直线l的斜率为k，l与直线3x4y10平行，k.又l经过点(1,2)，可得所求直线方程为y2(x1)，即3x4y110.法二：设与直线3x4y10平行的直线l的方程为3x4ym0.l经过点(1,2)，3142m0，解得m11.所求直线方程为3x4y110.(2)法一：设直线l的斜率为k.直线l与直线2xy100垂直，k(2)1，k.又l经过点a(2,1)，所求直线l的方程为y1(x2)，即x2y0.法二：设与直线2xy100垂直的直线方程为x2ym0.直线l经过点a(2,1)，221m0，m0.所求直线l的方程为x2y0.典例求过点a(4,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程解当直线过原点时，它在x轴、y轴上的截距都是0，满足题意此时，直线的斜率为，所以直线方程为yx.当直线不过原点时，由题意可设直线方程为1，又过点a，所以1(1)因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，所以|a|b|(2)由(1)(2)联立方程组，解得或所以所求直线的方程为1或1，化简得直线l的方程为xy6或xy2.综上，直线l的方程为yx或xy6或xy2.多维探究1截距相等问题求过点a(4,2)且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程解：(1)当直线过原点时，它在x轴、y轴上截距都是0，满足题意，此时直线斜率为，所以直线方程为yx.(2)当直线不过原点时，由题意可设直线方程为1，又过a(4,2)，a6，方程为xy60，综上，直线方程为yx或xy60.2截距和为零问题求过点a(4,2)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程解：(1)同上(2)当直线不过原点时，由题意可设直线方程为1.又过a(4,2)，1，即a2，xy2.综上，直线l的方程为yx或xy2.3截距成倍数问题求过点a(4,2)且在x轴上截距是在y轴上截距的3倍，求直线l的方程解：(1)同上(2)当直线不过原点时，由题意可设直线方程为1，又直线过a(4,2)，所以1，解得a，方程为x3y100.综上，所求直线方程为yx或x3y100.4截距和是定数问题求过点a(4,2)且在两坐标轴上截距之和为12的直线l的方程解：设直线l的方程为1，由题意4b2aab，即4(12a)2aa(12a)，a214a480，解得a6或a8.因此或所求直线l的方程为xy60或x2y80.方法感悟如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”、“截距的绝对值相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m0)”等条件时，可采用截距式求直线方程，但一定要注意考虑“零截距”的情况 随堂即时演练1直线1在两坐标轴上的截距之和为()a1b1c7 d7解析：选b直线在x轴上截距为3，在y轴上截距为4，因此截距之和为1.2直线3x2y4的截距式方程是()a.1 b.4c.1 d.1解析：选d求直线方程的截距式，必须把方程化为1的形式，即右边为1，左边是和的形式3直线l过点(1,2)和点(2,5)，则直线l的方程为_解析：由题意直线过两点，由直线的两点式方程可得：，整理得xy30.答案：xy304斜率为2，且经过点a(1,3)的直线的一般式方程为_解析：由直线点斜式方程可得y32(x1)，化成一般式为2xy10.答案：2xy105三角形的顶点坐标为a(0，5)，b(3,3)，c(2,0)，求直线ab和直线ac的方程解：直线ab过点a(0，5)，b(3,3)两点，由两点式方程，得.整理，得8x3y150.直线ab的方程为8x3y150.又直线ac过a(0，5)，c(2,0)两点，由截距式得1，整理得5x2y100，直线ac的方程为5x2y100.课时达标检测一、选择题1平面直角坐标系中，直线xy20的斜率为()a. bc. d答案：b2如果axbyc0表示的直线是y轴，则系数a，b，c满足条件()abc0 ba0cbc0且a0 da0且bc0解析：选dy轴方程表示为x0，所以a，b，c满足条件为a0且bc0.3.已知直线axbyc0的图象如图，则()a若c0，则a0，b0b若c0，则a0，b0d若c0，b0解析：选d由axbyc0，得斜率k，直线在x、y轴上的截距分别为、.如题图，k0.0，0，ac0，bc0.若c0，b0；若c0，则a0，b0.4直线(m2)x(m22m3)y2m在x轴上的截距为3，则实数m的值为()a. b6c d6解析：选b令y0，则直线在x轴上的截距是x，3，m6.5若直线x2ay10与(a1)xay10平行，则a的值为()a. b.或0c0 d2解析：选a法一：当a0时，两直线重合，不合题意；当a0时，解之得a，经检验a时，两直线平行法二：直线x2ay10与(a1)xay10平行，1(a)(a1)2a0.即2a2a0.a0或a.验证：当a0时，两直线重合，故a.二、填空题6已知直线l的倾斜角为60，在y轴上的截距为4，则直线l的点斜式方程为_；截距式方程为_；斜截式方程为_；一般式方程为_解析：点斜式方程：y4(x0)，截距式方程：1，斜截式方程：yx4，一般式方程：xy40.答案：y4(x0)1yx4xy407若直线l1：ax(1a)y3与l2：(a1)x(2a3)y2互相垂直，则实数a_.解析：因为两直线垂直，所以a(a1)(1a)(2a3)0，即a22a30，解得a1，或a3.答案：1或38垂直于直线3x4y70，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x轴上的截距是_解析：设直线方程是4x3yd0，分别令x0和y0，得直线在两坐标轴上的截距分别是，6.d12，则直线在x轴上截距为3或3.答案：3或3三、解答题9已知在abc中，a，b的坐标分别为(1,2)，(4,3)，ac的中点m在y轴上，bc的中点n在x轴上(1)求点c的坐标；(2)求直线mn的方程解：(1)设点c(m，n)，ac中点m在y轴上，bc的中点n在x轴上，由中