湖北省部分重点中学高三数学上学期起点考试试卷 理（含解析）.doc

湖北省部分重点中学2015届高 三上学期起点考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）i为虚数单位，z=，则i的共轭复数为（）a2ib2+ic2id2+i2（5分）若二项式（2x+）8的展开式中的常数项为70，则实数a可以为（）a2bcd3（5分）若某程序框图如图所示，则输出的n的值是（）a3b4c5d64（5分）直线l：y=kx+1与圆o：x2+y2=1相交于a，b 两点，则“k=1”是“oab的面积为”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分又不必要条件5（5分）已知函数y=2sinx的定义域为a，b，值域为2，1，则ba的值不可能是（）abc2d6（5分）若x，y满足且z=yx的最小值为2，则k的值为（）a1b1c2d27（5分）在空间直角坐标系oxyz中，已知a（2，0，0），b（2，2，0），c（0，2，0），d（1，1，），若s1，s2，s3分别表示三棱锥dabc在xoy，yoz，zox坐标平面上的正投影图形的面积，则（）as1=s2=s3bs2=s1且s2s3cs3=s1且s3s2ds3=s2且s3s18（5分）已知ab0，椭圆c1的方程为+=1，双曲线c2的方程为=1，c1与c2的离心率之积为，则c2的渐近线方程为（）axy=0bxy=0cx2y=0d2xy=09（5分）已知向量，满足|=1，与的夹角为，若对一切实数x，|x+2|+|恒成立，则|的取值范围是（）a，）b（，）c1，+）d（1，+）10（5分）已知f（x）=ln（1+x）ln（1x），x（1，1）现有下列命题：f（x）=f（x）；f（）=2f（x）|f（x）|2|x|其中的所有正确命题的序号是（）abcd二、填空题：本大题共4小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.（一）必考题（11-14题）11（5分）不等式|x1|+|x+2|5的解集为12（5分）已知偶函数f（x）在0，+）单调递减，f（2）=0，若f（x1）0，则x的取值范围是13（5分）过点m（1，1）作斜率为的直线与椭圆c：+=1（ab0）相交于a，b两点，若m是线段ab的中点，则椭圆c的离心率等于14（5分）以a表示值域为r的函数组成的集合，b表示具有如下性质的函数（x）组成的集合：对于函数（x），存在一个正数m，使得函数（x）的值域包含于区间m，m例如，当1（x）=x3，2（x）=sinx时，1（x）a，2（x）b现有如下命题：设函数f（x）的定义域为d，则“f（x）a”的充要条件是“br，ad，f（a）=b”；函数f（x）b的充要条件是f（x）有最大值和最小值；若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）a，g（x）b，则f（x）+g（x）b若函数f（x）=aln（x+2）+（x2，ar）有最大值，则f（x）b其中的真命题有（写出所有真命题的序号）（二）选考题（第15、16两题中任选一题作答，如果全选，则按第15题作答结果计分.）【选修4-1：几何证明选讲】15（5分）如图所示，已知ab，bc是o的两条弦，aobc，ab=，bc=2，则o的半径等于【选修4-4：坐标系与参数方程】16已知曲线c1的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c2的极坐标方程是=2，则c1与c2交点的直角坐标为三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（12分）在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角c的大小，（2）若c=2，求使abc面积最大时a，b的值18（12分）已知各项均为正数的数列an满足：sn为数列an的前n项和，且2，an，sn成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）若an2=（），cn=，求数列cn的前n项和19（12分）如图1，abc中，b=90，ab=，bc=1，d、e两点分别是线段ab、ac的中点，现将abc沿de折成直二面角adeb（）求证：面adc面abe；（）求直线ad与平面abe所成角的正切值20（12分）某省进行2015届高考改革，外语实行等级考试，其他学科分值如下表：科目语文数学科目a科目b科目c科目d分值180150120100100100（1）有老师建议语文放在首场，数学与科目a不相邻，按这位老师的建议安排考试，前三科总分不小于400的概率为多少？（2）若前三场科目中要安排语文，求前三场考试总分的分布列及期望值21（13分）已知点a（0，2），椭圆e：+=1（ab0）的离心率为，f是椭圆e的右焦点，直线af的斜率为，o为坐标原点（）求e的方程；（）设过点a的动直线l与e相交于p，q两点，当opq的面积最大时，求l的方程22（14分）已知函数f（x）=ln（1+2x）+ax（a0）（1）若f（x）在x=0处取极值，求a的值，（2）讨论f（x）的单调性，（3）证明（1+）（1+）（1+），（e为自然对数的底数，nn*）湖北省部分重点中学2015届高三上学期起点考试数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）i为虚数单位，z=，则i的共轭复数为（）a2ib2+ic2id2+i考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数代数形式的除法运算化简z，由共轭复数的概念得答案解答：解：z=，复数z的共轭复数为2i故选：a点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题2（5分）若二项式（2x+）8的展开式中的常数项为70，则实数a可以为（）a2bcd考点：二项式系数的性质 分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值再根据常数项为70，求得实数a的值解答：解：二项式（2x+）8的展开式的通项公式为tr+1=ar28rx82r，令82r=0，求得r=4，故展开式中的常数项为a424=70，求得 a4=，故选：a点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题3（5分）若某程序框图如图所示，则输出的n的值是（）a3b4c5d6考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：算法的功能是求满足p=1+3+（2n1）20的最小n值，利用等差数列的前n项和公式求得p，根据p20，确定最小的n值解答：解：由程序框图知：算法的功能是求满足p=1+3+（2n1）20的最小n值，p=1+3+（2n1）=n=n220，n5，故输出的n=5故选：c点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键4（5分）直线l：y=kx+1与圆o：x2+y2=1相交于a，b 两点，则“k=1”是“oab的面积为”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆相交的性质 专题：直线与圆；简易逻辑分析：根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论解答：解：若直线l：y=kx+1与圆o：x2+y2=1相交于a，b 两点，则圆心到直线距离d=，|ab|=2，若k=1，则|ab|=，d=，则oab的面积为=成立，即充分性成立若oab的面积为，则s=2=，解得k=1，则k=1不成立，即必要性不成立故“k=1”是“oab的面积为”的充分不必要条件故选：a点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键5（5分）已知函数y=2sinx的定义域为a，b，值域为2，1，则ba的值不可能是（）abc2d考点：三角函数的最值 专题：计算题分析：结合三角函数r上的值域2，2，当定义域为a，b，值域为2，1，可知a，b小于一个周期，从而可得解答：解：函数y=2sinx在r上有2y2函数的周期t=2值域2，1含最小值不含最大值，故定义域a，b小于一个周期ba2故选c点评：本题考查了正弦函数的图象及利用图象求函数的值域，解题的关键是熟悉三角函数y=2sinx的值域2，2，而在区间a，b上的值域2，1，可得函数的定义域与周期的关系，从而可求结果6（5分）若x，y满足且z=yx的最小值为2，则k的值为（）a1b1c2d2考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论解答：解：由z=yx得y=x+z，作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线y=x+z由图象可知当直线y=x+z经过点a时，直线y=x+z的截距最小，此时最小值为2，即yx=2，则xy2=0，当y=0时，x=2，即a（2，0），同时a也在直线kxy+2=0上，代入解得k=1，故选：b点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法本题主要考查的难点在于对应的区域为线段7（5分）在空间直角坐标系oxyz中，已知a（2，0，0），b（2，2，0），c（0，2，0），d（1，1，），若s1，s2，s3分别表示三棱锥dabc在xoy，yoz，zox坐标平面上的正投影图形的面积，则（）as1=s2=s3bs2=s1且s2s3cs3=s1且s3s2ds3=s2且s3s1考点：空间直角坐标系 专题：空间向量及应用分析：分别求出三棱锥在各个面上的投影坐标即可得到结论解答：解：设a（2，0，0），b（2，2，0），c（0，2，0），d（1，1，），则各个面上的射影分别为a，b，c，d，在xoy坐标平面上的正投影a（2，0，0），b（2，2，0），c（0，2，0），d（1，1，0），s1=在yoz坐标平面上的正投影a（0，0，0），b（0，2，0），c（0，2，0），d（0，1，），s2=.在zox坐标平面上的正投影a（2，0，0），b（2，0，0），c（0，0，0），d（1，0，），s3=，则s3=s2且s3s1，故选：d点评：本题主要考查空间坐标系的应用，求出点对于的投影坐标是解决本题的关键8（5分）已知ab0，椭圆c1的方程为+=1，双曲线c2的方程为=1，c1与c2的离心率之积为，则c2的渐近线方程为（）axy=0bxy=0cx2y=0d2xy=0考点：双曲线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab关系，即可求解双曲线的渐近线方程解答：解：ab0，椭圆c1的方程为+=1，c1的离心率为：，双曲线c2的方程为=1，c2的离心率为：，c1与c2的离心率之积为，=，c2的渐近线方程为：y=，即xy=0故选：a点评：本题考查椭圆与双曲线的基本性质，离心率以及渐近线方程的求法，基本知识的考查9（5分）已知向量，满足|=1，与的夹角为，若对一切实数x，|x+2|+|恒成立，则|的取值范围是（）a，）b（，）c1，+）d（1，+）考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：由|=1，与的夹角为，|x+2|+|，化为，即0，由于对一切实数x，|x+2|+|恒成立，可得0，解出即可解答：解：|=1，与的夹角为，|x+2|+|，化为，即0，对一切实数x，|x+2|+|恒成立，40，化为，解得故选：c点评：本题考查了数量积运算及其性质、一元二次不等式的解法与判别式的关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题10（5分）已知f（x）=ln（1+x）ln（1x），x（1，1）现有下列命题：f（x）=f（x）；f（）=2f（x）|f（x）|2|x|其中的所有正确命题的序号是（）abcd考点：命题的真假判断与应用 专题：函数的性质及应用；简易逻辑分析：根据已知中函数的解析式，结合对数的运算性质，分别判断三个结论的真假，最后综合判断结果，可得答案解答：解：f（x）=ln（1+x）ln（1x），x（1，1），f（x）=ln（1x）ln（1+x）=f（x），即正确；f（）=ln（1+）ln（1）=ln（）ln（）=ln（）=ln（）2=2ln（）=2ln（1+x）ln（1x）=2f（x），故正确；当x0，1）时，|f（x）|2|x|f（x）2x0，令g（x）=f（x）2x=ln（1+x）ln（1x）2x（x0，1）g（x）=+2=0，g（x）在0，1）单调递增，g（x）=f（x）2xg（0）=0，又f（x）2x，又f（x）与y=2x为奇函数，所以|f（x）|2|x|成立，故正确；故正确的命题有，故选：a点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了对数的运算性质，代入法求函数的解析式等知识点，难度中档二、填空题：本大题共4小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.（一）必考题（11-14题）11（5分）不等式|x1|+|x+2|5的解集为（，32，+）考点：绝对值不等式的解法 专题：不等式的解法及应用分析：由于|x1|+|x+2|表示数轴上的x对应点到1和2 的距离之和，而3和 2对应点到1和2 的距离之和正好等于5，由此求得所求不等式的解集解答：解：由于|x1|+|x+2|表示数轴上的x对应点到1和2 的距离之和，而3和 2对应点到1和2 的距离之和正好等于5，故不等式|x1|+|x+2|5的解集为 （，32，+），故答案为 （，32，+）点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于中档题12（5分）已知偶函数f（x）在0，+）单调递减，f（2）=0，若f（x1）0，则x的取值范围是（1，3）考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质 专题：函数的性质及应用分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（|x1|）f（2），即可得到结论解答：解：偶函数f（x）在0，+）单调递减，f（2）=0，不等式f（x1）0等价为f（x1）f（2），即f（|x1|）f（2），|x1|2，解得1x3，故答案为：（1，3）点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，将不等式等价转化为f（|x1|）f（2）是解决本题的关键13（5分）过点m（1，1）作斜率为的直线与椭圆c：+=1（ab0）相交于a，b两点，若m是线段ab的中点，则椭圆c的离心率等于考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用点差法，结合m是线段ab的中点，斜率为，即可求出椭圆c的离心率解答：解：设a（x1，y1），b（x2，y2），则，m是线段ab的中点，=1，=1，直线ab的方程是y=（x1）+1，y1y2=（x1x2），过点m（1，1）作斜率为的直线与椭圆c：+=1（ab0）相交于a，b两点，m是线段ab的中点，两式相减可得，即，a=b，=b，e=故答案为：点评：本题考查椭圆的离心率，考查学生的计算能力，正确运用点差法是关键14（5分）以a表示值域为r的函数组成的集合，b表示具有如下性质的函数（x）组成的集合：对于函数（x），存在一个正数m，使得函数（x）的值域包含于区间m，m例如，当1（x）=x3，2（x）=sinx时，1（x）a，2（x）b现有如下命题：设函数f（x）的定义域为d，则“f（x）a”的充要条件是“br，ad，f（a）=b”；函数f（x）b的充要条件是f（x）有最大值和最小值；若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）a，g（x）b，则f（x）+g（x）b若函数f（x）=aln（x+2）+（x2，ar）有最大值，则f（x）b其中的真命题有（写出所有真命题的序号）考点：命题的真假判断与应用；充要条件；全称命题；特称命题；函数的值域 专题：新定义；极限思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；简易逻辑分析：根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题是否正确，再利用导数研究命题中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论解答：解：（1）对于命题，若对任意的br，都ad使得f（a）=b，则f（x）的值域必为r反之，f（x）的值域为r，则对任意的br，都ad使得f（a）=b，故是真命题； （2）对于命题，若函数f（x）b，即存在一个正数m，使得函数f（x）的值域包含于区间m，mmf（x）m例如：函数f（x）满足2f（x）5，则有5f（x）5，此时，f（x）无最大值，无最小值，故是假命题； （3）对于命题，若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）a，g（x）b，则f（x）值域为r，f（x）（，+），并且存在一个正数m，使得mg（x）m故f（x）+g（x）（，+）则f（x）+g（x）b，故是真命题； （4）对于命题，当a0或a0时，alnx（，+），f（x）均无最大值，若要使f（x）有最大值，则a=0，此时f（x）=，f（x）b，故是真命题故答案为点评：本题考查了函数值域的概念、基本不等式、充要条件，还考查了新定义概念的应用和极限思想本题计算量较大，也有一定的思维难度，属于难题（二）选考题（第15、16两题中任选一题作答，如果全选，则按第15题作答结果计分.）【选修4-1：几何证明选讲】15（5分）如图所示，已知ab，bc是o的两条弦，aobc，ab=，bc=2，则o的半径等于1.5考点：与圆有关的比例线段 专题：计算题；立体几何分析：设垂足为d，o的半径等于r，先计算ad，再计算r即可解答：解：设垂足为d，o的半径等于r，则ab，bc是o的两条弦，aobc，ab=，bc=2，ad=1，r2=2+（r1）2，r=1.5故答案为：1.5点评：本题考查垂径定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题【选修4-4：坐标系与参数方程】16已知曲线c1的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c2的极坐标方程是=2，则c1与c2交点的直角坐标为（，1）考点：点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程 专题：直线与圆分析：把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，再把两曲线的方程联立方程组求得 c1与c2交点的直角坐标解答：解：把曲线c1的参数方程是（t为参数），消去参数化为直角坐标方程为x2=3y2 （x0，y0）曲线c2的极坐标方程是=2，化为直角坐标方程为x2+y2=4解方程组 ，求得 ，c1与c2交点的直角坐标为（，1），故答案为：（，1）点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，求两条曲线的交点，属于基础题三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（12分）在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角c的大小，（2）若c=2，求使abc面积最大时a，b的值考点：正弦定理；余弦定理 专题：解三角形分析：（1）已知等式左边利用正弦定理化简，右边利用诱导公式变形，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sina不为0求出cosc的值，即可确定出c的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，将c与cosc的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，进而确定出三角形abc面积的最大值，以及此时a与b的值即可解答：解：（1）a+c=b，即cos（a+c）=cosb，由正弦定理化简已知等式得：=，整理得：2sinacosc+sinbcosc=sinccosb，即2sinacosc=sinbcosc+cosbsinc=sin（b+c）=sina，sina0，cosc=，c为三角形内角，c=；（）c=2，cosc=，由余弦定理得：c2=a2+b22abcosc，即4=a2+b2+ab2ab+ab=3ab，ab，（当且仅当a=b时成立），s=absinc=ab，当a=b时，abc面积最大为，此时a=b=，则当a=b=时，abc的面积最大为点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键18（12分）已知各项均为正数的数列an满足：sn为数列an的前n项和，且2，an，sn成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）若an2=（），cn=，求数列cn的前n项和考点：数列的求和；等差数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由2，an，sn成等差数列得到数列递推式，求出首项，取n=n1得另一递推式，作差后得到数列an是等比数列，由等比数列的通项公式得到数列an的通项公式；（2）把（1）中求得的an代入an2=（），求出bn后代入cn=，然后利用错位相减法求数列cn的前n项和解答：解：（1）由题意知2an=sn+2，当n=1时，2a1=a1+2，a1=2当n2时，2an1=sn1+2，得：an=2an1，数列an是以2为首项，以2为公比的等比数列通项公式为；（2）由an2=（），得，cn=数列cn的前n项和，两式作差得：=点评：本题考查了等差数列的性质，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的和，是中档题19（12分）如图1，abc中，b=90，ab=，bc=1，d、e两点分别是线段ab、ac的中点，现将abc沿de折成直二面角adeb（）求证：面adc面abe；（）求直线ad与平面abe所成角的正切值考点：直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（）由已知条件推导出adb为二面角adeb平面角，ad面bcd，从而adbe，由此能证明be面adc，从而得到面abe面adc（）连结be交cd于h，连结ah，过点d作doah于o由已知条件推导出dao为ad与平面abe所成角由此能求出直线ad与平面abe所成角的正切值解答：解：（）由b=90，d、e两点分别是线段ab、ac的中点，得debc，dead，debd，adb为二面角adeb平面角，ad面bcd，又be面bcd，adbe，又，bdedbc，ebd=dcb，bedc，be面adc，又be面abe，面abe面adc（）连结be交cd于h，连结ah，过点d作doah于oadbe，bedh，be面adhdo面adh，bedo，又doah，do面abe，dao为ad与平面abe所成角rtbde中，rtadh中，直线ad与平面abe所成角的正切值为点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养20（12分）某省进行2015届高考改革，外语实行等级考试，其他学科分值如下表：科目语文数学科目a科目b科目c科目d分值180150120100100100（1）有老师建议语文放在首场，数学与科目a不相邻，按这位老师的建议安排考试，前三科总分不小于400的概率为多少？（2）若前三场科目中要安排语文，求前三场考试总分的分布列及期望值考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式 专题：概率与统计分析：（1）利用对立事件概率计算公式能求出前三科总分不小于400的概率（2） 可能值为380，400，430，450，分别求出相应的概率，由此能求出前三场考试总分的分布列及期望值解答：解：（1）第二三场基本事件总数为2=18，首场是语文，第二场和第三场在科目b、科目c、科目d中任选一科搭档数学和科目a，基本数个数为：=12前三科总分不小于400的概率为：p=（2） 可能值为380，400，430，450，p（=380）=0.3，p（=400）=0.3，p（=430）=0.3p（=450）=0.1的分布列为 380400430450p0.30.30.30.1e（ ）=3800.3+4000.3+4300.3+4500.1=408点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题21（13分）已知点a（0，2），椭圆e：+=1（ab0）的离心率为，f是椭圆e的右焦点，直线af的斜率为，o为坐标原点（）求e的方程；（）设过点a的动直线l与e相交于p，q两点，当opq的面积最大时，求l的方程考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程 专题：圆锥曲