工程数学第八讲.pdf

第八讲 留数留数 1 定义定义 2 分类分类 3 性质性质 4 零点与极点的关系零点与极点的关系 5 1 孤立奇点孤立奇点 1 定义定义 例如例如 z ezf 1 z 0为孤立奇点为孤立奇点 z zf 1 sin 1 z 0及及z 1 n n 1 2 都是它的都是它的奇点奇点 1 1 2 f z zz z 1 z 2为孤立奇点为孤立奇点 定义定义 0 00 00 的孤立奇点的孤立奇点为为则称则称内解析内解析 的某个去心邻域的某个去心邻域但在但在处不解析处不解析在在若若 zfzzz zzzf x y o 这这说明奇点未说明奇点未 必是孤立的必是孤立的 的奇点存在的奇点存在 总有总有邻域内邻域内 不论多么小的去心不论多么小的去心在在但但 0 0 1 lim zf z n n 的孤立奇点的孤立奇点 不是不是故故 z z 1 sin 1 0 2 分类分类 以下将以下将f z 在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数 根根 据展开式的不同情况据展开式的不同情况 将孤立点进行分类将孤立点进行分类 考察考察 12 1 5 3 1 sin 1 242 n zzz z z n n 特点特点 没有负幂次项没有负幂次项 2 1 1 1 2 1 0 1 0 n zz zn z n z zz e n n n n nz 特点特点 只有有限多个负幂次项只有有限多个负幂次项 n z n zze z 1 2 1 1 3 21 1 特点特点 有无穷多个负幂次项有无穷多个负幂次项 定义定义设设z0是是f z 的一个孤立奇点的一个孤立奇点 在在z0的去心邻域内的去心邻域内 若若f z 的洛朗级数的洛朗级数 0 0 n n n zzczfi 没有负幂次项没有负幂次项 称称z z0为可去奇点为可去奇点 1 0 0 mczzczfii m mn n n 只有有限多个负幂次项只有有限多个负幂次项 称称z z0为为m 级极点级极点 n n n zzczfiii 0 有无穷多个负幂次项有无穷多个负幂次项 称称z z0为为本性奇点本性奇点 3 性质性质 000 解析解析在在补充定义补充定义 zzfczf 0 0 0 lim 0 czfzzczf zz n n n 若若z0为为f z 的的可去奇点可去奇点 0 0 1 m n n nm zmfzzcc 若若z0为为f z 的的m m 1 级极点级极点 0 0 1 lim z m z ff zg z z z z sin z f z z 例如例如 0 lim 1 z f z 故故z 0为为f z 的的可去奇点可去奇点 00 0 g zzg z 其中在 处解析且 例如例如 类似类似 z i也是也是f z 的一级极点的一级极点 24 1 1 1 1 fz zz 4 1 1 zi zi z 孤立奇点孤立奇点 z 1 z i 故故z 1为为四四级极点级极点 故故z i为一级极点为一级极点 4 111 1 f zg z zizizzi 因 0g zigi 其中在处解析且 424 111 1 1 1 f zh z zzz 又 1 01 zhh 其中在 处解析且 注意注意 z 1为为f z 的的一个一个三三级极点而不是四级级极点而不是四级 类似类似 z i也是也是f z 的一级极点的一级极点 孤立奇点孤立奇点 z 1 z i 故故z i为一级极点为一级极点 1 0 h 若是四级 不符合条件 3 121 1 z f zg z zizizzi 因 0 g zigi 其中在 处解 析且 2 24 32 2 1 1 zz f z zz 4 1 2 1 zz z i z i z 3 2 1 z z i z i z 323 121 1 1 1 z f zh z zzz 又 1 10 zhh 其中在 处解析且故故z 1为为三三级极点级极点 0 lim zz f z f z 的洛朗级数有无穷多项负幂次项 不存在 也不为 若若z0为为f z 的的本性奇点本性奇点 4 零点与极点的关系零点与极点的关系 定义定义 不恒等于不恒等于0的解析函数的解析函数f z 如果能表示成如果能表示成 0 zzzzf m Nmzzz 0 00 点解析点解析在在其中其中 则称则称z z0为为f z 的的m 级零点级零点 与三级零点与三级零点 的一级的一级分别是分别是与与 3 1 10 zzzfzz例如例如 0 00 0 0 zczzcz n n n 0 00 Nmzzz 点解析点解析在在 0 1 2 1 0 0 0 0 0 zfmnzf zzzzf mn m 定理定理 事实上事实上 必要性得证必要性得证 0 0 n mn n zzczf 0 1 2 1 0 0 0 0 0 c m zf mnzf Taylor m n 而而 级数的系数公式有级数的系数公式有由由 充分性略充分性略 的零点的零点 均为均为与与 3 1 10 zzzfzz例如例如 zzzzf6 1 6 1 12 23 1 3 1 zzzzf又又 0 1 f 1 6 1 6 2 zzzzf 为一级零点为一级零点0 0 1 0 3 z f 为三级零点为三级零点1 z 06 1 f0 1 f 00 1 zf zmzm f z 若 是的 级极点是的 级零点定理定理 证明证明 1 0 zg zz zf m 若若z0为为f z 的的m 级极点级极点 0 00 zgzzg且且解析解析在在 1 1 000 zzzhzz zg zz zf mm 0 00 zhzzh且且解析解析在在 令令0 1 0 1 lim 0 0 zfzf zz 1 0 级零点级零点的的是是则则m zf z 则则级零点级零点的的是是 若若 1 0 m zf z 1 0 zzz zf m 0 00 zzz 且且解析解析在在 1 1 1 00 0 z zzzzz zfzz mm 时时 当当 0 00 zzz 且且解析解析在在 0 级极点级极点的的是是mzfz 例例1 故故z 1为为f z 的的一个一个三三级极点级极点 故z i为一级极点为一级极点 2 24 32 1 1 zz f z zz 4 1 2 1 zz z i z i z 3 2 1 z z i z i z 4 1 1 2 z ziz i z i f zz 解 均为的一级零点 3 1 1 1 2 z i z i zz f zz 又为的三级零点 2 1 1 z z f z ze 求的奇点 如果是极点指出它的级 例例2 解解显然显然 z i 是是 1 z2 的一级零点的一级零点 10 1 zz ee 即 21 21 1 zz z ikz ik ee 的一级零点的一级零点是是 z k ekkiz 1 2 1 0 12 1 2 21 zLnikki 21 0 1 2 k zkik 故奇点为 cos 21 sin 21 0kik 2 1 12 一级极点一级极点 的的为为 的二级极点的二级极点为为 zfkkiz zfiz k 综合综合 1 1 5 23 zzz zf zz zf sin 1 6 1 1 7 z ezf 23 3 1 2 8 sin zz f z z 2 2 1 1 3 zz zf 3 sin 4 z z zf 级数级数 如果是极点如果是极点 指出它的指出它的 孤立奇点孤立奇点 奇点类型奇点类型 练习练习 考察下列函数的考察下列函数的 1 1 1 2 z ez zf z z zf 1ln 2 1 留数的定义留数的定义 2 留数定理留数定理 3 留数的计算规则留数的计算规则 5 2 留数留数 Residue 1 留数的定义留数的定义 rzzzzczf n n n 00 0 设设 cc ic zz dz cdzzf c 1 0 1 2 逐项积分得逐项积分得 线线对上式两边沿简单闭曲对上式两边沿简单闭曲 00 在其内部在其内部包含包含的孤立奇点的孤立奇点是是zczfz 的奇点的奇点所围成的区域内含有所围成的区域内含有未必为未必为 所围成的区域内解析所围成的区域内解析在在 0 0 zfc czf dzzf c 定义定义设设 z0 为为 f z 的孤立奇点的孤立奇点 f z 在在 z0 邻域内邻域内 的洛朗级数中负幂次项的洛朗级数中负幂次项 z z0 1 的系数的系数 c 1称为称为f z 在在 z0 的的留数留数 记作记作 Res f z z0 或或 Res f z0 由由留数定义留数定义 Res f z z0 c 1 1 2 2 1 Re 10 dzzf i czzfs c 故故 2 留数定理留数定理 3 Re2 1 21 n k k c n zzfsidzzf cc zfzzz czfc 则则上解析上解析内及内及在在 除此以外除此以外有限个孤立奇点有限个孤立奇点 内有内有在在函数函数是一条简单闭曲线是一条简单闭曲线设设 定理定理 2 1 围绕围绕内孤立奇点内孤立奇点将将 曲线曲线互不相交的正向简单闭互不相交的正向简单闭用互不包含用互不包含 k k zcnk c 证明证明 D c zn z1 z3 z2 n k k n k cc zzfs dzzf i dzzf i k 1 1 Re 2 1 2 1 n cccc dzzfdzzfdzzfdzzf 21 由由复合闭路定理得复合闭路定理得 用用2 i 除上式两边得除上式两边得 n k k c zzfsidzzf 1 Re2 故故 得证得证 求沿闭曲线求沿闭曲线c的积分的积分 归之为求在归之为求在c中各孤立中各孤立 奇点的留数奇点的留数 一般求一般求 Res f z z0 是采用将是采用将 f z 在在 z0 邻域内邻域内 展开成洛朗级数求系数展开成洛朗级数求系数 c 1 的方法的方法 但如果能先知道但如果能先知道 奇点的类型奇点的类型 对求留数更为有利对求留数更为有利 0 Re0 010 zzfsczzi为可去奇点为可去奇点若若 以下就三类孤立奇点进行讨论以下就三类孤立奇点进行讨论 3 留数的计算规则留数的计算规则 规则规则 有以下几条有以下几条为极点时为极点时 求求若若 Re 00 zzfszziii 规则规则I 4 lim Re 00 0 0 zfzzzzfs zfz zz 的一级极点的一级极点是是若若 级极点级极点的的是是若若mzfz 0 规则规则II 5 lim 1 1 Re 0 1 1 0 0 zfzz dz d m zzfs m m m zz 10 00 Re czzfs zzczfzzii n n 展开展开 为本性奇点为本性奇点若若 事实上事实上 由条件由条件 0 010 1 01 2 020 m m m czzcc zzczzczzczf 得得乘上式两边乘上式两边以以 0 m zz m m mm m zzc zzczzcczfzz 00 1 01010 1 0100 1 1 1 m m m m d zzf zmcm czz dz 两边求阶导数得 5 1 lim 10 1 1 0 式式移项得移项得 cmzfzz dz d m m m zz 当当m 1时时 式式 5 即为式即为式 4 6 Re 0 0 0 0 0 00 000 0 zQ zP zzfszfz zQzQzP zzQzP zQ zP zf 且且的一级极点的一级极点是是 处解析处解析在在设设 规则规则III 事实上事实上 1 0 0 00 00 的一级极点的一级极点为为从而从而的一级零点的一级零点为为 及及 zQ zzQz zQzQ 0 1 1 00 0 zzzz zzzQ 处解析且处解析且在在因此因此 0 1 0 0 0 zg zzPzzgzg zz zf 且且 解析解析在在故故 0 00 Re lim zz s f zzzzf z 由规则由规则级极点级极点的的为为则则 0 zfz 0 0 0 lim zzQ P z zz zQ z 0 0 P z Q z 得证 00 00 Q zQ z 2 2 1 25 z dz zz z 计算计算例例1 解解 10 2 1 25 2 zz z zz z zf 和一个二级极点和一个二级极点极点极点 的内部有一个一级的内部有一个一级在在 由规则由规则 II由规则由规则 2 2 lim 25 lim 2 11 zz z zz 0 1 Re2 0 Re2 2 zfsizfsidzzf z 0 lim z zf z Re 0 s f z 2 0 52 lim2 1 z z z 2 2 1 152 lim 1 21 1 z dz z dzz z Re 1 s f z 2 1 4 zcdz z z c 正向正向计算计算 例例2 解解内内 都在圆周都在圆周个一级极点个一级极点有有cizf 1 4 23 4 1 4 zz z zQ zP 由规则由规则 4 1 c z dz z 故 1111 20 4444 i 2 Re 1 Re 1 Re Re is f zs f z s f z is f zi 1 3 cos z dz z z 计算计算例例3 解解的三级极点的三级极点有一个有一个0 cos 3 z z z zf 3 1 cos 2Re 0 z z dzis f z z 2 3 2 0 1 Re 0 lim 31 z d s f zz f z dz 由规则 0 1 lim cos 2 z z 1 2 1 2 2 ii tanNnzdz nz 计算计算例例4 解解 sin tan cos z z z 1 1 2 2 2 cos csc0 z k z k zz 1 2 zk 为一级极点 1 0 1 cos sin 2 1 tanRe 2 1 k z z kzs kz cos0z 令 1 0 1 2 22 z kz