概率统计习题解答(131020).pdf

概率论与数理统计 习题解答 授课教师 赵千 2013 年 10 月 20 日 1习题 3 1 6 设随机变量 X Y 的概率密度为 f x y k 6 x y 0 x 2 2 y 4 0 其它 1 确定常数 k 2 求 P X 1 Y 3 3 求 P X 1 5 4 求 P X Y 4 解 1 根据联合概率密度的性质 f x y dxdy 1 可得 k 6 x y dxdy 1 k 4 2 dy 2 0 6 x y dx 1 8k 1 k 1 8 2 P X 1 Y 3 1 8 3 2 dy 1 0 6 x y dx 1 8 3 2 11 2 y dy 3 8 1 3 P X 0 0 x 0 1 求 Y 2X 的数学期望 2 求 Y e 2x的数学期望 解 1 根据数学期望的定义可得 E Y 2xf x dx 0 2xe xdx 2 0 xde x 2 xe x 0 0 e xdx 2 3 2 根据数学期望的定义可得 E Y e 2xf x dx 0 e 2xe xdx 1 3 0 e 3xd 3x 1 3 9 设 X Y 的分布律为 HH HH HH H Y X 123 10 20 10 0 00 10 00 3 10 10 10 1 1 求 E X E Y 2 设 Z Y X 求 E Z 3 设 Z X Y 2 求 E Z 解 1 根据数学期望的定义可得 E X 3 i 1 i P X i 1 0 4 2 0 2 3 0 4 2 E Y 1 j 1 j P Y j 1 0 3 0 0 4 1 0 3 0 2 根据题意可得 Z 的分布率为 4 Z 1 1 2 1 301 31 21 pi0 20 10 00 40 10 10 1 于是根据数学期望的定义可得 E Z 1 0 2 1 2 0 1 1 3 0 0 0 0 4 1 3 0 1 1 2 0 1 1 0 1 1 15 3 根据题意可得 Z 的分布律为 Z014916 pi0 10 20 30 40 0 于是根据数学期望的定义可得 E Z 0 0 1 1 0 2 4 0 3 9 0 4 16 0 0 5 10 设 X Y 的概率密度为 f x 12y2 0 y x 1 0 其它 求 E X E Y E XY E X2 Y 2 解 根据边缘概率密度与联合概率密度之间的关系可得 fX x f x y dy x 0 12y2dy 4y3 x 0 4x3 5 fY y f x y dx 1 y 12y2dx 12y2x 1 y 12y2 1 y 于是有 E X xfX x dx 1 0 x 4x3dx 4 5x 5 1 0 4 5 E Y yfY y dy 1 0 y 12y2 1 y dy 3y4 12 5 y5 1 0 3 5 E XY xyf x y dxdy 1 0 xdx x 0 y 12y2dy 1 0 3x5dx 1 2 E X2 Y 2 x2 y2 f x y dxdy 1 0 dx x 0 x2 y2 12y2dy 1 0 32 5 x5dx 16 15 6 11 设 X 与 Y 相互独立 概率密度分别为 1 x 2x 0 x 1 0 其它 2 y e y 5 y 5 0 其它 求 E XY 解 根据题意可得 X 与 Y 的联合概率密度为 f x y 1 x 2 y 2xe y 5 0 x 1 y 5 0 其它 于是有 E XY xyf x y dxdy 1 0 2x2dx 5 y e y 5 dy 1 0 4x3dx 4 4习题 4 2 5 设随机变量 X 服从泊松分布 且 3P X 1 2P X 2 4P X 0 求 X 的期望与方差 解 设 X 服从参数为 的泊松分布 于是有 P X k ke k 即有 3 e 2 2e 2 4e 求解上述方程可得 1 4 舍去 于是有 E X D X 1 7 已知 X b n p 且 E X 3 D X 2 试求 X 的全部可能取值 并计算 P X 8 解 根据题意可得 E X np D X np 1 p 7 于是得到方程组 np 3 np 1 p 2 解上述方程组得 n 9 p 1 3 于是可知 X 的取值为 0 9 P X 8 1 P X 9 1 1 3 9 9 设随机变量 X1 X2 X3 X4相互独立 且有 E Xi i D Xi 5 i i 1 2 3 4 又设 Y 2X1 X2 3X3 1 2X4 求 E Y D Y 解 根据题意可得 E Y 2E X1 E X2 3E X3 1 2E X4 2 2 9 2 7 D Y D 2X1 D X2 D 3X3 D 1 2X4 4D X1 D X2 9D X3 1 4D X4 37 25 5习题 4 3 3 设 100 件产品中的一 二 三等品率分别为 0 8 0 1 和 0 1 现从中随机 地取 1 件 并记 Xi 1 取得 i 等品 0 其他 i 1 2 3 8 求 X1X2 解 根据题意可得 E X1 0 8 E X2 0 1 D X1 0 16 D X2 0 09 令 Y X1X2 则有 Y 的分布律为 Y0 pi1 于是得到 E X1X2 0 则有 cov X1 X2 E X1X2 E X1 E X2 0 08 所以有 X1X2 cov X1 X2 D X 1 D X 2 0 08 0 12 2 3 4 设 X N 2 Y N 2 且 X Y 相互独立 试求 Z1 X Y和 Z2 X Y 的相关系数 其中 是不为零的常数 解 由题意可得 D Z1 D Z2 2D X 2D Y 2 2 2 又 cov Z1 Z2 cov X Y X Y E X Y X Y E X Y E X Y E 2X2 2Y 2 2E2 X 2E2 Y 2 E X2 E2 X 2 E Y 2 E2 Y 2D X 2D Y 2 2 2 9 所以有 Z1Z2 cov Z1 Z2 D Z 1 D Z 2 2 2 2 2 5 设随机变量 X Y 具有概率密度 f x y 1 8 x y 0 x 2 0 y 2 0 其它 求 E X E Y cov X Y XY D X Y 解 根据边缘概率密度与联合概率密度之间的关系可得 fX x f x y dy 2 0 1 8 x y dy 1 16 2xy y 2 2 0 1 4 x 1 fY y f x y dx 2 0 12y2dx 1 16 x 2 2xy 2 0 1 4 y 1 于是得到 E X xfX x dx 2 0 x 1 4 x 1 dx 1 24 2x 3 3x2 2 0 7 6 10 E Y yfY y dy 2 0 y 1 4 y 1 dy 1 24 2y 3 3y2 2 0 7 6 E XY xyf x y dy 2 0 dx 2 0 1 8xy x y dy 2 0 1 12 3x 2 4x dx 1 12 x 3 2x2 2 0 4 3 于是得到 cov X Y E XY E X E Y 1 36 又有 E X2 x2fX x dx 2 0 x2 1 4 x 1 dx 1 48 3x 4 4x3 2 0 5 3 E Y 2 y2fY y dy 2 0 y2 1 4 y 1 dy 1 48 3y 4 4y3 2 0 5 3 于是得到 D X D Y 11 36 以及 XY 1 11 进一步可得 D X Y D X D Y 2cov X Y 11 36 11 36 2 1 36 5 9 11 6 设随机变量 X Y 的分布律为 HH HH HH H Y X 101 11 81 81 8 01 801 8 11 81 81 8 试验证 X 和 Y 是不想关的 且 X 和 Y 不相互独立 解 根据题意可得 E X 1 i 1 i P X i 1 3 8 0 2 8 1 3 8 0 E Y 1 j 1 j P Y j 1 3 8 0 2 8 1 3 8 0 随机变量 XY 的分布律为 于是得到 E XY 0 则有 cov X Y E XY XY 101 pi1 41 21 4 E X E Y 0 所以有 X Y 不相关 但是 P X 1 Y 1 1 8 P X 1 P Y 1 9 64 所以 X Y 不相互独立 6习题 4 4 1 一颗骰子连续掷 4 次 点数总和记为 X 试估计 P 10 X 18 解 设每次骰子的点数为 Xi i 1 2 3 4 则有 E Xi 1 6 6 i 1i 12 3 5 D Xi 35 12 X 4 i 1Xi 由于每次投掷是相互独立的试验 于是得 到 E X 4 i 1 E Xi 14 D X 4 i 1 D Xi 35 3 于是有 P 10 X 18 P X E X 1920 P 16 i 1Xi 1600 400 1920 1600 400 1 320 400 1 4 5 1 0 7881 0 2119 13 9 某车间有同型号机床 200 部 每部开动的概率为 0 7 假定各机床开关 是独立的 开动时每部都要消耗电能 15 个单位 问电厂至少要供应这个车间多 少电能 才能以 95 的概率保证不会因供电不足而影响生产 解 记 Xi 1 正常开动机床 i 0 机床 i 故障 i 1 2 3 200 于是 Xi服从参数为 p 0 7 的两点分布 P Xi 1 0 7