湖北省巴东一中高中数学 直线的方程教案 新人教版必修2.doc

3.2 直线的方程3.2.1 直线的点斜式方程一、教材分析 直线方程的点斜式给出了根据已知一个点和斜率求直线方程的方法和途径.在求直线的方程中，直线方程的点斜式是基本的，直线方程的斜截式、两点式都是由点斜式推出的.从一次函数y=kxb(k0)引入，自然地过渡到本节课想要解决的问题求直线的方程问题.在引入过程中，要让学生弄清直线与方程的一一对应关系，理解研究直线可以从研究方程及方程的特征入手. 在推导直线方程的点斜式时，根据直线这一结论，先猜想确定一条直线的条件，再根据猜想得到的条件求出直线的方程.二、教学目标1知识与技能（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.2过程与方法在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程，学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别.3情态与价值观通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题.三、教学重点与难点教学重点:引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程.教学难点:在理解的基础上掌握直线方程的点斜式的特征及适用范围.四、课时安排1课时五、教学设计（一）导入新课思路1.方程y=kxb与直线l之间存在着什么样的关系？让学生边回答，教师边适当板书.它们之间存在着一一对应关系,即（1）直线l上任意一点p(x1,y1)的坐标是方程y=kxb的解.（2）(x1,y1)是方程y=kx+b的解点p(x1,y1)在直线l上.这样好像直线能用方程表示,这节课我们就来学习、研究这个问题直线的方程(宣布课题).思路2.在初中，我们已经学习过一次函数，并接触过一次函数的图象，现在，请同学们作一下回顾： 一次函数y=kx+b的图象是一条直线，它是以满足y=kx+b的每一对x、y的值为坐标的点构成的.由于函数式y=kx+b也可以看作二元一次方程,所以我们可以说，这个方程的解和直线上的点也存在这样的对应关系.这节课我们就来学习直线的方程(宣布课题).（二）推进新课、新知探究、提出问题如果把直线当做结论，那么确定一条直线需要几个条件？如何根据所给条件求出直线的方程？已知直线l的斜率k且l经过点p1(x1,y1)，如何求直线l的方程?方程导出的条件是什么？若直线的斜率k不存在，则直线方程怎样表示？k=与y-y1=k(x-x1)表示同一直线吗？已知直线l的斜率k且l经过点（，），如何求直线l的方程？讨论结果:确定一条直线需要两个条件:a.确定一条直线只需知道k、b即可；b.确定一条直线只需知道直线l上两个不同的已知点.设p(x，y)为l上任意一点，由经过两点的直线的斜率公式,得k=,化简,得yy1=k(xx1).方程导出的条件是直线l的斜率k存在.a.x=0；b.x=x1.启发学生回答:方程k=表示的直线l缺少一个点p1(x1,y1),而方程yy1=k(xx1)表示的直线l才是整条直线.y=kx+b.（三）应用示例思路1例1 一条直线经过点p1(-2,3),倾斜角=45,求这条直线方程,并画出图形.图1解:这条直线经过点p1(-2,3),斜率是k=tan45=1.代入点斜式方程,得y-3=x+2,即x-y+5=0,这就是所求的直线方程,图形如图1所示.点评:此例是点斜式方程的直接运用,要求学生熟练掌握,并具备一定的作图能力.变式训练 求直线y=-(x-2)绕点(2,0)按顺时针方向旋转30所得的直线方程.解：设直线y=-(x-2)的倾斜角为，则tan=-，又0,180)，=120.所求的直线的倾斜角为120-30=90.直线方程为x=2.例2 如果设两条直线l1和l2的方程分别是l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2，试讨论:（1）当l1l2时，两条直线在y轴上的截距明显不同，但哪些量是相等的？为什么？（2）l1l2的条件是什么？活动:学生思考：如果1=2，则tan1=tan2一定成立吗？何时不成立？由此可知：如果l1l2，当其中一条直线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率必定不存在.反之，问：如果b1b2且k1=k2，则l1与l2的位置关系是怎样的？由学生回答，重点说明1=2得出tan1=tan2的依据.解:（1）当直线l1与l2有斜截式方程l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2时，直线l1l2k1=k2且b1b2.(2)l1l2k1k2=-1.变式训练 判断下列直线的位置关系:(1)l1:y=x+3,l2:y=x-2;(2)l1:y=x,l2:y=-x.答案：(1)平行；(2)垂直.思路2例1 已知直线l1：y=4x和点p(6，4)，过点p引一直线l与l1交于点q，与x轴正半轴交于点r，当oqr的面积最小时，求直线l的方程.活动:因为直线l过定点p(6，4)，所以只要求出点q的坐标，就能由直线方程的两点式写出直线l的方程.解：因为过点p(6，4)的直线方程为x=6和y4=k(x6),当l的方程为x=6时，oqr的面积为s=72；当l的方程为y4=k(x6)时，有r(,0)，q（,)，此时oqr的面积为s=.变形为(s72)k2(964s)k32=0(s72).因为上述方程根的判别式0，所以得s40.当且仅当k=1时，s有最小值40.因此，直线l的方程为y4=(x6)，即xy10=0.点评：本例是一道有关函数最值的综合题.如何恰当选取自变量，建立面积函数是解答本题的关键.怎样求这个面积函数的最值，学生可能有困难，教师宜根据学生的实际情况进行启发和指导.变式训练 如图2，要在土地abcde上划出一块长方形地面（不改变方向），问如何设计才能使占地面积最大？并求出最大面积（精确到1 m2）（单位：m）.图2解：建立如图直角坐标系，在线段ab上任取一点p分别向cd、de作垂线，划得一矩形土地.ab方程为=1,则设p(x,20-)(0x30),则s矩形=(100-x)80-(20-)=-(x-5)2+6 000+(0x30),当x=5时，y=，即p（5，）时，(s矩形)max=6 017(m2).例2 设abc的顶点a(1，3)，边ab、ac上的中线所在直线的方程分别为x2y1=0，y=1，求abc中ab、ac各边所在直线的方程.活动:为了搞清abc中各有关元素的位置状况，我们首先根据已知条件，画出简图3,帮助思考问题.解:如图3,设ac的中点为f，ac边上的中线bf：y=1.图3ab边的中点为e，ab边上中线ce：x2y1=0.设c点坐标为(m，n),则f().又f在ac中线上,则=1,n=-1.又c点在中线ce上，应当满足ce的方程，则m2n1=0.m=3.c点为(3，1).设b点为(a,1),则ab中点e(),即e(,2).又e在ab中线上,则-4+1=0.a=5.b点为(5，1).由两点式,得到ab，ac所在直线的方程ac：xy2=0,ab：x2y7=0.点评：此题思路较为复杂，应使同学们做完后从中领悟到两点：(1)中点分式要灵活应用；(2)如果一个点在直线上，则这点的坐标满足这条直线的方程，这一观念必须牢牢地树立起来.变式训练 已知点m（1，0），n（1，0）,点p为直线2x-y-1=0上的动点，则|pm|2+|pn|2的最小值为何？解：p点在直线2x-y-1=0上,设p（x0,2x0-1）.|pm|2+|pn|2=10(x0-)2+.最小值为.（四）知能训练课本本节练习1、.（五）拓展提升已知直线y=kxk2与以a(0，3)、b(3，0)为端点的线段相交，求实数k的取值范围.图4活动:此题要首先画出图形4，帮助我们找寻思路，仔细研究直线y=kxk2，我们发现它可以变为y2=k(x1)，这就可以看出，这是过(1，2)点的一组直线.设这个定点为p(1，2).解：我们设pa的倾斜角为1，pc的倾斜角为，pb的倾斜角为2，且12.则k1=tan1kk2=tan2.又k1=-5，k2=-，则实数k的取值范围是-5k-.（六）课堂小结通过本节学习，要求大家：1.掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线的点斜式方程，了解直线方程的斜截式是点斜式的特例.2.引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程.（七）作业习题3.2 a组2、3、5.3.2.2 直线的两点式方程一、教材分析 本节课的关键是关于两点式的推导以及斜率k不存在或斜率k=0时对两点式的讨论及变形.直线方程的两点式可由点斜式导出.若已知两点恰好在坐标轴上(非原点)，则可用两点式的特例截距式写出直线的方程.由于由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便.在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式.但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零.在这两种情况下都不能用截距式.二、教学目标1知识与技能（1）掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围；（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。2过程与方法让学生在应用旧知识的探究过程中获得新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点.3情态与价值观（1）认识事物之间的普通联系与相互转化；（2）培养学生用联系的观点看问题。三、教学重点与难点教学重点:直线方程两点式和截距式.教学难点:关于两点式的推导以及斜率k不存在或斜率k=0时对两点式方程的讨论及变形.四、课时安排1课时五、教学设计（一）导入新课思路1.上节课我们学习了直线方程的点斜式，请问点斜式方程是什么？点斜式方程是怎样推导的？利用点斜式解答如下问题：（1）已知直线l经过两点p1(1,2),p2(3,5),求直线l的方程.（2）已知两点p1(x1,y1),p2(x2,y2)(其中x1x2,y1y2)，求通过这两点的直线方程.思路2.要学生求直线的方程，题目如下：a(8，-1)，b(-2，4)；a(6，-4)，b(-1，2)；a(x1，y1)，b(x2，y2)(x1x2).(分别找3个同学说上述题的求解过程和答案，并着重要求说求k及求解过程)这个答案对我们有何启示？求解过程可不可以简化？我们可不可以把这种直线方程取一个什么名字呢?（二）推进新课、新知探究、提出问题已知两点p1(x1,y1),p2(x2,y2)(其中x1x2,y1y2)，求通过这两点的直线方程.若点p1(x1,y1),p2(x2,y2)中有x1=x2或y1=y2，此时这两点的直线方程是什么？两点式公式运用时应注意什么？已知直线l与x轴的交点为a(a,0)，与y轴的交点为b(0,b)，其中a0,b0，求直线l的方程.a、b表示截距是不是直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？截距式不能表示平面坐标系下哪些直线？活动:教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程.师生共同归纳：已知直线上两个不同点，求直线的方程步骤：a.利用直线的斜率公式求出斜率k;b.利用点斜式写出直线的方程.x1x2,k=,直线的方程为y-y1=(x-x1).l的方程为y-y1=(x-x1).当y1y2时,方程可以写成.由于这个方程是由直线上两点确定的，因此叫做直线方程的两点式.注意：式是由式导出的，它们表示的直线范围不同.式中只需x1x2，它不能表示倾斜角为90的直线的方程；式中x1x2且y1y2，它不能表示倾斜角为0或90的直线的方程，但式相对于式更对称、形式更美观、更整齐，便于记忆.如果把两点式变成(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)，那么就可以用它来求过平面上任意两已知点的直线方程.使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式.教师引导学生通过画图、观察和分析，发现当x1=x2时，直线与x轴垂直，所以直线方程为x=x1；当y1=y2时，直线与y轴垂直，直线方程为y=y1.引导学生注意分式的分母需满足的条件.使学生学会用两点式求直线方程；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形.教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线l的方程？哪种方法更为简捷？然后求出直线方程.因为直线l经过(a，0)和(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得.就是=1.注意：这个方程形式对称、美观,其中a是直线与x轴交点的横坐标，称a为直线在x轴上的截距，简称横截距；b是直线与y轴交点的纵坐标，称b为直线在y轴上的截距，简称纵截距.因为方程是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，所以方程式叫做直线方程的截距式.注意到截距的定义，易知a、b表示的截距分别是直线与坐标轴x轴交点的横坐标，与y轴交点的纵坐标，而不是距离.考虑到分母的原因，截距式不能表示平面坐标系下在x轴上或y轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式.讨论结果：若x1x2且y1y2,则直线l方程为.当x1=x2时，直线与x轴垂直，直线方程为x=x1；当y1=y2时，直线与y轴垂直，直线方程为y=y1.倾斜角是0或90的直线不能用两点式公式表示(因为x1x2,y1y2).=1.a、b表示的截距分别是直线与坐标轴x轴交点的横坐标，与y轴交点的纵坐标，而不是距离.截距式不能表示平面坐标系下在x轴上或y轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式.（三）应用示例思路1例1 求出下列直线的截距式方程：（1)横截距是3，纵截距是5；（2)横截距是10，纵截距是-7；（3)横截距是-4，纵截距是-8.答案：（1）5x+3y-15=0；（2)7x-10y-70=0；（3）3x+4y+12=0.变式训练 已知rtabc的两直角边ac=3，bc=4，直角顶点c在原点，直角边ac在x轴负方向上，bc在y轴正方向上，求斜边ab所在的直线方程.答案：4x-3y+12=0.例2 如图1,已知三角形的顶点是a(5，0)、b(3，3)、c(0，2)，求这个三角形三边所在直线的方程.图1活动:根据a、b、c三点坐标的特征，求ab所在的直线的方程应选用两点式；求bc所在的直线的方程应选用斜截式；求ac所在的直线的方程应选用截距式.解：ab所在直线的方程，由两点式,得,即3x+8y+15=0.bc所在直线的方程，由斜截式,得y=-x+2,即5x+3y-6=0.ac所在直线的方程，由截距式,得=1,即2x-5y+10=0.变式训练 如图2,已知正方形的边长是4，它的中心在原点，对角线在坐标轴上，求正方形各边及对称轴所在直线的方程.图2活动:由于正方形的顶点在坐标轴上，所以可用截距式求正方形各边所在直线的方程.而正方形的对称轴pq，mn，x轴，y轴则不能用截距式，其中pq，mn应选用斜截式；x轴，y轴的方程可以直接写出.解:因为|ab|=4，所以|oa|=|ob|=.因此a、b、c、d的坐标分别为(2,0)、(0,2)、(-2,0)、(0,-2).所以ab所在直线的方程是=1,即x+y-2=0.bc所在直线的方程是=1,即x-y+2=0.cd所在直线的方程是=1,即x+y+2=0.da所在直线的方程是=1,即x-y-2=0.对称轴方程分别为xy=0,x=0,y=0.思路2例1 已知abc的顶点坐标为a（-1，5）、b（-2，-1）、c（4，3），m是bc边上的中点.（1）求ab边所在的直线方程；（2）求中线am的长;（3）求ab边的高所在直线方程.解：（1）由两点式写方程,得，即6x-y+11=0.（2）设m的坐标为（x0,y0），则由中点坐标公式,得x0=1,y0=1,故m（1，1）,am=2.(3)因为直线ab的斜率为kab=-6，设ab边上的高所在直线的斜率为k,则有kkab=k(-6)=-1,k=.所以ab边高所在直线方程为y-3=(x-4),即x-6y+14=0.变式训练 求与两坐标轴正向围成面积为2平方单位的三角形，并且两截距之差为3的直线的方程.解：设直线方程为=1,则由题意知,有ab=3,ab=4.解得a=4,b=1或a=1,b=4.则直线方程是=1或=1,即x+4y-4=0或4x+y-4=0.例2 经过点a(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程.解：当截距为0时，设y=kx，又过点a(1,2)，则得k=2，即y=2x.当截距不为0时，设=1或=1,过点a(1,2)，则得a=3，或a=-1，即x+y-3=0或x-y+1=0.这样的直线有3条：2x-y=0，x+y-3=0或x-y+1=0.变式训练 过点a(-5,-4)作一直线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5.答案：2x-5y-10=0,8x-5y+20=0.（四）知能训练课本本节练习1、2、3.（五）拓展提升问题：把函数y=f(x)在x=a及x=b之间的一段图象近似地看作直线，设acb，证明f(c)的近似值是f(a)+f(b)-f(a).证明：a、b、c三点共线，kac=kab,即.f(c)-f(a)= f(b)-f(a),即f(c)=f(a)+f(b)-f(a).f(c)的近似值是f(a)+f(b)-f(a).（六）课堂小结 通过本节学习，要求大家：掌握直线方程两点式和截距式的发现和推导过程，并能运用这两种形式求出直线的方程.理解数形结合的数学思想，为今后的学习打下良好的基础.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围，树立辩证统一的观点，形成严谨的科学态度和求简的数学精神.（七）作业课本习题3.2 a组9、10.3.2.3 直线的一般式方程一、教材分析 直线是最基本、最简单的几何图形，它是研究各种运动方向和位置关系的基本工具，它既能为进一步学习作好知识上的必要准备，又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础.直线方程是这一章的重点内容，在学习了直线方程的几种特殊形式的基础上，归纳总结出直线方程的一般形式.掌握直线方程的一般形式为用代数方法研究两条直线的位置关系和学习圆锥曲线方程打下基础.根据教材分析直线方程的一般式是本节课的重点，但由于学生刚接触直线和直线方程的概念，教学中要求不能太高，因此对直角坐标系中直线与关于x和y的一次方程的对应关系确定为“了解”层次.两点可以确定一条直线，给出一点和直线的方向也可以确定一条直线，由两个独立条件选用恰当形式求出直线方程后，均应统一到一般式.直线的一般式方程中系数a、b、c的几何意义不很鲜明，常常要化为斜截式和截距式，所以各种形式应会互化.引导学生观察直线方程的特殊形式，归纳出它们的方程的类型都是二元一次方程，推导直线方程的一般式时渗透分类讨论的数学思想，通过直线方程各种形式的互化,渗透化归的数学思想，进一步研究一般式系数a、b、c的几何意义时,渗透数形结合的数学思想.二、教学目标1知识与技能（1）明确直线方程一般式的形式特征；（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式.2过程与方法学会用分类讨论的思想方法解决问题.3情态与价值观（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）用联系的观点看问题.三、教学重点与难点教学重点:直线方程的一般式及各种形式的互化.教学难点:在直角坐标系中直线方程与关于x和y的一次方程的对应关系，关键是直线方程各种形式的互化.四、课时安排1课时五、教学设计（一）导入新课思路1.前面所学的直线方程的几种形式，有必要寻求一种更好的形式，那么怎样的形式才能表示一切直线方程呢?这节课我们就来研究这个问题.思路2.由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形.(1)斜率是1，经过点a（1，8）；(2)在x轴和y轴上的截距分别是-7，7；(3)经过两点p1（1，6）、p2（2，9）；(4)y轴上的截距是7，倾斜角是45.由两个独立条件请学生写出直线方程的特殊形式分别为y-8=x-1、=1、y=x+7，教师利用计算机动态显示，发现上述4条直线在同一坐标系中重合.原来它们的方程化简后均可统一写成：x-y+7=0.这样前几种直线方程有了统一的形式，这就是我们今天要讲的新课直线方程的一般式.（二）推进新课、新知探究、提出问题坐标平面内所有的直线方程是否均可以写成关于x,y的二元一次方程?关于x,y的一次方程的一般形式ax+by+c=0（其中a、b不同时为零）是否都表示一条直线?我们学习了直线方程的一般式，它与另四种形式关系怎样，是否可互相转化?特殊形式如何化一般式?一般式如何化特殊形式?特殊形式之间如何互化?我们学习了直线方程的一般式ax+by+c=0，系数a、b、c有什么几何意义?什么场合下需要化成其他形式?各种形式有何局限性?讨论结果:分析：在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角.1当90时，它们都有斜率，且均与y轴相交，方程可用斜截式表示：y=kx+b.2当=90时，它的方程可以写成x=x1的形式，由于在坐标平面上讨论问题，所以这个方程应认为是关于x、y的二元一次方程，其中y的系数是零.结论1：直线的方程都可以写成关于x、y的一次方程.分析：a当b0时，方程可化为y=-x-，这就是直线的斜截式方程，它表示斜率为-，在y轴上的截距为-的直线.b当b=0时，由于a、b不同时为零必有a0，方程化为x=-，表示一条与y轴平行或重合的直线.结论2：关于x,y的一次方程都表示一条直线.综上得：这样我们就建立了直线与关于x,y的二元一次方程之间的对应关系.我们把ax+by+c=0（其中a,b不同时为0）叫做直线方程的一般式.注意：一般地，需将所求的直线方程化为一般式.在这里采用学生最熟悉的直线方程的斜截式（初中时学过的一次函数）把新旧知识联系起来.引导学生自己找到答案，最后得出能进行互化.待学生通过练习后师生小结：特殊形式必能化成一般式；一般式不一定可以化为其他形式（如特殊位置的直线），由于取点的任意性，一般式化成点斜式、两点式的形式各异，故一般式化斜截式和截距式较常见；特殊形式的互化常以一般式为桥梁，但点斜式、两点式、截距式均能直接化成一般式.各种形式互化的实质是方程的同解变形（如图1）.图1列表说明如下：形 式方程局限各常数的几何意义点斜式y-y1=k(x-x1)除x=x0外(x1,y1)是直线上一个定点,k是斜率斜截式y=kx+b除x=x0外k是斜率,b是y轴上的截距两点式除x=x0和y=y0外(x1,y1)、(x2,y2)是直线上两个定点截距式=1除x=x0、y=y0及y=kx外a是x轴上的非零截距,b是y轴上