第六章习题解答2012.pdf

概率论与数理统计 概率论与数理统计 第六章第六章习题解答习题解答 p16 2 试确定下列问题的总体及分布族 1 研究某种型号玻璃瓶的质量 假设瓶上的气泡数是衡量瓶质量的指标 它服 从 Poisson 分布 2 研究某工厂生产的标值为 2 5 的电阻 假设电阻值服从正态分布 答 1 总体 所有这种型号的玻璃瓶上的气泡数构成的集合 总体分布族 Poi 0 2 总体 所有这种型号的电阻的实际电阻值形成的集合 总体分布族 22 0 N 或者 22 0 0 N 3 设某厂大量生产某种产品 其不合格率 p 未知 每 m 件产品包装为一盒 为了检查产品的质量 任意抽取 n 盒 查其中的不合格品数 说明什么是总体 什么是样本 并指出样本的分布 答 此问题一般有两种方法建模 模型一 总体 该厂生产的这种型号的所有产品的合格状况 样本 抽中的 n 盒中的 nm 件产品的合格状况 若样本中第 i 个产品不合格则记 1 i X 否则 0 1 i Xinm 则样本 的联合分布列为 11 1 11 1 1 1 nmnm ii iiii nm xnmx xx nmnm i P XxXxpppp 其中 01 1 i xorinm 模型二 总体 该厂生产的这种型号的各盒产品中的合格数形成的集合 样本 抽中的 n 盒产品中的合格数形成的集合 记样本中第 i 盒产品中的不合格数为 1 i Xin 则样本的联合分布列为 11 11 1 1 1 1 ii nn ii ii n xm x nn ii n xnmx ii m P XxXxpp x m pp x 其中 0 1 i xm in 4 某厂生产的电容器的使用寿命服从指数分布 为了解其平均寿命 从中抽出 n 个产品测其实际使用寿命 说明什么是总体 什么是样本 并指出样本的分布 答 总体 该厂生产的所有该型号的电容器的寿命形成的集合 样本 抽中的 n 个电容器的寿命形成的集合 记样本中第 i 个产品的寿命为 1 i Xin 则样本的联合密度函数为 1 1 0 0 1 11 n i ii nn x xnn niin ii p xxeIxeIxxx 其中 0 是未知参数 5 投掷一枚质地均匀的硬币 15 次 出现正面的次数为 6 次 回答下列问题 1 样本容量为多少 2 总体是什么 总体的数量为多少 3 在投掷硬币之前 你认为出现多少次正面的可能性最大 答 1 样本容量为 15 2 总体是投掷该硬币无穷多次得到的结果构成的集合 其中的个体数量无穷 多 3 因为该硬币质地均匀 有理由假定投掷一次出现正面 反面的概率都是 0 5 投掷 15 次出现的正面数 15 0 5 XB 由该分布的分布列可知 7 X 与 8 X 出现的概率最大 10 以下是某工厂通过抽样调查得到的10名工人一周内生产的产品数 149 156 160 138 149 153 153 169 156 156 试由这批数据构造经验分布函数并作图 11 设某厂用自动瓶装机灌装汽水 从生产线上随机抽取 20 瓶汽水 测量它们 的实际装瓶量 单位 ml 得到如下一组数据 985 940 975 1020 940 975 1060 945 920 980 920 990 1010 1010 935 945 980 960 955 960 1 构造经验分布函数 2 画出茎叶图 14 一组工人完成某一装配工序所需的时间分别为 单位 分钟 35 38 44 33 44 43 48 40 45 30 1 作茎叶图 取茎的单位为 10 叶的单位为 1 2 将上述数据整理成组距为 3 的频数表 第一组以 27 为起点 3 绘制样本直方图 4 写出经验分布函数 频率分布表 分组 频数 频率 累积频数 累积频率 27 30 3 6 3 6 30 33 3 6 6 12 33 36 9 18 15 30 36 39 9 18 24 48 39 42 8 16 32 64 42 45 11 22 43 86 45 48 5 10 48 96 48 51 2 4 50 100 合计 50 100 Stem and leaf of X N 20 Leaf Unit 10 3 9 223 8 9 44445 4 9 6677 8 9 8889 4 10 11 2 10 2 1 10 1 10 6 茎叶图茎叶图 Time Time N 50 叶单位 1 0 1 2 9 3 3 00 6 3 223 11 3 44555 20 3 666677777 24 3 8889 5 4 00111 21 4 222333 15 4 44455555 7 4 6667 3 4 899 经验分布函数 15 115251 35415 15 1 01 1 2 5 max XXBpp TXXTXE X TXpTXX 设是取自两点分布的一个简单随机样本 其中 写出样本的联合分布列 指出下列哪些是统计量 哪些不是统计量 为什么 55 11 5 5 1 1155 1 14 23 1 1 1 011 5 0 1 2 ii iiii xx xx i i P XxXxpppp xip T T T T 样本的联合分布列为 其中或 为未知参数 是统计量 因为它们都是样本的函数 不含任何未知参数 不是统计量 因为它们含有未知参数 解解 2 2 11 222 1111 11 17 1 2 1 111 11 nn ninin ii nnnnnnnn xxsxxn nn n xxxxssxx nnn 记 证明 证明 证明 11111 111 111 nnnnnnnnn xxxnxxxxxxx nnn 1 22 11 1 11 22 11 11 2222 11 1 1 2 1 12111 1 1 111 n ninnn i nn innninnn ii nnnnnn sxxxx n xxxxxxnxx n n nsxxsxx nnnnn x Fn x x Fn x x Fn x 49 1 18 设总体 X 服从 Poi 1 n XX是来自该总体的简单随机样本 求样本 均值 X 的分布列 解 解 因为 1 i i d Poi n XX 故 1 Poi n i i TXn 因 T 的分布列知 X的分布列为 0 1 2 k n n P Xk nP Tkek k 19 设总体 X 服从指数分布 密度函数为 0 x f xeI x 1 n XX 是来 自该总体的简单随机样本 求样本均值X的密度函数 解 解 由 Gamma 分布的独立可加性知 1 n i i TXn 因 T 的 pdf 为 1 0 1 n nt T p tteIt n 故XT n 的密度函数为 1 0 1 nnn x X pxnxeIx n 即 Xn n 20 设 1 n XX是来自 2 N 的一个样本 2 S为样本方差 试求 2 E S和 2 var S 解 解 由课件 Th6 3 2 知 2 2 2 1 1 nS n 而 2 1 n 的期望为 1n 方差 为 2 1 n 因此 222 22 2 1 1 11 nS E SEn nn 2 2224 2 2 1 2 var var2 1 111 nS Sn nnn 21 设 125 XX是从均匀分布 0 10 U中抽取的样本 求样本均值X的渐近分布 也就是根据中心极限定理求X的近似分布 解 解 0 10 U的均值5 方差 2 10025 123 根据中心极限定理 当 n 时 0 1 n X N 因此 当25n 时 X的近似分布为 1 5 3 N 23 设 1100 XX 是取自总体 1 XN 的样本 试确定常数 C 使得对任 意的0 P XC 都不超过 0 05 解 解 由课件 Th6 3 2 知 1 100 XN 因此 对于固定的正数 C 10 10 10 10 10 PXCPCXC PCXC CC 其中 是标准正态分布的分布函数 将 P XC 视为 的函数 记 之为 C g 则其导数为 1010 10 C gCC 其中 x 是标准正态分布的密度函数 它是一个取正值的偶函数 在 0 x 上单调减 对于 0 由于 CC 故 0 C g 这说明 C g 在 0 时单调减 0 0 CC gg 因此 若 C 使 0 10 10 2 10 10 05 C gCCC 即为符合题目要求的 C 即 1 0 525 10 0 0627 100 00627C 26 设 110 XX为取自正态总体 1 N 的一个样本 试确定常数 C 使得 2 10 0 02P SC 解 解 由课件 Th6 3 2 知 2 10 22 10 1 10 9 1 i i S XX 因此 由 22 1010 1010 0 02P SCPSC 知 2 0 98 10 9 19 679C 故 1 9679C 1 1 1 1 35 0 1 1 2 nnn nn UUV iid UUUUU P VUP UVU 设随机变量 为的次序统计量 求 1 1 1 1 1 0 1 pdf if 0 1 10 else if 0 1 0 else n n n n nn n n v nn v UF xf x U nnyy pyF yf y n UU VUV nyy v py v P VUpy v dv 记的分布函数为 密度函数为 的为 因相互独立 故与相互独立 它们的联合密度函数为 因此 解解 1 1 1 0 00 1 y nn v y n dynydv dyny dy n 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 01 12 0 1 01 01 0 n n n nn n n v UU nn f xF yF xf yxy px yn else UUVUUV n nyxxyv px y v else P UVU 的联合密度函数为 因为与相互独立 所以的联合密度函数为 故 1 11 2 0 111 1 00 1 1 1 1 1 1 nn v x v y y n xx n n x px y v dxdydv dxdyn nyxdv n n ndxyxdynxdx n 1 1 1 1 1 1 34 2 1 2 1 1 1 nn n nn n P UVUP VUVU VUVU P VUVUP VUP VU n n P UVU n 方法二 或 因为事件与互斥 所以 或 因此 36 设总体密度函数为 6 1 if 01 0 else xxx p x 19 XX 是来自该总体的样本 求样本中位数的分布 解 解 总体的分布函数为 23 0 0 32 01 1 1 x F xxxx x n 9 时 样本中位数为 5 X 其密度函数为 44 5 44 2323 0 1 95 1 41 9 326 1 1 32 4 4 p xF xp xF x xxxxxxIx 38 在总体 7 6 4 N中抽取容量为 n 的样本 如果要求样本均值落在 5 6 9 6 内的概率不小于 0 95 则 n 至少为多少 39 设总体 X 和 Y 都服从 2 30 3 N 120 XX 和 125 YY 分别是来自 X 和 Y 的样本 求 0 4 P XY 解 解 由于 2 120125 i i d 30 3 XXYYN 由课件 Th6 3 2 知 22 33 30 30 2025 XNYN 且 XY 相互独立 因此 2 9 0 10 XYN 故 4104 2 1 0 65680 4 999 PP XYXY 40 设总体 2 XN 抽取容量为 20 的样本 120 XX 求概率 1 20 2 2 1 1 10 9 37 6 i i PX 2 20 2 2 1 1 11 7 38 6 i i PXX 解 解 1 因为 1 2 20 i i d 0 1 i X iN 故 20 22 2 1 1 20 i i X 查表知 20 2 2 1 1 10 9 37 6 0 990 050 94 i i PX 2 因为 20 22 2 1 1 19 i i XX 查表知 20 2 2 1 1 11 7 38 6 0 9950 1020 893 i i PXX 41 设在总体 2 N 中抽取一个容量为 16 的样本 求 1 22 1 6664P S 2 2 Var S 解 解 1 因为 2 2 2 1 1 nS n 所以查卡方分布表可知 22 22 15 1 666424 9960 95 SS PP 2 因为 2 1 n 的方差为 2 1 n 所以 2 2 1 Var 2 1 nS n 则 44 2 2 2 1 2 Var 1 1 n S nn 42 设总体 22 0XN 从中抽取简单随机样本 12 1 n XXn 记样本均值为 2 1 1 2 n i i XX n 求统计量 2 1 2 n in i i YXXX 的数学期望 解 解 设 1 iin i ZXXin 则 1 1 2 n i i ZZX n 2 1 n i i YZZ 由 2 12 n XXiid N 知 1 n ZZi i d 2 2 2 N 22 2 1 Yn 因此 2 2 1 EYn 2 2 12 12 12 44 0 XX XXNY XX 设是来自的样本 求的分布 解 解 记 12 12 UXX VXX 随机向量 U V 与 12 XX的取值范围都是 2 R 且一一 对应 逆变换为 1 2 2 2 XUV XUV 从 12 x xu v 变换的 Jacobi 行列式为 12 1 2 x x J u v 由题目条件知 12 XX 的 jpdf 为 2 22 1212 2