概率论与数理统计习题册 第四章 答案.pdf

第四章 随机变量的数字特征 李昌兴 65 系别 系别 班级 班级 姓名 姓名 学号 学号 作业 11 随机变量的数学期望作业 11 随机变量的数学期望 一 1 在下列句子中随机地取一单词 以一 1 在下列句子中随机地取一单词 以X表示取到的单词所包含的字母个 数 写出 表示取到的单词所包含的字母个 数 写出X分布律并求分布律并求 E X THE GIRL PUT ON THE BEAUTIFUL RED HAT 2 在上述句子的 30 个字母中随机地取一字母 以 THE GIRL PUT ON THE BEAUTIFUL RED HAT 2 在上述句子的 30 个字母中随机地取一字母 以Y表示取到的字母所在单词 所包含的字母数 写出 表示取到的字母所在单词 所包含的字母数 写出Y的分布律并求的分布律并求 E Y 解 1 解 1 X的可能取值为 2 3 4 9 易知其分布律为 的可能取值为 2 3 4 9 易知其分布律为 X 2 3 4 9 2 3 4 9 k p 8 1 8 5 8 1 8 1 所以 所以 4 15 8 1 9 8 1 4 8 5 3 8 1 2 XE 2 2 Y的可能取值为 2 3 4 9 的可能取值为 2 3 4 9 11 32 5215 2 3 30303030 CC P YP Y 11 94 49 4 9 30303030 CC P YP Y 即 即Y的分布律为 的分布律为 Y 2 3 4 9 2 3 4 9 k p 30 2 30 15 30 4 30 9 所以所以 15 73 30 9 9 30 4 4 30 15 3 30 2 2 YE 二 某产品的次品率为 0 1 检验员每天检验 4 次 每次随机地取 10 件产品 进行检验 如发现其中的次品数多于 1 就去调整设备 以 二 某产品的次品率为 0 1 检验员每天检验 4 次 每次随机地取 10 件产品 进行检验 如发现其中的次品数多于 1 就去调整设备 以X表示一天中调整设备 的次数 试求 表示一天中调整设备 的次数 试求 E X 设诸产品是否为次品是相互独立的 设诸产品是否为次品是相互独立的 解 设解 设 次检验不需调整设备第 次检验需调整设备第 i 0 i 1 i X 则 则 4 1 i i XX 4 1 4 4 1 1 0 0 iiii i E XEXE XP XP X 而 而 1 10 10 0 1 1 0 1 0 1 0 9 0 2638 iii ii i P XP XC 故 故 0566 12638 04 XE 第四章 随机变量的数字特征 李昌兴 66 三 设随机变量三 设随机变量X的分布律为的分布律为 13 2 1 3 j j j P X j 1 2 j 说明 说明X的数 学期望不存在 的数 学期望不存在 证明 由于 证明 由于 11 1 1 1 1 22 1 3 1 3 2 jj j j j j j j jj jjj px 所以级数 所以级数 1j jjp x非绝对收敛 故由定义可知非绝对收敛 故由定义可知X的数学期望不存在 四 有 3 只球 4 只盒子 盒子的编号为 1 2 3 4 将球逐个独立地 随机地放入 4 只盒 子中去 以 的数学期望不存在 四 有 3 只球 4 只盒子 盒子的编号为 1 2 3 4 将球逐个独立地 随机地放入 4 只盒 子中去 以X表示其中至少有一只球的盒子的最小编码 例如 表示其中至少有一只球的盒子的最小编码 例如 3X 表示第 1 号 第 2 号盒子 是空的 第 3 号盒子至少有一只球 试求 表示第 1 号 第 2 号盒子 是空的 第 3 号盒子至少有一只球 试求 E X 参考概率论与数理统计辅导 陕西教 育出版社 2009 6 P60 例 2 五 设随机变量 参考概率论与数理统计辅导 陕西教 育出版社 2009 6 P60 例 2 五 设随机变量X的密度函数为的密度函数为 2 x f xe 求 求 2 E XE X 解 由已知条件 解 由已知条件 2 0 x E Xxf x dxxedx 2222 22 0 1 2 2 xx E Xx f x dxx edxx edx 六 设 随 机 变 量 六 设 随 机 变 量X服 从 参 数 为服 从 参 数 为 的 泊 松 分 布 的 泊 松 分 布 0 且 已 知 且 已 知 2 3 2E XX 求 求 的值 解 由于 的值 解 由于 E X D X 又 又 22 2 3 56 5 6E XXE XXE XE X 所以由 所以由 2 3 2E XX 得 得 2 440 所求 所求2 七 设随机变量 七 设随机变量X的概率密度为 的概率密度为 0 0 0 x ex f x x 求 1 求 1 2YX 2 2 2x Ye 的数学期望 的数学期望 解 1 解 1 2yg xx 是连续函数 所以 是连续函数 所以 E YE g Xg x f x dx 0 00 22 2 xxx xedxxexedx 0 2 2 x e 2 2 2 x yg xe 是连续函数 所以 是连续函数 所以 233 0 00 11 33 xxxx E YE g Xeedxedxe 第四章 随机变量的数字特征 李昌兴 67 八 设随机变量八 设随机变量X的分布函数为的分布函数为 0 0 04 4 1 4 x x F xx x 求 求 E X E F X 解 由已知条件 解 由已知条件 1 04 4 0 x f xFx 其他 其他 4 0 1 2 4 E Xxf x dxxdx 4 0 11 4 42 x E F XF x f x dxdx 九 设 九 设 X Y的概率密度为的概率密度为 2 01 12 0 yxy f x y 其它 其它 求 求 E X E Y E XY 22 E XY 解 由已知条件 解 由已知条件 23 0 12 0 1 4 0 1 0 0 x X y dyxyx fx 其它其它 其它 其它 1 2 2 12 0 1 12 1 0 1 0 0 y y dxyyyy f y 其它其它 其它 其它 即 即 11 4 00 4 4 5 E Xx fx dxx dx 11 3 00 3 12 1 5 E Yyfy dyyy dy 1 2 00 1 12 2 x E XYxyfx y dxdyxyy dydx 2222 E XYE XE Y 11 22 00 x f x dxy f y dy 11 54 00 2216 412 1 3515 x dxyy dy 十 将 十 将n只球 1 只球 1 n号 随机地放进号 随机地放进n只盒子 1 只盒子 1 n号 中去 一只盒子装一只球 若一只球装 入与球同号的盒子中 称为一个配对 记 号 中去 一只盒子装一只球 若一只球装 入与球同号的盒子中 称为一个配对 记X为总的配对数 求为总的配对数 求 E X 参考概率论与数理 统计辅导 陕西教育出版社 2009 6 P95 例 14 十一 某个商店经过长期的统计 获知本商店每月销售海信牌电视机的台数 参考概率论与数理 统计辅导 陕西教育出版社 2009 6 P95 例 14 十一 某个商店经过长期的统计 获知本商店每月销售海信牌电视机的台数X服 从区间 10 30 上的均匀分布 该商店每销售一台海信牌电视机可获利润 500 元 服 从区间 10 30 上的均匀分布 该商店每销售一台海信牌电视机可获利润 500 元 第四章 随机变量的数字特征 李昌兴 68 如果月初进海信牌电视机太多 而销售不完 则月末必须削价处理 每处理一台电 视机亏损 100 元 否则 可从外部调剂供应 此时每销售一台海信牌电视机仅获利 300 元 为使该商店所获利润期望值不少于 9332 元 试问该商店每月月初需进海信 牌电视机多少台 参考概率论与数理统计辅导 陕西教育出版社 2009 6 P99 例 22 如果月初进海信牌电视机太多 而销售不完 则月末必须削价处理 每处理一台电 视机亏损 100 元 否则 可从外部调剂供应 此时每销售一台海信牌电视机仅获利 300 元 为使该商店所获利润期望值不少于 9332 元 试问该商店每月月初需进海信 牌电视机多少台 参考概率论与数理统计辅导 陕西教育出版社 2009 6 P99 例 22 十二 一微波线路有两个中间站 其中任何一个出现故障都要引起线路故障 假 设两个中间站无故障的时间都服从指数分布 平均无故障工作的时间相应为 和 0 5 千小时 试求线路无故障工作时间 十二 一微波线路有两个中间站 其中任何一个出现故障都要引起线路故障 假 设两个中间站无故障的时间都服从指数分布 平均无故障工作的时间相应为 和 0 5 千小时 试求线路无故障工作时间 X 的数学期望 解 设第一个中间站无故障工作的时间为 的数学期望 解 设第一个中间站无故障工作的时间为 1 X 第一个中间站无故障工作的时间 为 第一个中间站无故障工作的时间 为 2 X 那么 那么 1212 12 min XXXXX FxPXXxFxFxFx Fx 3 2 1 0 0 0 x ex x 所以 所以 3 2 3 0 2 0 0 x X ex fx x 从而 从而 2 3 E Xxf x dx 第四章 随机变量的数字特征 李昌兴 69 系别 系别 班级 班级 姓名 姓名 学号 学号 作业 12 随机变量的方差 协方差和相关系数 I 作业 12 随机变量的方差 协方差和相关系数 I 一 设随机变量一 设随机变量 X Y相互独立 且相互独立 且 1 2 3E XE YD XD Y 求 求 D XY 解 由数学期望的性质 解 由数学期望的性质 2222222 D XYE X YEXYE XE YEX E Y 22 11D XEXD YE YE X E Y 二 设随机变量 二 设随机变量 X 服从指数分布 其概率密度为服从指数分布 其概率密度为 1 0 0 0 x ex f x x 其中 其中 0 是常数 求是常数 求 E XD X 解 由已知条件 解 由已知条件 0 1 x E Xxf x dxxedx 2222 0 1 2 x E Xx f x dxxedx 222 D XE XEX 三 设随机变量 三 设随机变量 X 服从瑞利分布 其密度函数为服从瑞利分布 其密度函数为 2 2 2 2 0 0 0 x x ex f x x 其 中 其 中0 是常数 求是常数 求 E XD X 解 解 2222 2 22 2 00 xx x E Xedxxde 2222 22 0 0 xx xeedx 22 2 0 2 x edx 2222 3 2222 2 00 xx x E Xedxx de 2222 2222 0 0 xx x eedx 22 222 22 0 x e 故 故 22 D XE XEX 222 4 2 22 四 设随机变量四 设随机变量X服从几何分布 其分布律为服从几何分布 其分布律为 1 1 1 2 k P Xkppk 其中 其中01p 是常数 求是常数 求 E XD X 参考概率论与数理统计辅导 陕西教育出 版社 2009 6 P92 例 8 五 设随机变量 参考概率论与数理统计辅导 陕西教育出 版社 2009 6 P92 例 8 五 设随机变量X与与Y相互独立 且 相互独立 且 第四章 随机变量的数字特征 李昌兴 70 2 01 0 X xx fx 试求 试求ZXY 的数学期望与方差 解 由已知条件 的数学期望与方差 解 由已知条件 1 0 2 2 3 E Xxf x dxxxdx 1 222 0 1 2 2 E Xx f x dxxxdx 5 5 6 y Y E Yyfy dyy edx 222 5 5 37 y Y E Yy fy dyyedx 4E XYE X E Y 2222222 5 2 D XYE X YEXYE XE YEX E Y 六 设随机变量 六 设随机变量 X Y的分布律为的分布律为 1 10 2 5 0 5P XYP XY 试 求 试 求 XY 解 根据已知条件 解 根据已知条件 1 0 52 0 51 5E X 222 10 520 52 5E X 5 0 510 0 57 5E Y 222 50 5100 562 5E X 22 0 25D XE XEX 22 6 25D YE YE Y Cov 1 25X YE XYE X E Y 于是 于是 Cov 1 XY X Y D XD Y 七 设 七 设X Y为随机变量 已知为随机变量 已知 1 9 4 6 XY D XD Y 试求 试求 D XY 4 D XY 解 根据访查性质 解 根据访查性质 2Cov D XYD XD YX Y 2 11 XY D XD YD XD Y 4 2Cov D XYD XYD XD YX Y 2 15 XY D XD YD XD Y 八 设二维随机变量 八 设二维随机变量 X Y的密度函数为 的密度函数为 02 02 0 A xyxy f x y 其它 求 其它 求A E XE Y Cov X Y XY D XY 参考概率论与数理统计辅导 陕 参考概率论与数理统计辅导 陕 第四章 随机变量的数字特征 李昌兴 71 西教育出版社 2009 6 P102 例 28 九 设随机变量 西教育出版社 2009 6 P102 例 28 九 设随机变量X和和Y相互独立 且都服从正态分布相互独立 且都服从正态分布 2 N 1 设 1 设 UXY 和和VXY 其中 其中 是不为零的常数 求是不为零的常数 求 UV 2 求 2 求max X Y 的数学期望 3 求的数学期望 3 求min X Y的数学期望 参考概率论与数理统计辅导 陕西教 育出版社 2009 6 P108 例 36 的数学期望 参考概率论与数理统计辅导 陕西教 育出版社 2009 6 P108 例 36 第四章 随机变量的数字特征 李昌兴 72 系别 系别 班级 班级 姓名 姓名 学号 学号 作业 13 协方差和相关系数 II 矩 协方差矩阵 作业 13 协方差和相关系数 II 矩 协方差矩阵 一 设随机变量一 设随机变量 X Y在区域在区域 01 0 Dx yxyx 上服从均匀分布 求 上服从均匀分布 求 X Y的相关系数的相关系数 XY 参考概率论与数理统计辅导 陕西教育出版社 2009 6 P101 例 26 二 设随机变量 参考概率论与数理统计辅导 陕西教育出版社 2009 6 P101 例 26 二 设随机变量X的密度函数为的密度函数为 1 2 x f xex 试证 试证X与与 X既不 相关 也不独立 参考概率论与数理统计辅导 陕西教育出版社 2009 6 P105 例 31 三 设随机变量 既不 相关 也不独立 参考概率论与数理统计辅导 陕西教育出版社 2009 6 P105 例 31 三 设随机变量X Y Z两两独立 且数学期望均为 0 方差均为 1 试求两两独立 且数学期望均为 0 方差均为 1 试求XY 与与YZ 的相关系数 解 根据已知条件计访查性质 的相关系数 解 根据已知条件计访查性质 1D XYD XD Y 2D YZD YD Z Cov Cov Cov XY YZX YZY YZ Cov Cov Cov Cov X YX ZY YY Z Cov Cov Cov Cov 1X YX ZY YY Z 所以 所以 Cov 1 2 XY XY YZ D XYD YZ 四 设随机变量 四 设随机变量 X Y在区域在区域 02 02 Gx yxy 0 2 1 2 XY V XY 试求 试求U和和V的相关系数 解 由于 的相关系数 解 由于 1 0 2 xy P UP XYf x y dxdy 1 1 1 0 2 P UP U 2 3 0 2 4 xy P VP XYf x y dxdy 1 1 1 0 4 P VP V 1 1 2 1 4 P UVP XY XYP V 3 0 1 1 4 P UVP UV 1 4 D U 3 16 D V 1 Cov 8 U VE UVE U E V Cov 3 3 UV U V D UD V 五 设随机变量 五 设随机变量 X Y的分布律为 的分布律为 第四章 随机变量的数字特征 李昌兴 73 X Y 1 0 1 1 0 1 1 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 0 1 8 0 1 8 0 1 8 0 1 8 1 1 8 1 8 1 8 1 1 8 1 8 1 8 验证验证X和和Y是不相关的 但是不相关的 但X和和Y不是相互独立的不是相互独立的 解 证明 解 证明 X的分布律为 的分布律为 X 1 0 1 0 1 k p 8 3 8 2 8 3 Y的分布律为 的分布律为 Y 1 0 1 0 1 k p 8 3 8 2 8 3 YX 的分布律为 的分布律为 XY 1 0 1 0 1 k p 8 2 8 4 8 2 所以 所以 0 8 3 1 8 3 1 XE 0 8 3 1 8 3 1 YE 0 8 2 1 8 2 1 XYE 故 故 XY YDXD YEYXEXE YDXD YXCov 0 YDXD XYE 即 即X和和Y是不相关的 而显然 是不相关的 而显然 ijij pp p 即 即X和和Y不是相互独立的 六 已知随机变量 不是相互独立的 六 已知随机变量X与与Y的联合分布为二维正态分布 其边缘分布分别服从正 态分布 的联合分布为二维正态分布 其边缘分布分别服从正 态分布 1 9 0 16 NN 它们的相关系数 它们的相关系数 1 2 XY 设 设 32 XY Z 试求 1 试求 1 Z的 数学期望和方差 2 的 数学期望和方差 2 X与与Z的相关系数的相关系数 XZ 3 3 X与与Z是否相互独立 为什 么 解 根据已知条件 是否相互独立 为什 么 解 根据已知条件 1 1 9 0 16 2 XY E XD XE YD Y 于是 于是 111 3232323 XYXY E ZEEEE XE Y 1111 2Cov 9432 D ZD XD YX Y 1111 2 3 9432 XY D XD YD X D Y 第四章 随机变量的数字特征 李昌兴 74 1111 Cov Cov Cov Cov 0 3232 X ZXXYX XX Y 0 XZ 由于随机变量 由于随机变量X与与Y的联合分布为二维正态分布 所以的联合分布为二维正态分布 所以 X Z也服从二维正态 分布 而 也服从二维正态 分布 而0 XZ 所以 所以X与与Z独立 七 设随机变量 独立 七 设随机变量 X Y的联合分布率为 Y X 0 1 的联合分布率为 Y X 0 1 0 0 1p 0 0 1 0 1 0 p 其中其中01p 试求 试求X与与Y的协方差矩阵 解 由已知条件 的协方差矩阵 解 由已知条件 XY 0 1 0 1 P 1p p 所以 所以 E XE YE XYp 1 D XD YD XYpp 2 Cov 1 X YE XYE X E Ypppp 从所求协方差矩阵 从所求协方差矩阵 1 1 1 1 pppp pppp 八 随机变量 八 随机变量 X Y服从二维正态分布 且协方差矩阵为服从二维正态分布 且协方差矩阵为 41 19 C 试求 试求X 和和Y的相关系数 解 根据已知条件 的相关系数 解 根据已知条件 4D X 9D Y Cov 1X Y 故所求相关系数 故所求相关系数 Cov 1 6 XY X Y D XD Y 九 对于任意二随机事件 九 对于任意二随机事件A和和B 设随机变量 设随机变量 1 1 1 1 AB XY AB 若 发生 若 发生若 发生 若 发生 若 不发生 若 不发生若 不发生 若 不发生 试证 随机变量 试证 随机变量X和和Y不相关 当且仅当 事件不相关 当且仅当 事件A和和B独立 参考真题卷二第 三大题解答 P161 独立 参考真题卷二第 三大题解答 P161 第四章 随机变量的数字特征 李昌兴 75 系别 系别 班级 班级 姓名 姓名 学号 学号 第四章 单元练习 第四章 单元练习 一 填空题 3 4 12 分 1 设随机变量 一 填空题 3 4 12 分 1 设随机变量X表示 10 次独立重复射击中命中目标的次数 且每次射击命中目 标的概率为 0 4 则 表示 10 次独立重复射击中命中目标的次数 且每次射击命中目 标的概率为 0 4 则 2 E X 2 设 2 设 2 123 0 6 0 2 XUXNX 服从参数为 3 的指数分布 且服从参数为 3 的指数分布 且 123 XXX 相互 独立 则 相互 独立 则 123 23 D XXX 3 设随机变量 3 设随机变量 X 的概率密度为 的概率密度为 1 2 0 2 0 x f x 由 已知条件得 由 已知条件得 120 324 1 2 2 eee 即 即 2 340 第四章 随机变量的数字特征 李昌兴 76 解之得 解之得 1 4 舍去 故 舍去 故 1E XD X 2 设随机变量 2 设随机变量X服从参数为 1 的指数分布 求服从参数为 1 的指数分布 求 2 e X E X 解 由已知 解 由已知 0 1 x E Xxf x dxxedx 222 0 1 3 Xxxx E eef x dxeedx 所以 所以 22 4 e e 3 XX E XE XE 3 若事件 3 若事件A在第在第i次试验中出现的概率为次试验中出现的概率为 i p X是事件是事件A在在n次独立试验中出现 的次数 试求 次独立试验中出现 的次数 试求X的期望与方差 解 设 的期望与方差 解 设 1 0 i Ai X Ai 事件 在第 次试验中发生 事件 在第 次试验中发生 事件 在第 次试验中不发生事件 在第 次试验中不发生 1 2 in 那么 那么 iii E XD Xp 故 故 12 11 nn nii ii E XE XXXE Xp 12 11 1 nn niii ii D XD XXXD Xpp 4 设 100 件产品中的一 二 三等品率分别为 0 8 0 1 和 0 1 现从中随机地取 1 件 并记 4 设 100 件产品中的一 二 三等品率分别为 0 8 0 1 和 0 1 现从中随机地取 1 件 并记 1 1 2 3 0 i i Xi 取得 等品 其他 取得 等品 其他 求 求 12 X X 解 由已知条件可求得 解 由已知条件可求得 12 XX得联合分布律 X 得联合分布律 X B 2 2 X X B 1 1 BBB 0 1 0 1 i p 0 0 1 0 1 0 2 0 0 1 0 1 0 2 1 0 8 0 0 8 1 0 8 0 0 8 j p 0 9 0 1 0 9 0 1 所以 所以 1 0 8E X 1 0 16D X 2 0 1E X 2 0 09D X 从而 从而 121212 Cov 0 08XXE X XE XE X 第四章 随机变量的数字特征 李昌兴 77 Cov 2 3 XY X Y D X D Y 5 某个书店每天接待 400 名顾客 每位顾客的消费额 单位 元 服从 20 100 上的均匀分布 且顾客的消费额相互独立 1 试求该书店的日平均消费额 2 试问每天平均有几位顾客的消费额超过 50 元 解 1 设 5 某个书店每天接待 400 名顾客 每位顾客的消费额 单位 元 服从 20 100 上的均匀分布 且顾客的消费额相互独立 1 试求该书店的日平均消费额 2 试问每天平均有几位顾客的消费额超过 50 元 解 1 设X表示该书店的日消费额 表示该书店的日消费额 i X表示第表示第i位顾客的消费额 单位 元 其中 位顾客的消费额 单位 元 其中1 2 400i 根据已知条件 根据已知条件 60 i E X 书店的日平均消费额 书店的日平均消费额 12400 24000E XE XXX 2 设 2 设Y表示该书店的日消费额超过 50 元顾客数 表示该书店的日消费额超过 50 元顾客数 1 50 0 50 i i Y i 第 位顾客消费额超过元第 位顾客消费额超过元 第 位顾客消费额不超过元第 位顾客消费额不超过元 1 2 400i 由已知条件 由已知条件 50 20 13 0 808 i P Ydx 35 1 1 88 i P Y 所以每天消费额超过 50 元的平均有顾客数为 所以每天消费额超过 50 元的平均有