数学建模题（洁具流水时间设计）.doc

洁具流水时间设计摘要本文是关于洁具流水的节水，保持清洁，节约能源的优化设计问题，即在给定人持续使用节水的时间和使用人数段概率的条件，确定最优解，使得洁具可达到最大限度节约水电的目的。本文从保持清洁，节约能源的视角解决该问题，建立了一个数学模型。 模型：把一个人使用洁具的全过程所需水量的期望值作为优化模型的目标函数，通过分区间讨论T的取值，对目标函数求导，解出其相应区间的最优值，从中选取一组最优解作为洁具流水时间设计的最佳方案，很好的解决了方案一的不清洁问题以及方案二的能源浪费问题。最佳时间T为15.09秒。洁具流水时间设计1. 问题的提出我国是个淡水资源相当贫乏的国家，人均可利用淡水量不到世界平均数的四分之一。据有关资料报道，我国目前生产的各类洁具消耗的能源（主要指用水量）比其它发达国家的同类产品要高出60%以上。在男性用的全自动洁具中，为达到节能目的，通过控制放水时间和次数来实现。改进洁具的性能，其中控制放水时间为主要因素。因此，在一定的限制与实用的情况下，选择合适的放水时间尤为重要。本论文试图从最优化的角度建立满足设计要求的洁具流水时间的数学模型，借助与计算机的高速运算与逻辑判断能力，求出最优的放水时间并画出相应的图形。2. 问题的分析为了分析问题方便，由于该模型中考虑洁具使用寿命，规定最多放水两次。 3. 模型假设（1）洁具放水次数不超过两次；（2）洁具的单位时间内流水量为常数；（3）洁具以均匀水流放水；4. 符号说明T:放水持续时间参数；f: 放水持续时间；V：洁具的单位时间内流水量为常数；E：T的期望；D：T的方差；5. 题目中方案一与方案二模型求解5.1题目中的数据厂家随机调查100人次男性从开始使用到离开洁具为止的时间时间（秒）12131415161718人次1512601363（图一）100人次男性从开始使用到离开洁具为止的时间的正态分布图（图二）5.2题目中的方案一的分析设上一个使用者离开和下一个使用者开始使用洁具 时间间隔充分大，可以保证洁具不受下一个使用者的影 响。则方案一时间的计算如下：当使用时间不超过 T-5 秒时，放水一次，时间为 T 秒。否则放水时间为 T+10 秒。数学表达式如下 根据图一，将T划分区间： 若0T-512，即5T17,则100*（T+10）无限接近于1500秒； 若12T-513，即17T18,那么1个人一次为T秒，其余99人为（T+10）秒，T=17时，T总=2690秒； 若13T-514，即18T19，那么6个人放水一次为T秒，其余94人为（10+T）秒，T=18时，T总=2740秒 若14T-515，即19T20，那么18个人放水一次为T秒，其余82人为（10+T）秒，T=19时，T总=2415秒； 若15T-516，即20T21，那么78个人放水一次为T秒，其余22人为（10+T）秒，T=20时，T总=2220秒； 若16T-517，即21T22，那么91个人放水一次为T秒，其余9人为（10+T）秒，T=21时，T总=2190秒； 若17T-518，即22T23，那么97个人放水一次为T秒，其余3人为（10+T）秒，T=22时，T总=2230秒；若18T-5，即23T，那么100个人放水一次为T秒，T=23时，T总=2300秒；5.3题目中的方案二的分析：考虑寿命的问题，则确定每位使用者使用时的冲水此时不超过2次。当使用时间不超过 T-5 秒时，放水一次，时间为 T 秒。否则，到 2T 时刻再开始第二次放水，总的放水时间 为 2T。依次类推，使用时间超过 nT-5 时，到第 2n T 的时刻再开始第 n+1 次放水，时间为 (n+1)T。数学 表达式如下： 182T-5 T11.5若,0T-512,则 5T17,T11.5 11.5T17此时,100人均超过(T-5)秒,故T总=2300秒;若12T-513,则T+99*2T,故T总=3383秒；若13T-514,则6T+94*2T,故T总=3492秒;若14T-515,则18T+82T*2T，故T总=3458秒；若15T-516,则78T+22*2T,故T总=2440秒;若16T-517,则91T+9*2T，故T总=2289秒；若17T-518,则97T+3*2T,故T总=2266秒; 若18T-5, 则100T,故T总=2300秒; 5.4对方案一和方案二的评价100人用水时间的累加（图三） 根据两个方案的数据可知,方案一的T的最佳值为21秒;方案二的T的最佳值22.对于节约,方案一更适合,对于清洁,方案二更适合.6模型的建立及求解6.1模型的建立把一个人使用洁具的全过程所需水量的期望值作为优化模型的目标函数，通过分区间讨论T的取值，对目标函数求导，解出其相应区间的最优值，从中选取一组最优解作为洁具流水时间设计6.2模型的求解T12131415161718P0.010.050.120.600.130.060.03 （图四）由图四计算时间T的方差D，期望E。； E=12*0.01+13*0.05+14*0.12+15*0.60+16*0.13+17*0.06+18*0.03 =0.12+0.65+1.68+9+2.08+1.02+0.54 =15.09 D=(12-15.09)2*0.01+(13-15.09)2*0.05+(14-15.09)2*0.12+(15-15.09)2*0.60+(16-15.09)2*0.13+(17-15.09)2*0.06+(18-15.09)2*0.03 =1.0529说 明 期 望 在 14.8864-15.2936 之 间概率为 95%，15.09 完全在其中。7. 设计规范合理性的讨论7.1 合理的方面：（1）为了考虑洁具使用寿命，放水次数不超过两次；（2）7.2 不合理的方面 在极少数情况下，该模型的最佳时间内，洁具的冲水可能导致洁具清洁度不高8 结果和误差分析本文根据洁具的放水时间和使用寿命建立了数学模型，得到的最佳持续放水时间为T=17秒。对于17秒，是根据 此结果比较符合题意，可以最大限度的达到节约能源和延长洁具使用寿命。9. 模型推广 （1）10. 模型的优点和缺点 参考文献：1谭浩强.C程序设计.1991，(91106).2数学建模（第三版）姜启源谢金星叶俊高等教育出版社2003.84洁具的国家标准中国智能家居网版权所有Copyright5概率论与数理统计教程（第四版）沈恒范高等教育出版社2003.4附录部分1正态分布的数学期望与方差设随机变量，则 令 ,得令 ,得 故 2随机变量的数学期望和方差（1）离散型随机变量的数学期望：；反映随机变量取值的平均水平。（2）离散型随机变量的方差：；反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度。在实际问题中，人们常关心