泛函分析习题解答.pdf

Answer to Homework A P Q 是投影 ranP ranQ 证明 1 如果P 0 or Q 0 显然 2 如果P 6 0 and Q 6 0 ranP ranQ 0 h H 0 P 6 0 是投影 P 是自伴的 同理 0 0 h H 注意到 PQ QP PQ QP Q P P Q QP PQ PQ QP PQ QP是自伴的 kPQ QPk sup khk 1 0 PQ QP 0 P Q是幂等的 因为 P Q 2 P Q P Q P2 PQ QP Q2 P2 0 Q2 P2 Q2 P Q 同时PQ QP 0还表明P Q 6 0 若不然 P Q 0 则Q P P P P P 0 即 2P2 0 P2 0 P是投影 P是幂等的 P P2 0与已知P 6 0矛盾 综上 P Q 6 0是幂等算子 并且 P Q P Q P Q P Q是投影 1 如果P 0 or Q 0 显然 2 如果P 6 0 and Q 6 0 P Q 是投影 P Q是幂等的 即 P Q 2 P Q 而 P Q 2 P2 PQ QP Q2 P PQ QP Q 因为P Q是幂等的 PQ QP 0 P Q 6 0 若不然 P Q 0 则Q P P P P P 0 即 2P2 0 P2 0 与已知P 6 0矛盾 下面只需证 h H Q Ph 0 即Ph KerQ ranQ 由h H的任意性可知ranP ranQ ranP ranQ 1 P Q 6 0 是投影 P Q H ran P Q 是正交投影 注意到 P Q QPh PQPh Q2Ph QPPh Q2Ph PQ QP 0 QPh QPh 0 P2 P Q2 Q QPh Ker P Q ran P Q P Q是投影 0 g H 特别地 当g Ph时 有 0 kQP h k2 Q 6 0 是投影 0 h H kQP h k2 0 kQP h k 0 and 0 证毕 B P Q 是投影 ranP ranQ ran P Q Ker P Q KerP KerQ 证明 I P Q 是投影 ranP ranQ ran P Q 1 如果P 0 or Q 0 显然 2 如果P 6 0 and Q 6 0 这时可以证明P Q 6 0 上面已证 首先 ran P Q ranP ranQ 显然 下证ran P Q ranP ranQ 即 h g H Ph Qg ran P Q P Q 6 0 是投影 P Q H ran P Q 是正交投影 而 P Q Ph Qg P Ph Qg Q Ph Qg P2h PQg QPh Q2g Ph Qg 这是因为由 A 知P Q 是投 影 ranP ranQ ranP ranQ KerQ Q 是投影 ranQ ranP KerP P 是投影 QPh ranP KerQ QPh 0 同理 PQg 0 Ph Qg ran P Q ranP ranQ ran P Q 2 综上可知 ranP ranQ ran P Q II P Q 是投影 KerP KerQ Ker P Q 首先 Ker P Ker Q Ker P Q 显然 下证Ker P Ker Q Ker P Q 即 h Ker P Q Ph 0 and Qh 0 P Q h 0 P P Q h 0 Q P Q h 0 P2 PQ h 0 QP Q2 h 0 Ph PQh 0 QPh Qh 0 而PQh ranQ KerP QPh ranP KerQ Ph 0 Qh 0 Ker P Q KerP KerQ 综上可知 KerP KerQ Ker P Q C PQ 是投影 PQ QP 证明 充分性 1 如果P 0 or Q 0 显然 2 如果P 6 0 and Q 6 0 2 1 PQ 0时 PQ 0 Q P QP 0 Q Q P P PQ QP 2 2 PQ 6 0时 PQ 6 0 是投影 PQ 是自伴的 即 PQ PQ Q P PQ QP PQ P Q 6 0 是投影 P Q 是自伴的 必要性 PQ QP PQ 2 PQ PQ P QP Q P PQ Q P2Q2 PQ PQ 是幂等的 如果PQ 0 显然零算子是投影 02 0 Ker0 H ran0 3 如果PQ 6 0 PQ Q P QP PQ PQ 是 投 影 根 据 非 零 的 幂 等 算 子E 投 影 正 交 投 影 自 伴 normal 0 h H D PQ 是投影 ranPQ ranP ranQ KerPQ KerP KerQ 证明 只讨论P 6 0 Q 6 0的情形 I PQ 是投影 ranPQ ranP ranQ 首先来证ranPQ ranP ranQ 即 h H PQh ranP ranQ 显然有PQh ranP PQ 是投影 PQ QP 由 C 知 PQh QPh ranQ PQh ranP ranQ 其次证明ranPQ ranP ranQ 任取一个元素Ph1 Qh2 ranP ranQ 下证Ph1 Qh2 ranPQ KerPQ PQ 是投影 g KerPQ PQh2 P Ph1 P2h1 Ph1 0 PQg 0 Ph1 KerPQ II PQ 是投影 KerPQ KerP KerQ 首先证明KerPQ KerP KerQ 注意当PQ是投影时 由上面的讨论知ranPQ ranP ranQ ranPQ ranP ranQ ranP ranQ 后面包含关系成立是因为 x y ranP ranQ 其中x ranP y ranQ 有 0 0 0 x y ranP ranQ ranP ranQ ranP ranQ 4 因为P Q PQ 是投影 所以KerP ranP KerQ ranQ KerPQ ranPQ KerPQ KerP KerQ 其次证明KerPQ KerP KerQ 对 x KerPQ P 是投影 P 是幂等的 H KerP ranP h h Ph Ph h H x x Px Px 其中x Px KerP 注意到 PQ x Px PQx PQPx PQx PPQx PQ 是投影 PQ QP PQx P2Qx PQx PQx 0 x Px KerPQ KerPQ 是线性空间 Px x x Px KerPQ x KerPQ x Px KerPQ PQ Px 0 Q Px QPx QP Px PQ Px 0 这表明Px KerQ x x Px Px KerP KerQ KerPQ KerP KerQ 综上所述 KerPQ KerP KerQ 5 P46 6 T H K是紧算子 ei 是标准正交序列 则kTeik 0 证明 1 当 ei i 1 2 是一列标准正交的元素时 对 h H 有 0 6 h Pn i 1 ei h Pn i 1 ei khk2 Pn i 1 2 Pn i 1 2 Pn i 1 2 khk2 Pn i 1 2 Pn i 1 26 khk2 由n的任意性知 P i 1 26 khk2 2 0 i 0 i 0 i 2 k K 0 i 证明 0 3 Tei 0 证明 反证法 若不然 0 0 eik ei s t kTeikk 0 T 是紧算子 Teik 有收敛子列 记作eikj 设Teikj a j 则显然 有a K 并且kak 0 所以 kak2 0 与 0矛盾 6 P72 Exc 5 If X is a normed space M 6 X and both M and X M are complete then X is complete 证明 设 xn X 是Cauchy列 即 0 N 当n m N 时 kxn xmk k xn xm k x X k x k inf m Mkx mk 6 kxk k xn xm k 0 N 当n N 时 k xn x0 k 即k xn x0 k k xn x0 k inf m Mkxn x0 mk yn M s t kxn x0 ynk 0 N1 当n N1时 有kxn yn x0k 6 3 0 N1 当m N1时 有kxm ym x0k 6 3 xn是Cauchy列 0 N2 当n m N2时 有kxm xnk 6 3 取N max N1 N2 则当n m N时 有kyn ymk 6 3 3 3 yn是Cauchy列 M 是完备空间 yn y0 M xn xn yn yn x0 y0 n X 中的Cauchy列收敛 X 是完备空间 7 1 当X Y 是Banach 空间时 X Y 是Banach 空间 证明 设 xn yn n 1 X Y 是Cauchy 列 即 0 N 当n m N 时有k xn yn xm ym k k xn xm yn ym k k xn xmk k yn ymk k xn xmk k yn ymk 这说明 xn 是X 中的Cauchy 列 yn 是Y 中的Cauchy 列 X 和Y 是完备空间 x0 X y0 Y s t xn x0 yn y0 k xn yn x0 y0 k k xn x0 yn y0 k 0 n Cauchy 列收敛 X Y 按k x y k k x k k y k是Banach 空间 Th12 7If X and Y are normed space A X Y is a linear operator G A is closed if xn 0 Axn y then y 0 证明 G A 是闭集 xn 0 Axn y 即 xn Axn 0 y 0 y G A y A0 0 xn 0 Axn y 0 A 在0点连续 又因为A 是线性算子 A 在X 上每一点都连续 当xk x0时 有xk x0 0 A xk x0 0 Axk Ax0 0 Axk Ax0 A 是线性连续算子 D A A的定义域 X 是闭集 A 是闭算子 G A 是闭集 8 P97 Let H be a Hilbert space and let E be an orthonormal basis for H Show that a sequence hn H satisfi es 0 h H khnk n 1 2 and 0 e E Prove 0 n n 1 2 h H 根据P13Riesz Representation Theorem 有 f hn n 1 2 f H 于是由Th14 3得 khnk n 1 2 已知 khnk n 1 2 and 0 e E 下证 0 n h H 即 0 N 当n N 时 任取h H 固定h 1 当h 0 时 0 n 1 2 显然 0 n 2 当h 6 0 时 E 是标准正交基 h P e E e E 是标准正交基 P i 1 ei 至多可列个不为零 记M sup khnk n 1 2 则M k0 s t kh Pk0 i 1 eik 2M 对于e1 e2 ek0来说 0 n 对于每一个e E 0 as n 0 as n 0 as n N 当n N 时 2k0khk 对i 1 2 k0 都成立 记ak0 Pk0 i 1 ei 当n N时 6 khnk kh ak0k 9 6 M 2M 2 2 hn Pk0 i 1 ei 2 Pk0 i 1 2 Pk0 i 1 2 Pk0 i 1 2 Pk0 i 1 6 2 Pk0 i 1khk 6 2 Pk0 i 1khk 2k0khk 2 Pk0 i 1 2k0 2 2 即 6 0 as n 由h H 的任意性知 0 h H 10 五五五月月月十十十号号号 If X is separable so is X 证明 X 是可分的 fn n 1 2 X 在X 中稠密 x x X kx k 1 fnk fn s t fnk x k kfnkk kx k 1 k fnk kfnkk x fn kfnk n 1 2 在单位球面上稠密 记号 gn fn kfnk kgnk 1 kgnk sup x X kxk 1 gn x 1 xn X kxnk 1 s t gn xn 3 4 令M span xn 则M 是闭子空间 并且可分 下证M X 反证法 若不然 M X 则存在f0 X kf0k 1 f0 M 0 3 4 gn xn gn xn f0 xn xn M gn f0 xn kgn f0k kxnk kgn f0k n 1 2 然而f0在X 的单位球面上与 gn n 1 2 在单位球面上稠密矛盾 M X X 是可分的 11 五五五月月月十十十五五五号号号 1 设X normed space xn X 则 1 xn s x0 xn w x0 2 逆不成立 即xn w x0 xn s x0 3 如果dimX 则强收敛与弱收敛等价 证 1 f X xn s x0 f xn f x0 xn s x0 根据弱收敛定义 2 反例 设H 是无穷维Hilbert空间 en 是一列标准正交元素 h H en n 1 2 是标准正交的 P n 1 2 6 khk2 0 n 这表明 f H f en 0 f 0 f Riesz 表示定理 即en w 0 但是ken emk2 2 当n 6 m时 所以 en 不强收敛 3 设xn w x0 dimX 记d dimX 设 e1 e2 ed 是X的基 xn n 1 e1 n 2 e2 n d ed x0 1e1 2e2 ded 有限维空间每个元素都可以由基表示出来 令fi x F 定义为fi x f a1e1 a2e2 aded ai 则fi是X 上的线性泛函 按定义验证即可 根据70页定理3 4 有限维赋范空间上的线性算子 是连续的 得fi是连续的 即fi X fi xn fi x0 n 注意到 fi xn n i fi x0 i n i i n 由i 1 2 d的任意性知 n 1 1 n 2 2 n d d n kxn x0k k n 1 e1 n 2 e2 n d ed 1e1 2e2 ded k k n 1 1 e1 n 2 2 e2 n d d edk 6 n 1 1 ke1k n 2 2 ke2k n d d kedk 0 12 即xn s x0 2 设H 是Hilbert空间 则 1 xn w x0 h H 2 xn s x0 xn w x0且kxnk kx0k 证 xn w x0 f H 有f xn f x0 n 又对于每一个h H 是H 上的线性连续泛函 n 根据Riesz表示定理 对于f H 对应有h0 H f x x H 已知对每一个h H n 故对h0也有 n 即f xn f x0 n 由f H 的任意性知xn w x0 2 显然 kxn x0k2 kxnk2 kx0k2 xn w x0 h H 有 对于x0也有 kx0k kx0k2 又 kxnk kx0k 已知条件 kxn x0k2 0 xn x0 即xn s x0 13 五月二十四号 1 设X 是赋泛空间 T 是X 的一个线性算子 则T 的不同特征值对应的特征向量是线性无 关的 证明