与方形相关的“面积”的多种求法.doc

/jy-s358/ 上海高三地理家教与方形相关的“面积”的多种求法与方形相关的求平面图形的“阴影”部分的面积是近年中考中比较常见的问题求“阴影”部分的面积最能体现数学思维方法的灵活性与技巧性 最近，我老是看到有关这类题目的文章，其解法也是比较单一的且比较复杂的有好的解题方法对于考试来说是至关重要的，好的方法意味着即省时间又能准确地做对 华罗庚先生说：神奇化易是良训，易化神奇不足提！下面我们一起来赏析一下这类题目的几种不同解法，比较一下各种方法的优劣，学习一下“神奇化易”的本领 1（小学数学题）如图1：把下面两个正方形放在一起，左边的小正方形边长是10cm，求阴影部分BDF面积 解析：这是一道小学里的题目，作为初中生的你该怎么做这道题呢？可能你还不会，也可能你的方法不只一种下面我们一起来研究 1.1解法一：如图2，你也许想到了设未知数，采用整个图形的面积减去空白部分的面积，剩下的就是所求阴影部分的面积的方法我们来一起做一下设EF=a cm ，得：+501.2解法二：如图3，可能你会联想到平行线具有“传递面积”的功能(等底等高的三角形面积相等)，于是我 们 连 接CF ，得：BDFC所以BDF与BDC，等底同高面积相等 1.3解法三：如图4，可你能想到了这样的做法吗？从动态的角度看问题由上面的两种解法（或者说题目中没告诉正方形EFGC的边长）我们能看出来BDF的面积与右边的正方形EFGC的边长没有关系也就是说正方形EFGC的边长是可以变化的，但是正方形EFGC的边长是有取值范围的即EFAB当EF=AB时，是比较特殊的情况如图4，不难看出此时50点评 上面是一道小学的题目，对于一般的中学生来说解决它也许不成问题上面的不同方法代表了不同的数学思想，1.1代数思想、1.2几何思想、1.3动态思想(特殊值法)运用不同的思想其繁简程度的不同是显而易见的 接下来是一道2010年广西南宁的中考题，下面我们运用上面的三种思想（1.1代数思想、1.2几何思想、1.3动态思想(特殊值法)）做这道题，比较一下各种方法用于这道题的优劣 2（2010广西南宁）如图5，正方形、正方形和正方形的位置如图5所示，点在线段上，正方形的边长为4，则的面积为：（ ）（）10（）12 （）14（）16解析：这道题目可以看做上面一题的变式扩展，我们同样用上述思想来完成这道题目看有没有新的发现 2.1解法一：如图6，先把它填补成规则的图形，再用整个图形的面积减去空白部分的面积，剩下的就是所求阴影部分的面积设左边的大正方形ABCD的边长为a，右边的小正方形的边长为b，则KH=（4）， 故应选 D 2.2解法二：如图6，或许有些学生认为上面求 的表达式比较麻烦，他们注意到四边形AHKD是一个梯形，这样可表示为， 表达式变得简单多了于是 由于已知条件并没有直接告诉4 a 4 b的值，有的同学做到这里“卡壳”了怎么办呢?下面的事情就是求出4 a 4 b的值，为此需要找出a，b的关系注意到DCG GPK，则有，即整理得：4a4b=16从而可得 故应选 D 所以从表面上看，将SDEK 的表达式变得简单了，似乎求解过程也应该简单然而在求解过程中，还需用到相似三角形的知识，不仅麻烦有时甚至在这里“卡壳” 2.3解法三：如图7，利用“传递面积”的功能(等底等高的三角形面积相等)，于是我们连接DB、GE、FK，得：GED的面积等于GEB的面积、GEF的面积等于GEK的面积 2.4解法四：如图8，利用动态思想(特殊值法)因为题目中没有告诉左边的正方形ABCD和右边正方形FPKR的边长大小，说明所求结果与其大小是没有关系的，其边长大小是可以变化的但是有范围（CDGFPF）用特殊值法，当CD=GF时得到图8，（注意：正方形ABCD的边长变化过程中因为点在线段上，所以GF是不可能等于PF的，四边形FPKR也不总是正方形的）此时左边的正方形和中间的正方形全等右边的正方形变为一点有图可知： 点评 这是一道选择题在考试的时候，用前面的两种方法显然是不可取的（计算量大，费时且容易出错）后两种方法虽然简单易行，可一般的考生不容易想到 再看一道题，它是2008年黑龙江鸡西的一道中考填空题前面两道都是关于正方形的而这一道是关于长方形的，也可以看成第一道题的变式下面我们来做一做 3（2008黑龙江鸡西）如图9，矩形中，cm，cm，点为边上的任意一点，四边形也是矩形，且，则 解析：这是一道关于长方形的，但也有特殊的地方（两个长方形的长宽比都是21）下面给出五种做法供大家探讨 3.1解法一：如图9，设FG=a cm，则FE=2a cm， 3.2解法二：如图10，设FG=a cm，则FE=2a cm， 3.3解法三：如图11，FBAC(易证)(同底等高) 3.4解法四：如图12，用动态的眼光看问题当点E与点A重合时，可得： 3.5解法五：如图13，用动态的眼光看问题当点E与点B重合时右边的长方形变为一点，可得： 点评 上面34不一定简单，但也是一种方法作为一个填空题3.1、3.2、3.4是不可取的有点复杂，3.3、3.5相应的简单些 看了这么多解题的例子，学会了吗？下面我给两道题大家练一练看你能用几种方法解下面的问题 快乐体验： 1如图14：把下面两个正方形放在一起，右边的大正方形边长是10cm，求阴影部分BDF面积2如图15，ABC是一个等腰直角三角形，它与一个正方形叠放在一起，已知AE、EF、FB三条线段一样长，EFD（阴影部分）面积是4平方厘米，求ABC面积是多少？（提示：如图16，根据“同底等高”原理，ADE的面积=DEF的面积=EGF的面积，它们的面积都等于4平方厘米