数理方程习题.pdf

44第一章二阶常微分方程的边值问题 1 假设弦的张力为T0 T0 x 试推导弦平衡问题的数学模型 1 2 12 1 2 13 2 如果考虑弦自身的重力 试推导弦平衡问题的数学模型 3 证明 a x x b ax 1 a x c f x x f 0 x 其中f x C 4 求下列广义导数 a f x 0 x 0 1 x 0 1 x 0 0 x 0 6 考虑下述定解问题 d dx T0 x du dx c x u x y u 0 0 u l 0 1 5特征值与特征函数45 其中c x c0 0 若N x y 是该定解问题的解 则称其为微分算子Lu d dx T0 x du dx 具有第二边界条件的Green函数 试用N x y 导出一般二阶常微分方程第二边值问题解的表达式 d dx T0 x du dx c x u f x u 0 u0 u l u1 7 若S x y 是二阶常微分方程第三边界问题 d dx T0 x du dx c x u x y u 0 u 0 0 u l u l 0 的解 其中 0 0 c x 0 即 是不全为0的非负数 则 称S x y 为微分算子Lu d dx T0 x du dx 具有第三边界条件的Green函数 试用S x y 写出一般二阶常微分方程第三边界边值问题的解的表达式 d dx T0 x du dx c x u f x u 0 u 0 u0 u l u l u1 8 试证明以下形式的二阶常微分方程 d 2u dx2 b x du dx c x u f x 可以化为具有对称形式的二阶常微分方程 d dx T0 x du dx c x u f x 其中 T0 x e x 0 b s ds c x c x e x 0 b s ds f x f x e x 0 b s ds 9 研究特征值问题 d 2u dx2 b x du dx c x u u 0 u 0 0 u l 0 46第一章二阶常微分方程的边值问题 试证明特征值 与特征函数X x 所适合的特征值问题的性质1 性质4 提示 先用上题的结果把微分算子转化成对称算子的形式 10 试求下述特征问题 u u 0 0 x l u 0 0 u l 0 的特征值与相应的特征函数 并且讨论函数f x 在区间0 x l上关于该特征 函数系的级数展开 11 研究特征值问题 d dx T0 x du dx x u 0 u 0 1u 0 0 u l 2u l 0 的性质 其中 1 0 2 0 1 2 0 12 求解周期特征值问题 u u 0 0 x 2 u 0 u 2 u 0 u 2 的特征值与相应的特征函数 68第二章POISSON方程的边值问题 2 试证 u x y z 1 4 r 其中r x2 y2 z2 是三维Laplace算子的基本解 即u x y z 1 4 r适合方 程 u x y z 提示 定义 M0 x y z C R3 且在充分大圆外为0 证明对于任意 x y z M0 有 u x y z dxdydz 0 0 0 3 设u x y C2 是下述边值问题的解 2u x2 2u x y 2u y2 a x y u x b x y u y c x y u f x y u x y 试证明当c x y 0 f x y 0 试证明对于固定的 x0 y0 y0 0 u1 x y 是y的奇函数 u2 x y 是y的偶函数 即 u1 x y u1 x y u2 x y u2 x y 提示 利用 x y 的性质 x y x y 2 5特征值与特征函数69 以及假定具有Dirac 函数作为右端的Poisson方程第一边值问题的解是唯一的 6 记 B 为上半圆 x y x2 y2 1 y 0 求以下两个边值问题的Green函数 u x x0 y y0 x y B u B 0 以及 u x x0 y y0 x y B u 1 0 u y 2 0 其中 1 2 B 1 x y x2 y2 1 y 0 2 x y 1 x 1 y 0 7 利用Green函数法 求半圆区域B 上的边值问题解的表达式 u f x y x y B u 1 x y u y 2 x 其中 1 2以及B 的定义见上题 8 设 r 是平面上的极坐标 即 x rcos y rsin 0 2 试证明在极坐标 r 下 Laplace方程可写为 u 1 r r r u r 1 r2 2u 2 0 9 试证明 对于任意n 0 1 un r rn Ancosn Bnsinn An Bn是任意常数 是Laplace方程的解 70第二章POISSON方程的边值问题 试通过叠加原理 求单位圆 B x y r 1 上Laplace方程第一边值问 题的解 u 0 0 r 1 0 2 u 1 0 2 其中 0 2 10 设平面区域 R2 若u x y 在 内适合Laplace方程 则称u x y 是定义 在 内的调和函数 试证明 若u x y 在 内调和 则对于任意小圆 x x0 2 y y0 2 2 有平均值公式 u x0 y0 1 2 I u x y dS 11 强极值原理 一个定义在 上且不为常数的调和函数只能在 的边界 上达 到它的最大和最小值 试比较这个论断与定理4 2的差别 提示 利用调和函数的平均值公式 通过反证法导出矛盾 88第三章变分方法与近似求解 通过与上面完全相仿的推导 我们得到 c c1 cN T适合的代数方程组 K c f 这里荷载向量 f 为 f f N M i N 1 gi i 1 H N M i N 1 gi i N H T 由此可以看出通过变分原理与分片线性插值函数相结合 有限元方法从根本上 克服了Galerkin方法所带来的不足 从而使变分方法焕发了新的生命力 得到 了工程与科学的很多领域的广泛认可 成为了当前解决实际问题的重要手段 当然有关刚度矩阵的构成以及算法上的一些具体实施细节 例如区域的自动剖 分 节点的有序排列等内容已超出本课程的要求 在计算方法课程中有专门介 绍 在这里我们只介绍形成算法的基本原理 而不涉及算法的具体实施过程 第三章 习题 1 设y y x 是一条连接点A 0 a 和点B l b 的光滑曲线 即y y x C1 0 l 且y 0 a y l b 试建立连接A B两点的短程线所满足的变分问题以及等价的常微分方程边 值问题 并求出它的解 2 求解以下变分问题 设M v v x C1 0 1 v 1 0 求u x M 使得 J u min v M J v 其中 J v 1 2 1 0 v x 2dx 2 1 0 v x dx v 0 3 3有限元方法89 3 试用变分方法求解下列边值问题 d 2u dx2 cos x 0 x 0 p为外力 5 记 SN 1 1 u x u x C1 0 1 u 0 u 1 0 其中u x N 1 i 1 ui i x 空间 C1 0 1 与基函数 i x 如3 3节定义 若记h xi 1 xi i 0 1 N 1 则变分问题 J uN min v SN 1 1 J v min v SN 1 1 T 2 1 0 dv dx 2dx 1 0 f x v x dx 90第三章变分方法与近似求解 等价于下列问题 T h2 ui 1 2ui ui 1 fi i 1 2 N 1 其中u0 uN 0 6 试建立二维Poisson方程第一边值问题 u x y f x y 0 x y 0 0 x 0 并证明上述问题的解u x t 满足 u x 1 2a t e x2 4a2t 它是热传导方程的基本解 试从上述初值问题对x求导数 说明其必是基本解的 理由 提示 利用上题的变量变换 推导出 适合的常微分方程边值问题求解 120第四章热传导方程的初值和初边值问题 7 试从半无界区域的Green函数 4 4 12 出发 推导半无界问题 4 4 1 4 4 3 解的表达式 4 4 8 8 利用变量分离方法求解热传导方程初 边值问题 ut a2uxx 0 0 x l 0 t u x 0 x l x 0 x l u 0 t 0 u l t 0 0 t 9 求解混合问题 ut a2uxx 0 0 x l 0 t u x 0 x 0 x l ux 0 t 0 u l t l 0 t 10 求解混合问题 ut a2uxx ux 0 0 x l 0 t u x 0 x 0 x l u 0 t 0 u l t 0 0 t 11 求解混合问题 ut a2uxx u 0 0 x l 0 t u x 0 x 0 x l u 0 t 0 u l t 0 0 t 12 完成定理6 1中f x y 0情形 4 6 3 的证明 144第五章波动方程的初值和初边值问题 根据能量守恒定理和不等式 5 7 6 得到 u1 x t u2 x t 2 l l 0 1 x 2 x 2 a2 d 1 dx x d 2 dx x 2 dx x t Q 如果 1 x 2 x 1 x 2 x 由上式即得u1 x t u2 x t 因此解的唯一性成立 另外 由上式 sup x t Q u1 x t u2 x t l sup 0 x l 1 x 2 x 2 a2 d 1 dx x d 2 dx x 2 1 2 这给出了解关于初值的连续依赖性 证毕 附注7 1 对于两端固定的弦的强迫振动 弦的总能量会随时间变化 但可以证 明能量不等式 从而解的唯一性和连续依赖性依然成立 见习题14 第五章 习题 1 利用特征线法求解 u t 1 x2 u x u 0 x 0 u x 0 arctanx x 0 2 利用特征线法求解 u t t u x 0 x 0 u x 0 x x 0 3 利用特征线法求解 u t u x 0 x t u x x x x 0 t 0 u 0 t f t u x 0 g x 其中f 0 g 0 f 0 ag 0 0 若有解 试求解 并说明定解数据f t g x 在原点 0 0 给出的条件的意义 5 研究波动方程的初值问题 2u t2 a 2 2u x2 0 u 0 x x u t 0 x x 试通过解的特征线理论分析 1 若在 1 1 上 x 0 x 0 而在 1 1 以外 x x 恒正 试导出解u x t 0的区域 并说明理 由 2 若在 1 1 上 x x 恒正 而在 1 1 以外 x 0 x 0 试导出解u x t 0的区域 并说明理由 6 考虑方程 2u t2 a2 2u x2 b u t c u x du 0 其中a b c d均为常数 利用变量变换u e t xv 适当选取 将上述方程 化简为以下形式 2u t2 a2 2u x2 du 0 146第五章波动方程的初值和初边值问题 7 证明 a 在自变量变换 x at x at下 方程 2u t2 a2 2u x2 0 化为 2u 0 b 利用 a 的结果证明 方程 2u t2 a2 2u x2 0 的任意解都可表成 u x t x at x at 的形式 其中 为任意二次连续可微函数 c 试利用上述解的表达式 求初值问题 5 4 1 的解的表达式 8 当f x t 0时 试导出波动方程半无界第二边值问题 5 5 6 的解的表达式 并指出 若在原点 0 0 0 0 即 lim x 0 ux x 0 lim t 0 ux 0 t 那么在定解区域 x t x 0 t 0 内部 解的微商ux x t 将会不连续 试写 出ux不连续的曲线 9 求解弦振动方程混合问题 2u t2 a2 2u x2 0 0 x 0 u 0 t u l t 0 t 0 u x 0 sin x 0 x l ut x 0 0 0 x l 5 7能量不等式与适定性147 10 求解弦振动方程混合问题 2u t2 a2 2u x2 0 0 x 0 u 0 t 0 u l t sint t 0 u x 0 0 0 x l ut x 0 0 0 x l 11 求解弦振动方程混合问题 2u t2 a2 2u x2 0 0 x 0 u 0 t 0 u l t 0 t 0 u x 0 sin l x 2sin 5 l x 0 x l ut x 0 0 0 x l 12 设 是平面上的同心圆环 x y a2 x2 y2 b2 试在极坐标下 用分离变量法求给定在圆环上Poisson方程第一边值问题的解 1 r r r u r 1 r2 2u 2 f r 0 a r b 0 2 u a u b 0 0 2 其中 0 2 13 考虑弦振动问题 2u t2 a2 2u x2 f x Q 0 x 0 u 0 t u l t 0 t 0 u x 0 x 0 x l ut x 0 x 0 x l 定义弦的总能量E t 为 E t 2 l 0 u2 t x t a 2u2 x x t 2f x u dx 148第五章波动方程的初值和初边值问题 试证明弦的总能量守恒 即E t 为常数 14 考虑弦的强迫振动问题 2u t2 a2 2u x2 f x t Q 0 x 0 u 0 t u l t 0 t 0 u x 0 ut x 0 0 0 x l 试证明 a 由 5 7 5 7 1 定义的能量积分E t 适合能量不等式 dE t dt E t 8 l 0 f2 x t dx b 对E t 有估计 E t E 0 8 t 0 l 0 et f2 x d dx c 解u x t 对f x t 连续依赖 提示 利用不等式 ab a2 1 4b 2以及恒等式 d dt e tE t e t dE t dt E t 162第六章差分方法简介 出这四种差分格式收敛性 稳定性 的必要条件 通过严格推理我们证明了这 些稳定性条件亦是保证这些差分格式收敛的充分条件 而对于稳态问题的差分格式 我们讨论了一种离散格式 我们从解的极值 原理的角度 证明了差分格式的解保持了原有微分方程解的极值原理 从而证 明了差分格式的收敛性 这种从微分方程解的角度出发 来考察数值方法的可靠性问题 是本书设 置这一章的目的 第六章 习题 1 设常数a 0 则当r a t x 1时 格式 II 和格式 III 不稳定 2 证明边值问题差分格式 6 2 4 6 2 5 中 当a x 0时 将一阶导数du dx近似 地用差商u x x u x x 代替 以及当a x 的符号不定时 将a x du dx近似地用 a x u x u x x x a x u x x u x x 代替 则离散格式的极值原理 定理2 1 仍然成立 其中符号z 定义为 z z z 0 0 z 0 z 0 z 0 z z 0 3 考虑下述问题 u t u x au f x t x R 0 t T u x 0 x x R 定义差分格式 un 1 m un m 1 unm 1 2 t un m 1 u n m 1 2 x au n m 1 u n m 1 2 1 2 f n m 1 f n m 1 u0 m m 6 3小结163 讨论此格式的收敛性 4 试利用习题2的技巧写出求解二阶常微分方程边