排列组合问题中数学思想方法探讨.pdf

陈国树排列组合 问题 中数学思怒方 法探讨 排歹U组合问题中数学思想方法探讨 陈 国树 川北教育学院数学系 四川遂宁 6 29000 摘要 本文从数学方法论的角度 探 讨解排列组合问题的各 种方法 中所蕴涵 的数 学 思怨 如 分类思怒 特 珠化思怨 化归思想 对 称思想 具 休问题一般化畏怒 数学模型化 思怒 等 等 关键词 排 列组合数学思怨方法 排列 组合是 中学数学中较特殊的一个内容 它的思维方式 独特 解 题方法 灵 活多变 既有直接 法 间接法 还 有一些典型解法 这些方法中蕴涵了非常丰富的数学思想 本文将就这 方面的问题 进 行探讨 以便加深对排列组合解题方法的理 解 1 分类思想 解排列 组合问题最常用 的方法是分类法 它的基本思想是 当被研 究的问题包含多种可能的情 况 导致我们不能对它们一概而论的时候 迫使我们按可能出现的所有情况来分类讨论 得 出各类 相应 的结论 分类法以加法原理为基 础 加法原理给我们提供 了分类后排列数或组合数的计算方 法 加法原理所回答的是分类独立完成一件事 每类方 法都能完成这件事 那么完成这件事总的方 法数是各类方法数之 和 应用加法原理解题时 要求分类要合理 一方面 分类必须详尽无遗 否则 就会漏算 另一方面 分出的类不应有交叉 否则就会重复计算 对于带限制条件的排列组合问题 解题的关键往往是恰当的分类 例 1 七个人排成一 列 甲不在首位 乙不在末位 共有多少种不同的排法 分析 考虑元素甲 题中要求甲不在首位 因此 甲只能在另外六个 位置上 又题中对末位元素有 限制条件 而对中间五个位置未加任何限制 所以可将符合条件的排列分为 甲在末位 和 甲不在 末位 两类 所求七 人的 卜 法有 甲在末位时 有P息 种 甲不在末位且甲不在首位时 有 P P I P 种 根据加 法原理 知 符合条件 的排法有 PI P P P 一3 720 种 由上 可 知 对带限制条件的全排列 或选排列 问题 可以按某一特殊元素 在某一特殊 位置 和 不在这一特殊位置 一分为二 地分成两类分别计算排列数 然后根据加法原理相加得解 2 特殊化思想 求解带限制条件的的排列组合问题通常有两种方法 一是直接计寡法 把符合限制条件的排列 收稿日期 199 5一10一0 4 DOI 10 13974 ki 51 1645 z 1995 04 011 1995 年 弟4期 川北教育学院学报 自然科学版 总认粼 数或组合数直接计算出来 二是间接计算法 先算出无限制条件的所有 排列数或组合数 再从中减 去全部不符合条件的排列数或组合数 以上 两种方法中都体现 了特殊化思想 即优先考虑受限制 的元素或位置 从特殊元素或特殊位置着 手 抓住主 要矛盾 这样就 可使问题迎刃而 解 例 2 用 1 2 3 4 5这五个数字可以组成比20 0 0 0大 并且十位数字不是 5 的没有重复数字 的五位数共有多少个 分析 直接计算法 优先考虑特殊位置万位 十位及特殊元素 5 符合条件的五位数可分成两 类 第一类 万位数字是 5 有 P之个 第二类 万位数字不是 5 且万位数字比 1大 那么万位数字有P 种排法 十位数字 有 P 种排 法 剩余位置有 P 种排法 因而相应的五位数的个数有 P生 P P 个 根据加法原理 所求的五位数共有 P之十巩 P P 一78 个 间接计算法 先求出满足第一个限制条件的五位数的个数 然后从中减去不满足第二个限制 条件的五位数的个数 比20 0 大的五位数的个数是P乏 PI 其中十位数字是 5 的五位数的个数 是 P P 因而所求的五位数有 P卜P 一P P 78 个 间接计算法 先求出不考虑任何限制条件的五位数的个数P复 然后从 中减去万位数字 是 1 的 五位数的个数P二 和十位数字是 5 的五位数的个数 P二 由于同时满足这两个条件的五位数共有 P 个被减去了二次 还应补上 一次 因而所求的五位数的个数为 P套一ZP P孟一78 个 3 化归思想 化归方法是贯穿 于整个中学数学的基本方法之一 它的基本思想是 在 解决问题的过 程中 面 对 问题不 是直接求解 而是对此进行变形转化 进 而把它们化归为某个已经解决或容易解决的问 题 在排列组合问题的解题过程中化归思想更是应用广泛 无处 不在 如组合数公式的导 出 解题 中正面与反面 对立面之间 整体与局部的相互转换 等等 都是化归 思想的谁犷现 例 3 求由 1 2 3 4 5 6这六 个数字组成没有重复数字且数字1与2不相邻的六位数的个 数 分析 符合条件 1与2不相邻 的情况很多 直接讨论较复杂 一 因此 我们不妨从反 面情况 1 与 2相邻 入手 间接求解 解决相邻间题可用捆绑法 即假定先用一根 绳子 把 1 与 2 捆在一起 看成一 个元素 与另外四个数字的排法 有 P套种 然后将绳子松 开 1 与 2 的排法有P 种 由乘法原 理知 1 与 2相邻 的六位数有P P圣 个 故符 合条件的六位数有 P 一PI PI 480 个 4 对称思想 对称思想是数学的基本思 想 在解排列组合问题时 如能洽当地利用元素之间位置的对称关 系 便可使解题过程 显得异常简捷明快 例 4 A B C D E F六 人排成一排 如果A必须站在 B 的右边 A B可以不相邻 那么共有 多少种不 同的排法 分析 若逐一 罗列 A在B 的右边 的情况 考虑起来非常复杂 若考察 A B 的位置关系 注 意 4 1 陈国树 排列组合问题中数学思想方 法探讨 到对 立面 B在A的右边 的情况 这两种情况 具有对称性 因此它们各占全排列数P息的一半 这 样立即可得问题的答案 告 p 一36 种 例 5 从 1到9 这九个数字中任取 3个组成无重复数字的三位数 要求百位上 数字大于十位 上数字 十位上数字大于个位上数字 那么这 样的三位数共有多少个 分析 从 1到9这九个数字 任取3个 组成无重复数字的三位数共有P聋 个 考虑到百 十 个位 上数字大 小关系 的对称性 任意 三个不 重复数字组成的三位数有 P 个 而其中只有一个三位数满 足百位上数字大于十位上数字 十位上数字大于个位上数字 因此符合题意的三位数应占总体的 含 即有 音 P 一84 个 5 具体问题一般化思想 将具体间题一般化后可能带来更方便的解答 其原因在于递归关系可帮助我们很快得出一般 解 而具体数字反而不好处理 这正是 简单的反而复杂 复杂的反而简单 例 6 设有1 0 0 元人 民币用于购买物品 规定每天只能以下述三种形式之一买东西 1 买糖 l 元 2 买饼干2元 3 买水果2元 而 且不允许不买东西 问有多少种方式用完这1 0 0元人民币 分析 如果只有 1元人 民币 则依此规定只有一种方式用完 如果 有 2元人民币 则 可以有 3种 不同方式用完 此 外又可看出 将全部钱用完可分两阶段完成 第一 天用 钱及以后用钱 因而可依 第一天 用钱方式不同而分类求和 但目前 10 0 元人 民币如果这样一天天地计算求和 显然很麻烦 于是 我们先 复杂化 一下 改求依规定 用完 n 元人民币的方式数 x 对第一天用钱的方式进 行分类 第一天买糖用 1元 余下 n 一1 元在以后诸天用完 其方式数 因为规则不变 是 x n一 第一天买饼干或水果 2元 余下 n 一2 元在以后诸夭用完 其方式数为 x卜2 用乘法原理知 以上第丫类共有x n一种方式 第二类共郁 一种方表 再由加法原理知 x n X n一 十Zx卜 又已知 x 一1 x Z一 3 上式 两边同加一个x n 一 然后反复用此关系式可得 x n x 一 2 x 一 x 一 一 2卜 x xl Z n 移项 后再反复用此关系式可得 x 一Z n 一 x 卜 i Z n 一2卜 1 x卜2 1 二 一艺一 艺 十艺 一 十气一 1 乙 十 L一1 xl 二不贬万 十 L一1少 J 将 飞一 1 代入得出用完 o 元人 民币的方式数为粤 2 0 1十1 Q 6 数学模型化思想 将一般 问题数学模型化后 可使解题 规范化 便于寻求一般解法 例 7 求不 定方程 x 十y十 一9的正整数解的组数 分析 可用 9个小球表示9个 1 排成一排 用 2 块隔板插 入其相互间的 8个缝子中的两个 之 内 如 这样就将 9 个 1划分为三个部分 每一种划分对 应着一 组解 x y 42 159 9 年 期 第4期 川 北教育 学院学很 自然科 学版 总认粼 乙 因为不同的划分方式共有 C 忿 种 故不定方程共有 C蕊二2 8组不同的正整数解 例8 求不 定方程 x y 9 的非负整数解的组数 分析 可将所有符合条件的解分为三类 第一类 解 x y z 中有两个零时 有 C 组 第二类 解x y z 甲有一个零时 有 C C孟 组 第三 类 解 x y 是正整数解 时 有C毒 组 由加法原理知 不定方程非负整数解的组