数学解题中的修正方法.pdf

2 8 数 学 教 学 研 究 2 0 0 5年第5 期 一 一 一 方程 n c 0的一根为 1 另一 根为 l 贝 0 l 1 2 x 一1 最 口 l 一 2 由 m 1 一a 0 或 m 2 一a l 一2 故 m 3 1 得 m 3 0 所以 厂 m 3 和 m 2 3 中至 少有一个为正数 师 同学们解题后的议论实在精彩 不仅找到了 解决问题的切入点 并自觉运用函数与方程的数学 思想解决方程与不等式的问题 而且在解题思路上 有了很大的飞跃 创造性地得出 r这么多出人意料 的 值得回味的解法 实在可贵 生1 6 将 m 或m 是 方程戗 C 一a 的根 这一条件转化为 m 或 不小于方程n c 一 a的最小根 使问题 得以解决 生 1 7 得出 该抛物线的弦长小于3 这一 重要结论 也使问题顺利解决 生1 8 则考虑的是二次 L 1 函 数的 对称 轴 得到 一 一 仍呵 使问 题 迎 刃而解 同一条件 从不同的角度出发都能使问题得 到解决 因此 同学们在平时的学习中不能只局限于 听懂老师讲的方法或看懂书上的参考答案 而要善 于独立思考 找出问题的实质 形成解题思路 这样 日积月累解题能力必将得到提高 才能真正做到以 不变应万变 请同学们课下继续思考与鉴别 你最欣 赏那种解法 那种解法最简捷 那种思考方式最能体 现数学思维本质 下课了 从同学们脸上看到的是兴奋和自 信 许 多同学跑到讲台上围着老师继续谈论着自己的观 点 与以往那种讲过一些难题后 同学们脸上紧锁着 的双眉相比形成了鲜明的反差 教师也感受到了无 比的快乐 虽然这堂课只研究了一道题 但同学们的 收扶远远不是会解这一道题 他们学会了如何去思 考 如何研究问题 解决问题 往传统的教学中学生 只足被动地听 机械地模仿 因而课上经常走神 不 能高度集中听讲 更谈不上有能力的提升 那么在以 能力立意的高考试题中就会败下阵来 这节课上每 位同学都能积极主动地思考 争先恐后地发言 倾听 别人的见解 使每位同学的思维都动了起来 实践证 明 这样的教学是高效的 数学解题中的修正方法 游仁道 福建省上杭县第一中学 3 6 4 2 0 0 在数学解题中 起初确定的解题思路往往是粗 线条的 概略性的 有时可能还是尝试性的 出于问 题的复杂性 或解题思维的缺陷等主 客观原 解 题的进程有时会中断或偏离正确的方向 因此 解题 者必须对解题线路做出修正 通过修正强化正确 纠 正错误 优化解题 本文结合几个具体例子 谈谈数 学解题修正的几种常用方法 1 方向修正 面对一个数学问题 如何根据问题解决的终极 目标 选择适当的途径和方法 确定思考的大方向 是进行数学解题修正的基本方法 例 l 函数 Ms i n 0 在区 间 b 卜 是增函数 且厂 a 一M b M 则函 数g M c o s 似 在 a b 上 A 足增函数 B 可以取得最大值 C 是减函数 D 可以取得最小值 一 解答该题可以有下列三种思考方向 方向1 就M 的一般情况进行考虑 方向2 令 M 4 2 q l 进行考察 方向3 令 M 1 妒 0进行考察 在选择思考方向时 应清醒地意识到 当一个命 题正确时 其特殊情形一定正确 当一个命题的特殊 情形不正确时 这个命题一定不真 从而大胆地选取 方向3 得知只有 B 正确 C 一 0 一 lI 6 且 一 2 一 c一 0 1一 某生打算分别就 1 一 与0的大小关系进行讨 论 起初的解法为 由 f 一 0 得 1 0 f 一 0 一 由 3 2 x 0 得 一 2 1 一 原不 等式的 解集为 l 一 Y 至此经审视发现这种解法不妥 因为它遗漏了 1 一 0 且3 2 x 0 的情况 此时 显然满 足原不等式 于是修正等号的归并取向 改为 由 f 卜 0 得 1 0 得一 2 1一 原不等式的解集为 I 一 Y1 即 有0 0 0 b b b U n 与题设矛盾 故猜想正确 所以F 1 为所求 猜想不但使我们直接获得 l 结论 而且成为后 续证明的起点 可以说 猜想修正对解决问题是必不 可少的 7 目标修正 目 标修正指的是人们对要实现的目标重要性的 认识 它对控制解题的盲目性 实现对解题过程的调 节起着重要作用 在解答数学问题时 若能有效地利 用目标修正 有利于正确地制定解题策略与方法 例7 求证 当 为整数时 方程 2 3 y 0中的Y也是整数 分析 把已知等式变形 以显现问题的本质含 义 由 2 x 3 y 0 得Y 一 2 由 于Y 是 的奇函数 只需证明 是非负整数时 Y是整数 即可 这一 目标提醒我们 应该选择数学归纳法这一 数学方法加以证明 可一试又发现 从Y k 到Y k 1 不好过渡 为达到目的 应先探明Y k 与 Y k 1 k N 之间的递推关系 即町突破归纳论证的 困难 为此 先探索 Y k 1 一Y k 一生 生 一 2 2 3 3 一 k k 1 y 1 y k 一 k k 1 N 有 r 上式 即可用数学归纳法完成证明 循着 目 标 找到了解决问题的数学方法 数 学归纳法 为达 目标 又挖掘出了问题 的根本 递推关系式 可以说 目标是解题修正的指南针 8 对比修正 对比修正指的是对同一问题从不同的角度或用 不同的方法进行求解 然后再加以对比 若能得到同 一 结论 使其彼此验证 互为补充 即可使结论得以 肯定 反之 可从中纠正某种错误的思路 例8 一个小组共有l 0 名同学 其中4 名是女同 学 6名是男同学 要从小组里选出3 名代表 其中至 少有一名女同学 求一共有多少种选法 解法 1 至少有一名女同学 用分步来考虑 第 一 步先从4 名女同学中选 1 名 有 种选法 第二步 从余下的9名同学中选用2 名 有 种选法 所以符 合题意的选法有 l 4 4 种 解法2 采用排除法 1 0 名同学中任选3 名代表 的选法种数是c j0 而3 名当选代表都足男同学的选 法种数是 所 以符合题意的选法有 一 1 0 0 种 两相对照 不难发现 第一种解法是错解 错因 在于没有排除计数中所包含的一类重复情况 即第 一 步如果选取女同学 A 第二步选取女同学 B的情 况 与第一步先选取 B而第二步选取 A实际上是同 一 种情况 但计数时却看成是二种不同情况 后一种 解法步步严密 故为止确解法 9创新修正 在各种修正方法中 创新修正最为可贵 我们当 然不可能要求学生作出世界领先的创造发明 但应 该引导 诱发 鼓励学生在强烈的创新意识的驱动下 不断实现解题中的自我突破 自 我修正 培养学生的 创造能力 维普资讯 2 0 0 5年第 5 期 数 学 教 学 研 究 3 1 例9 设等差数列 a i 和等比数列 b i a 0 a l b l a 2 b 2 且a i a 2 求证 当n 3 时 b a 这是一道有多种证法且有一定难度的好题 常 规证法有用数学归纳法或不用数学归纳法 但都较 繁 能不能跳出数列的藩蓠而另辟一条蹊径呢 真有 学生敢于打破常规找到了一种新颖别致的征法 设a l b l a a 2 b 2 b 由已知得 b a 0 要证的是 一 n一1 b一 n 3 U 能否将上述左边指数 n一1 挪 为系数呢 由于 1 那么 一 1 一 n E 1 n一1 b a c b a 1 n一1 n一1 6 一 果然奇迹般地成功了 在数学解题中 除了 卜 述修正方法外 常见的还 有 反思修正 审美修正 分解修正等 限于篇幅 这 里就不再赘述了 利用二次函数求一类复合函数的值域 李兰萍 甘肃省兰州市兰化第一中学7 3 0 0 6 0 二次函数是中学数字的重要内容 对于二次函 数 Y 毗 b x c 当其定义域为闭区间时 总存在 着最大值和最小值 当其定义域为开区间 只有当对 称轴在区间内时 A 存在一个最值 最大值或最小 值 否则不存在最值 利用二次函数的这一性质 我 们可以解决一类较为复杂的函数值域 或最值 问 题 下面举例表述 例 1 求函数 1 一 1 1 在区问 一 3 2 的值域 解 一 1 设 由 一 3 2 知 8 2 一 1 f 一 3 图 1 I I I I I 导 图 2 图 3 姗 目1 当 1 即 1 时 丢 当 t 8 即 一3时 一 5 7 所以函 数 值域为 5 7 例2 已知 满足2 1 o g x 7 1 o g x 3 0 求 1 g 号 J g 的 最 小 值 和 最 大 值 解 由不等式 2 1 o g x 7 1 o g x 3 0 得 一 3 l g 一 即 l g 3 1 o g 2 一1 1 o g 2 一2