第一章习题解答及参考答案.pdf

第一章第一章 傅里叶分析傅里叶分析 部份习题解答及参考答案部份习题解答及参考答案 1 1 试分别写出图 X1 1 中所示图形的函数表达式 图 X1 1 习题 1 1 各函数图形 解 a L xx a 0 b L x ba L x a 2 rect c x L x asgn 2 rect d x L x cos 2 rect 1 2 试证明下列各式 1 2 1 comb 2 1 combxx 2 xi exx x combcomb 2 comb 3 x xN x N sin sin limcomb 4 x x x sin lim 5 dcos 2 1 xx 6 d 2 1 xi ex 解 1 原式左端 mn mxnx1 2 1 2 1 令 1 mn m mx 2 1 右端 2 nn nxn xx 22 22 comb n2只取偶数 m mxx comb mmxemxe x m im m xi cos 2 comb 当 m奇数时 0combcomb xi exx 当 m偶数时 令nm2 则12 cos x 并且有 n nxxx22ecombcomb xi 得证 3 由公式 1 8 7 知 n nx ex 2i comb 上式可视为等比级数求和 其前N项之和为 x Nx eee eee e e q qa S xixixi NxiNxiNxi xi NxiN N sin sin 1 1 1 1 2 2 1 所以 x Nx Sx N N N sin sin limlimcomb 得证 4 首先可以证明 dx sin x x 遂有 xd sin d sin x x x x x 所以 1d sin x x x 又有 sin sinsin x x cx xx 故 00 0 sin lim x x x x sin0cx 函数在处存在尖峰 而对于任一函数 xf有 00d sin lim0 d sin limd sin lim fxxf x x xxf x x xxf x x 故该函数符合 函数的定义 可作为定义 函数的原函数之一 5 利用 4 的结果有 x x x sin lim 故得 2 sin lim2dcos 2 lim d cos limdcoslimdcos 0 x x x xx x x x x xx 证毕 6 利用 5 的结果 并由复指数公式展开得 xxxxe x d cos 2 1 d sini cos 2 1 d 2 1 i 1 3 计算下列积分式 1 xxxxf d sin 2 xxxxf d cos 3 d 2 1 2 rect 2 x 4 xxx dcos 2 2 参考答案 1 0 2 0f 3 2 rect 2 1 2 1 rect 2 1 rect 2 1x xx 4 0 1 4 计算下列各式的一维卷积 1 32 2 1 rect x x 2 14 2 3 rect xx x 3 xxcombrect 参考答案 1 2 5 2 rect 2 1x 2 2 2 rect x 3 1 1 5 试采用图解分析方法计算下列函数 1 图 X1 2 所示的二函数 xhxf 图 X1 2 习题 1 5 1 图示的二函数 2 2 1 rectrect x x 的卷积 并画出卷积后的图形 解 1 首先将函数 xhxf 中的变量x写成 再将 h翻转 并沿 轴移动x 如附 图 1 1 所示 利用图解分析法 显然有 当01 x时 见图 a 3 1 0 6 1 2 1 3 1 d11xxxxhxf x 当10 x时 见图 b 3 1 6 1 2 1 3 1 d11xxxxhxf x 故综合 两项得 x和 2 1 x x xf 0 2 1 并求出当 0 时该变换的极限 参考答案 1 x fi x e f 6 5 sinc 5 1 2 x f a b i x e a f F a 2 1 3 1 1 8 定义 yxyxf f xy dd 0 0 1 yxyxff ffffF F yx dd 0 0 1 分别为原函数 yxf 及其频谱函数 yx ffF 的 等效面积 和 等效带宽 试证明 1 yxf fxy 上式表明函数的 等效面积 和 等效带宽 成反比 称为傅里叶变换反比定理 亦称面积 计算定理 解 由傅里叶变换及其逆变换定义 有 yxeyxfffF yfxfi yx yx dd 2 yx yfxfi yx ffeffFyxf yx dd 2 令0 yx ff及0 yx 分别代入上列两式 得 yxyxfFdd 0 0 yxyx ffffFfdd 0 0 遂得 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 dd 0 0 dd F f f F F ffffF f yxyxf yxyx ffxy yx 得证 1 9 按照系统的定义傅里叶变换算符可以看成是系统的变换算符 问 1 这个系统是线性系统吗 2 能否给出这个系统的线性函数 如果能 它是什么 如果不能 为什么 解 是线性系统 但不是线性空不变系统 它不能给出表征系统作用的传递函数 1 10 证明 yxgFffyxgF yx 4 2222 式中 2 2 2 2 2 yx 称为拉普拉斯算子 解 yx yfxfi yxyx yx yfxfi yx ffeffGff ffeffG yx yxg yx yx dd 4 dd 222 2 2 2 2 2 2 2 22 2222 2 222 222 4 d dd d 4 d dd d 4 d d xyxy xxyy ifxf yif xf y xyxyxy iffxffy xyxyxy xyxyxyyxy Fg x yffG ffff eex y ffG ffffex y ffG ffff ffff 222 4 xyxy ffG ff 证毕 1 11 试利用 Parseval 定理分别计算下列积分 1 dxxsinc 2 2 dxxsinc 3 3 dxxsinc 4 解 1 1drectdrectdsinc 22 xxxx ffffxx 2 4 3d12 drectdsincsincdsinc 2 1 0 x 23 ff fffxxxxx x xxx 3 3 2d1d1 ddsincsincdsinc 0 1 1 0 x 2 x 2 224 ffff fffxxxxx xx xxx 1 12 设变换算符 L A F和 L B F由下式定义 dd 2 iexp 1 yxA ff a g a gF dd 2 iexp 1 yx b g b gFB 1 求出 yxgFF AB 的简单表达式 2 说明对于ba 和ba ba 解 1 b f a f G a eyxg a yxgF y x a f a f i A y x 1 dd 1 2 2 2 dd dd 11 y b a x b a g b a a f a f e b f a f G b a ffe b f a f G ab yxgFF y x y b a a f x b a a f i y x yx b y f b x fi y x AB y x yx 2 ba 时 xOy平面坐标压缩且函数 yxg 被放大 b a 倍 ba 时 xOy平面坐标压缩且函数 yxg 被缩小 b a 倍 1 13 试证明在极坐标系下 对于圆对称函数有 1 2 2 ee r 2 在1 ra时 若 1 rfR 而其他地方为零 则 2J2J 11 aarfB R 解 1 由第一类贝塞尔函数定义可得到 0 2 2 0 1 2J k kk k r r 则 0 2 2 0 2 2 0 0 d 1 d22 222 rre k rrJere k r k k k rr 令 2 rt 则上式变为 0 0 2 2 d 1 2 tte k e kt k k k r 利用积分公式 0 kdtte kt 则 22 00 2 2 2 1 1 e k k k e kk k k k k r 上式最后一步是将幂级数展开合并成指数函数形式得到的 2 1 0 0 0 d2J2d2J2 a RR rrrrrrrfrf 令 rr2 则 a a R rrrrrr rrrrf 2 0 00 2 0 0 2 2 2 0 2 dJdJ 2 1 dJ 2 1 利用贝塞尔恒等式 01 0 JdJ x xx 代入前一式便得 aa aarfR 2J2J 2J22J2 2 1 11 11 2 证毕 1 14 表达式 00 comb Y y X x yxgyxp 定义了一个周期函数 它在x方向的周期为 0 X 在y方向的周期为 0 Y 现令 00 2 2rect Y y X x yxg 试画出函数 yxp 的图形 并求出 yxp 的傅里叶变换式 解 0000 0000 0000 d d mn mn mn p x yg x yX YxmXynY X YgxmXynY X Yg xmXynY 当 00 2 2rect Y y X x yxg时 mn nYy Y mXx X YXyxp 0 0 0 0 00 2 2 rect 附图 1 5 习题 1 14 卷积结果 其函数图形如附图 1 5 所示 又 0000 00 0000 comb Y n f X m f Y n X m G Y n f X m fffG fYfXYXffGffP yx mn yxyx yxyxyx 当 00 2 2rect Y y X x yxg时 有 yxyx f Y f X YX ffG 2 2 sinc 4 00 00 故 2 2 sinc 4 00 00 nm YX Y n X m G 所以 mn yxyx Y n f X m f nm YX ffP 00 00 2 2 sinc 4 1 15 试求如图 X1 3 所示函数的一维自相关 图 X1 3 习题 1 15 图示函数 解 设所求自相关函数为 xeff 则有 431 116 767 07 ff xx x ex xx x 1 16 试计算函数 3rect xxf的一阶矩 解 x fi xx efxFfF 6 sinc3rect 遂有 xx fi x x fi x x x x e f fd efi f fF fF 661 d sinc sinc