高等数学讲义第二章一元微分学.doc

第二部分 一元函数微分学一、导数与微分 内容要点一、导数与微分概念二、导数与微分计算 典型例题一、用导数定义求导数例1 设，其中在处连续，求解：u 例2 设在x=0处二阶可导，且，求的值（2005）二、分段函数在分段点处的可导性例1 设函数试确定、的值，使在点处可导。例2 设，问和为何值时，可导，且求解：时，时， 由处连续性，可知再由处可导性，存在存在且根据洛必达法则， 于是三、运用各种运算法则求导数或微分例1 设，求例2 设由方程所确定，求例3 设 求u 例4 设 求 （2007）u 例5. 设连续，且当时，求。(2002)u 例6. 设为连续函数， ，求。(2009)u 例7. 设为连续函数，且，求。(2010)四、求切线方程和法线方程例1 已知两曲线与在点（0，0）处的切线相同，写出此切线方程，并求。解：由已知条件可知，故所求切线方程为l 例2 设为周期是5的连续函数，在邻域内，恒有。其中，在处可导，求曲线在点（）处的切线方程。解：由题设可知，故切线方程为 所以关键是求出和 由连续性 由所给条件可知， 再由条件可知令，又 上式左边= =则 所求切线方程为 即 u 例3 求曲线在t=1处的切线方程 （2008）五、高阶导数u 例1 设，求 （2004）u 例2 设，求 （2008）u 例3 设，求 （2009）二、微分中值定理这部分有关考题主要是证明题，技巧性比较高。 内容要点一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理四、泰勒定理 典型例题一、用罗尔定理的有关方法例1 设在0，3上连续，在（0，3）内可导，且，. 试证：必存在，使 证： 在0，3上连续， 在0，2上连续，且有最大值和最小值.于是；，故. 由连续函数介值定理可知，至少存在一点使得，因此，且在，3上连续，（，3）内可导，由罗尔定理得出必存在使得。例2 设在0，1上连续，（0，1）内可导，且求证：存在使证：由积分中值定理可知，存在，使得得到 对在0，c上用罗尔定理，（三个条件都满足）故存在，使例3 设在0,1上连续，(0，1)内可导，对任意，有，求证存在使证：由积分中值定理可知存在使得令，可知这样，对在上用罗尔定理（三个条件都满足）存在，使而 又，则 罗尔定理的有关证明命题中，如何根据条件和结论构造一个合适的是非常关键，下面的模型，就在这方面提供一些选择。模型：设在上连续，（）内可导，则下列各结论皆成立。（1）存在使（为实常数）令（2）存在使（为非零常数）令（3）存在使（为连续函数）令例4 设在上连续，在（0，1）内可导，试证： （1）存在，使。（2）对任意实数，存在，使得证明：（1）令，显然它在0, 1上连续，又，根据介值定理，存在使即（2）令，它在上满足罗尔定理的条件，故存在，使，即从而 （注：在例4（2）的证明中，相当于模型中（1）的情形，其中取为，取为）模型：设，在上皆连续，（）内皆可导，且，则存在，使证：令，则，显然在上满足罗尔定理的条件，则存在，使，即证.例5 设在0, 1上连续，（0, 1）内可导，为正整数。 求证：存在使得 证：令，则，用模型，存在使得故则例6 设在内可导，且，求证在内任意两个零点之间至少有一个的零点 证：反证法：设，而在内，则令在上用罗尔定理（不妨假设否则结论已经成立）则存在使，得出与假设条件矛盾。所以在内至少有一个零点例7 设在二阶可导，且，又 求证：（1）在（）内； （2）存在，使 证：（1）用反证法，如果存在使，则对分别在和上用罗尔定理，存在使，存在使，再对在上用罗尔定理存在使与假设条件矛盾。所以在内（2）由结论可知即，因此令，可以验证在上连续，在内可导，满足罗尔定理的三个条件故存在，使于是成立u 例8 已知函数在上三阶可导，且，试证至少存在一点，使（2004）二、用拉格朗日中值定理和柯西中值定理例1 设在内可导，且， 求的值解：由条件易见，由拉格朗日中值定理，有其中介于与之间，那么 于是，则例2 设是周期为1的连续函数，在（0，1）内可导，且，又设是在1，2上的最大值，证明：存在，使得。 证：由周期性可知，不妨假定而，对分别在1, 和, 2上用拉格朗日中值定理， 存在，使得 存在，使得 如果，则用式，得；如果，则用式，得；因此，必有，使得例3 设在0, 1上连续，（0, 1）内可导，且，证明： （）存在，使得 （）存在，使证：（）令，则在0, 1上连续，且，用介值定理推论存在，使，即 （）在0, 和，1上对用拉格朗日中值定理，存在，使得存在，使 u 例4 设在上可导，且。证明：存在内的两个数与，使。（2003）例5 设函数在闭区间上连续，在开区间（）内可导，且，若极限存在，证明： （1）在内； （2）在内存在，使； （3）在内存在与（2）中相异的点，使证：（1）因为存在，故，由在上连续，从而. 又知在内单调增加，故 （2）设， 则，故，满足柯西中值定理的条件，于是在内存在点，使 ，即 （3）因，在上应用拉格朗日中值定理，知在内存在一点，使，从而由（2）的结论得， 即有 .三、 泰勒公式例1 设函数在闭区间上具有二阶导数，且，试证：在内至少存在一点，使成立。分析：因所欲证的是不等式，故需估计，由于一阶泰勒公式，（其中在之间）含有，因此应该从此入手. 再由知，应在两个区间上分别应用泰勒公式，以便消去公式中的项，同时又能出现项.证：在与上分别用泰勒公式，便有.两式相减，得.所以至少存在一点，使得三、导数的应用 内容要点一、判断函数的单调性二、函数的极值三、函数的最大值和最小值四、凹凸性与拐点五、渐近线及其求法六、函数作图七、判断方程根的情况 典型例题一、证明不等式例1求证：当时，证：令只需证明时，易知，由于的符号不易判断，故进一步考虑，再考虑于是，当时，；当时，由此可见，是的最小值。由于，这样时，单调增加又因为，所以时，；时，。再由，可知时，；时，这样证明了时，。证二：令（自己思考）证三：令（自己思考）u 例2 证明：当， （2009）例3 设，求证：证：令则 于是可知在时单调增加，又，时，这样单调增加。因此，时，得证。例4 设，证明证一：对函数在上用拉格朗日中值定理 （）再来证明在时单调减少 从而，即故证二：设，则当时，故单调减少因此时，由可知单调增加题设，于是故，即u 例5 证明：当时， （1）（2）（2005）u 例6 证明： （2007）u 例7 已知有二阶可导，且（1）证明：（2）若，证明： （2007）u 例8 证明： （2007）u 例9 证明： （2008）u 例10 证明： （2010）u 例11 证明： （2010）二、有关函数的极值、最值例1、设函数在内连续，其导函数的图形如图所示，则有 （A）一个极小值点和两个极大值点（B）两个极小值点和一个极大值点（C）两个极小值点和两个极大值点（D）三个极小值点和一个极大值点例2 设的导数在处连续，又，则 （A）是的极小值点（B）是的极大值点（C）是曲线的拐点（D）不是极值点，也不是曲线的拐点例3 设有二阶导数，满足求证：时，为极小值证：（1）情形。 故为极小值（2）情形这时方程条件用代入不行，无法得出上面的公式 存在 连续，（用洛必达法则） （再用洛必达法则） 是极小值u 例4 函数是由方程满足确定，且可导，求的极值（2004）u 例5 函数满足方程，求的极值（2007）u 例6 设，求的最小值（2009）u 例7 设，其中是5次多项式，证明：（1）必有极值点； （2）必有奇数个极值点（2010）三、判断方程根的情况u 例1 设，问有几个实根？为什么？（2006）u 例2 证明方程，当n为奇数时有且仅有一个实根（2008）u 例3 （1）证